nombre derive d`une fonction de l`ensemble des reels dans

NOMBRE DÉRIVÉ D'UNE FONCTION DE DANS 
EN UNE VALEUR DE SON ENSEMBLE DE DÉFINITION.
1- Continuité d'une fonction en une valeur, sur un intervalle.
1-1 Limite finie en a .
Une fonction f admet une limite finie lorsque x tend vers a si et seulement si elle admet une
limite finie à droite et une limite finie à gauche lorsque x tend vers a et si ces deux limites sont
égales.
1-2 Continuité d'une fonction en une valeur.
Soit a un nombre réel. Soit f une fonction définie en a.
On dit que f est continue en a si f admet une limite finie en a et que cette limite est égale à f(a).
La fonction f représentée ci-dessus
n’admet pas de limite en a parce
que
)(lim)(lim xfxf axax  
La fonction f représentée ci-dessus
admet une limite finie en a parce
que
)(lim)(lim xfxf axax  
0
1
0
1
a
g(a)
La fonction g représentée ci-dessus n’est pas
continue en a parce que
)(lim xg
ax
g(a)
La fonction g représentée ci-dessus est
continue en a parce que
)(lim xg
ax
= g(a)
0
1
a
0
1
A
f(a)
0
1
0
1
a
Remarque : l’existence de la limite en une valeur a d’une fonction f n’exige pas que la fonction soit définie en a ;
par contre elle doit être définie à gauche et à droite de a, c’est à dire sur un voisinage de a.
0
1
0
1
A
a
g(a)
Remarque : la continuité d’une fonction f en une valeur a exige que la fonction soit définie sur un
voisinage de a mais aussi en a

1-3 Continuité d'une fonction sur un intervalle.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est continue sur I si f est continue en toute valeur a de I.
2- Dérivabilité et Nombre dérivé d'une fonction en une valeur.
2-1 Nombre dérivé d'une fonction en une valeur a de son ensemble de définition.
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
On dit que f est dérivable en a si :
0
lim
h
hafhaf )()( 
= A ( A nombre réel).
Dans ce cas, A est appelé nombre dérivé de f en a. Il est noté f '(a).
Cela revient en fait à s’intéresser « au comportement » de f « au voisinage » de a.
2-2 Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite.
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
 On dit que f est dérivable à gauche en a si :
0
lim
h
hafhaf )()( 
= Ag ( Ag nombre réel).
Dans ce cas, Ag est appelé nombre dérivé à gauche de f en a.
 On dit que f est dérivable à droite en a si :
0
lim
h
hafhaf )()( 
= Ad ( Ad nombre réel).
Dans ce cas, Ad est appelé nombre dérivé à droite de f en a.
Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite en a et les
nombres dérivés à gauche et à droite de f sont égaux.
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
La courbe ci-contre représentant
une fonction k admet deux points
anguleux, les points d'abscisses
x1 = 1 et x2 = 1,9061703.
En ces deux valeurs, la fonction k
est continue mais non dérivable.

3 - Interprétation graphique du nombre dérivé en une valeur.
3-1 Tangente et nombre dérivé en une valeur.
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soit a un réel appartenant à I et C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
Si f est dérivable en a , on dit que la droite passant par le point A( a ; f(a) ) appartenant à la
courbe C et de coefficient directeur f ' (a) est la tangente à la courbe C au point A.
Interprétation graphique
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en un réel a de I.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
Soit A le point de C d'abscisse a et M un point de C d'abscisse a + h
( h réel non nul « infiniment petit »).
Soit (T) la tangente à C en A, c’est à dire la droite de coefficient directeur f’(a).
La droite (AM) a pour coefficient directeur le nombre, noté
)(h
,
)(h
=
hafhaf )()( 
Ainsi, dire que f est dérivable en a, c'est dire que, quand h tend vers 0, le coefficient directeur de (AM)
tend vers f '(a).
C'est dire que, quand h tend vers 0, (AM) admet une position limite, celle de la tangente (T) à C en A.
Remarque : Plus le point M s'approche du point A, plus le "comportement" de la droite (AM) se
rapproche de celui de la tangente (T) à C en A.
Ainsi, au voisinage de A, une portion de la droite (AM) est substituable à la tangente (T)
et à la portion de C correspondante.
A
M
a
a+h
f(a)
f(a+h)
L'équation de la tangente
en A( a ; f(a) ) à la courbe
représentative C de f
est
y = f(a) + f '(a)(x – a)
(T)

3-2 Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite et demi-tangentes.
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et C la courbe représentative de f dans un repère du
plan.
Si f admet un nombre dérivé à gauche (respectivement à droite) en a, on dit que la demi-droite à
gauche (respectivement à droite) issue du point A(a ; f(a)) et de coefficient directeur fg'(a)
(respectivement fd'(a)) est la demi-tangente à gauche (respectivement à droite) à la courbe C au
point A(a ; f(a)).
L'équation de la demi-tangente :
- à gauche à C en A (a ; f(a)) est y = fg'(a)(x – a) + f(a) ; avec x < a.
- à droite à C en A (a ; f(a)) est y = fd'(a)(x – a) + f(a) ; avec x > a.
Exemple : Soit f la fonction définie de dans  par f(x) =
42²2  xx
et C sa représentation
graphique dans un repère du plan.
 1
lim
h
hfhf )1()1( 
= 6
f admet 6 comme nombre dérivé à droite en -1.
Donc, C admet une demi-tangente à droite au
point de C d'abscisse -1 de coefficient directeur 6.
 1
lim
h
hfhf )1()1( 
= -6
f admet –6 comme nombre dérivé à gauche en -1.
Donc, C admet une demi-tangente à gauche au
point de C d'abscisse -1 de coefficient directeur -6.
On représente les demi-tangentes au point de coordonnées (-1 ; 0) par des flèches d'origine ce point.
Remarque 1 : Lorsque fg'(a) fd'(a), on dit que le point de coordonnées ( a ; f(a)) est un point anguleux.
Dans l'exemple précédent, la courbe C admet le point de coordonnées (-1 ; 0) comme point
anguleux.
Remarque 2 :
 Si
0
lim
h
hafhaf )()(
(respectivement ) la courbe C admet une demi-tangente (parallèle
à l’axe des ordonnées) à droite représentée par une flèche orientée vers le haut (respectivement vers
le bas).
 Si
0
lim
h
hafhaf )()(
(respectivement ) la courbe C admet une demi-tangente (parallèle
à l’axe des ordonnées) à gauche représentée par une flèche orientée vers le haut (respectivement vers
le bas).
Dans ces cas, les limites n’étant pas finies, les nombres dérivés à droite et à gauche ne sont pas définis.
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8