Les probabilités - Département de science politique

Les probabilités
Les probabilités représentent l’essence même des statistiques. L’approche fréquentiste et
bayésienne sont basées sur la notion de probabilité. Il devient donc important de bien
saisir les nuances des probabilités. A cet effet, nous attacherons une attention particulière
sur l’identification des caractéristiques propres aux probabilités ainsi qu’aux différentes
caractéristiques des distributions.
Distinctions entre le caractère empirique et théorique des variables. Une variable est
empirique lorsqu’elle est observée et elle est dite théorique lorsqu’elle anticipée. Prenons
l’exemple d’un dé à six faces. Chaque coté porte un chiffre de 1 à 6. En théorie, si le dé
est bien équilibré, chaque chiffre à une chance égale et connue de « sortir » à chaque
tirage. Cette chance est égale à 1/6. Aussi, si nous répétons le lancé du dé 300 fois nous
nous attendons, en théorie, à avoir les résultats suivants :
Chiffre Résultat théorique
1 50
2 50
3 50
4 50
5 50
6 50
Total 300
Le chiffre 50 représente 1/6 du total tel que
6
300
= 50
Ce chiffre représente la valeur théorique ou la fréquence que l’on s’attend à avoir si on
répète 300 fois l’expérience. Bien entendu il est très rare que le nombre théorique est
exactement le même que la fréquence observée que certains appellent également
variables empiriques. Cette distinction entre la fréquence théorique et la fréquence
observée nous servira éventuellement dans le calcul du Khi carré.
La première étape consiste à identifier les différentes situations qui peuvent se présenter.
Il s’agit en fait de répondre à trois questions :
1) Est-ce que le calcul est basé sur un échantillon ou sur l’ensemble de la population?
2) Est-ce que l’ordre de sélection est important ou non?
3) Est-ce qu’il y a remise ou non?
Pour ce dernier cas il s’agit de déterminer si l’élément peut être sélectionné encore. Par
exemple, un individu est sélectionné au hasard pour participer à une enquête et ce dernier
pourrait être sélectionné encore. Le tableau récapitulatif qui suit illustre le tout :

Tableau des formules
Arrangement
(ordre important et
échantillon)
Permutation (ordre
important et
population)
Combinaison
(Ordre pas
important)
Sans remise
(NPR)
N!
(N-k)!
N!
N!
k! * (N-k)!
Avec remise
Nk
Nn
(N+k-1)!
k! * (N-1)!
Légende: N = Nombre dans la population et k = Nombre de sélection (NCR)
NpR et NcR représentent les fonctions sur la calculatrice.
Nous introduisons ici le symbole ! qui représente le factoriel. Le factoriel iindique que le
chiffre est multiplié par ses précédents. Par exemple 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 alors que
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800
Exemple :
Dans un bureau il y a quatre employés soit : André, Bernard, Carole et Denise. Le patron
décide de former des équipes de deux personnes. Pour constituer les équipes le patron
décide d’inscrire le nom des quatre employés sur un bout de papier et de mettre le tout
dans un chapeau. Combien d’équipes de 2 personnes le patron peut–il faire avec ces 4
personnes s’il n’y a aucune remise de nom, c'est-à-dire que le nom une fois sélectionné
ne peut être pigé de nouveau, et que l’ordre n’est pas important ?
La formule utilisée serait:
)!(! !kNk N
Nous avons ainsi pour notre exemple :
)!(! !kNk N
=
)!24(!2 !4
=
22 1234 xxxx
=
4
24
= 6
Il y aurait donc 6 équipes possibles. En utilisant la fonction NcR sur votre calculatrice
vous obtiendrez ce résultat.
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André
Bernard
Carole
Diane
André
X
1
2
3
Bernard
X
X
4
5
Carole
X
X
X
6
Diane
X
X
X
X

L’ordre n’étant pas important les équipes André/Bernard et Bernard/André sont
équivalentes et forment une seule et même équipe. Les équipes avec le même nom sont
impossibles puisqu’il n’y a pas remise.
Si l’ordre est important, le premier nom sélectionné a une tâche de plus par exemple,
alors nous utiliserions la formule suivante :
!
!kNN
=
!24 !4
=
12 1234 xxxx
=
2
24
=12
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André
Bernard
Carole
Diane
André
X
1
2
3
Bernard
4
X
5
6
Carole
7
8
X
9
Diane
10
11
12
X
En utilisant la fonction NpR sur votre calculatrice vous obtiendrez ce résultat.
Si le nom de l’employé sélectionné est remis dans le chapeau nous aurions alors une
sélection avec remise. L’employé pourrait, théoriquement, ainsi faire équipe avec lui-
même. Si l’ordre est important (ne demandez pas pourquoi !) alors nous aurions Nk
équipes. Dans ce cas ci 42 ou 16 équipes tel que le tableau suivant illustre.
André
Bernard
Carole
Diane
André
1
2
3
4
Bernard
5
6
7
8
Carole
9
10
11
12
Diane
13
14
15
16
S’il y a remise mais que l’ordre n’est pas important alors nous aurions :
)!1(! )!1( Nk kN
=
)!14(!2 )!124(
=
)!3(!2 !5
=
12
120
= 10
On peut illustrer cette réponse de la façon suivante :
André
Bernard
Carole
Diane
André
1
2
3
4
Bernard
X
5
6
7
Carole
X
X
8
9
Diane
X
X
X
10

Lors d’une réunion, le patron veut connaître le nombre de façon différente que les
employés peuvent se placer devant lui. Donc tous les employés doivent être sélectionnés.
(toute la population est ainsi utilisée). Il y a donc N ! manières différentes de placer les
employés. 4 ! = 24
Si l’employé peut être sélectionné à chaque tirage (avec remise) nous aurions alors NN
manières ou 44 = 256
Les distributions
Il est important de souligner qu’il existe plusieurs types de distributions probabilistes.
Également connu sous le nom de Loi discrètes, ces distributions ont un ensemble de
possibilités qui respectent certaines conditions. Il s’agit donc de reconnaître ces
conditions afin d’être en mesure d’appliquer correctement la loi qui s’y rattache. Nous
nous attarderons cependant aux principales d’entres elles et qui sont au nombre de six.
La distribution binomiale
Afin d’identifier si on a affaire à une distribution binomiale retenons les deux premières
lettre soit bi. Bi veut dire deux. On a affaire à une distribution binomiale lorsqu’il y a
deux possibilités de résultats. Par exemple, un appareil fonctionne ou ne fonctionne pas;
soit nous sommes un homme soit une femme; la réponse à un examen est vraie ou fausse,
nous sommes pour ou contre, un produit est défectueux ou fonctionne, etc.
La formule d’une distribution binomiale est la suivante :
xnx pp
x
n
1
n signifie le nombre de sélection ou l’échantillon total
x la partie de l’échantillon qui possède la caractéristique recherchée
p la probabilité connue de la caractéristique de la partie de l’échantillon recherché
1-p la probabilité de l’autre partie de l’échantillon. Le 1 représentant ici 100%
n-x La différence entre la taille de l’échantillon et le nombre de sélection qui possède
la caractéristique recherchée
Exemple :
Supposons que l’on désire interroger 20 personnes. Nous voulons connaître la probabilité
que sur ces 20 personnes il y ait exactement 12 femmes. Supposons également que nous
savons que dans la population à l’étude 52% des personnes sont des femmes. Nous
aurions donc :
n = 20 (Nous désirons un échantillon de 20 personnes)

x = 12 (nous désirons 12 femmes)
p = ,52 (il y a 52% de femmes dans la population)
1-p = ,48 (puisqu’il il y a 52% de femmes il y a donc 48% d’hommes (100% - 52% =
48%)
Ainsi :
xnx pp
x
n
1
122012 48.52.
12
20 
812 48.52.
12
20
12
20
= NcR =
!! !kNk N
=
!1220!12 !20
=
!8479001600
432902008.2 18
=
40320*479001600
432902008.2 18
=
13
18
931334451.1 432902008.2
=125970
(Avec la calculatrice on obtient ce résultat en utilisant la touche NcR). Ceci signifie qu’il
y a 125970 combinaisons différentes de douze femmes à partir de 20 personnes.
Nous avons donc maintenant :
812 48.52.125970
Tel que :
12
52.
= .000390877
8
48.
= .002817928
donc :
812 48.52.
12
20
=
002817928.000390877.125970
= 125970 (.000001101)
= .13875 ou 13,9%
Rappel : Pour une binomiale il faut :
- qu’il y ait deux possibilités
- que l’on connaisse la proportion (%) dans la population à l’étude