Opérations

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DÉRIVATION
I) RAPPELS
1) Limite réelle en a,
a
a) Définition et notation
Soit f une fonction, a un réel de l’ensemble de définition de f ou une borne de cet ensemble, ℓ
un nombre réel.
Dire que
()fx
tend vers ℓ lorsque x tend vers a ou que la fonction f a pour limite ℓ en a
signifie que les valeurs de
()fx
sont aussi proches de ℓ qu’on le souhaite dès que x est
suffisamment proche de a.
On note :
)(lim xf ax
ℓ (ou
f
a
lim
ℓ ).
Remarque : ce résultat équivaut à
)([lim xf
ax
- ℓ ] =
b) Exemples
 Les fonctions
n
xx 
(n  *),
xx 
,
xx sin
ont pour limite 0 en 0.
 Soit
1: 2 xxxf 
. Alors
)(lim1xf x
 Soit
26
:2
xx
fx x
. Etudier la limite de
()fx
lorsque x tend vers 2.
2) Dérivabilité et tangente
a) Définitions
Soit a un réel appartenant à l’ensemble de définition d’une fonction f .
f est dérivable en a si et seulement si le quotient
( ) ( )f a h f a
h
admet une limite réelle quand
h tend vers 0.
Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en a et notée f '(a). Soit :
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
fa h
.
Remarque : en posant x = a + h (c'est-à-dire h = x – a), on a aussi :
ax )a(f)x(f
)a('f ax  lim
b) Exemples
Ex1 Soit f la fonction définie par :
3)( 2 xxxf
. Montrer que f est dérivable en 3 et
déterminer
'(3)f
.

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Ex2 Soit f la fonction définie par :
1)(  xxf
. Montrer que f n’est pas dérivable en 1.
c) Tangente
Soit f une fonction dérivable en a ; la tangente à la courbe représentative de f au point
; ( )A a f a
est la droite TA, passant par A et qui a pour coefficient directeur
()fa
.
Remarque : le réel
( ) ( )f a h f a
h
est le coefficient directeur de la droite (AM), sécante à la
courbe représentative de f aux points
; ( )A a f a
et
)(; hafhaM 
. La tangente TA est
donc la « position limite » de la sécante (AM) lorsque M se rapproche de A en restant sur la
courbe, c’est-à-dire lorsque h tend vers 0.
Equation de la tangente :
d) Approximation affine
Définition équivalente d’une fonction dérivable :
f est dérivable en a de nombre dérivé
'( )fa
si et seulement si il existe une fonction telle que :
( ) ( ) '( ) ( )f a h f a hf a h h
, avec
0
lim ( ) 0
hh
.
(On a :
( ) ( )
( ) '( )
f a h f a
h f a
h
).
En posant x = a + h (c'est-à-dire h = x – a), l'égalité s'écrit:
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x f a x a f a x a x a
, avec
.)ax(
ax 0lim 
L’expression f(a) + (x – a)f ‘(a) est l’approximation affine locale de f(x) pour x voisin de a.
3) Fonction dérivée
a) Définition
Soit f une fonction ; l’ensemble des réels où f est définie et dérivable est l’ensemble de
dérivabilité de f , noté
f
D
.
La fonction
f
définie sur
f
D
par :
: ( )f x f x
est la (fonction) dérivée de f.
Dérivées successives :
On définit de même
(2)
()f f f
, et plus généralement pour
2n
,
( ) ( 1)nn
ff
.

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b) Dérivées des fonctions usuelles et formules de dérivation
f(x)
f '(x)
Df '
C
(constante)
x
xn
(n  *)
x
1
*
x
+*
sin x
cos x
Opérations :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
 u + v est dérivable sur I et (u + v)’ =
 Si k est un réel quelconque, alors k u est dérivable sur I et (k u)’ =
 uv est dérivable sur I et (uv)’ =
 Si v ne s’annule pas sur I, alors
1
v
est dérivable sur I et
'
v
1
 Si v ne s’annule pas sur I, alors
u
v
est dérivable sur I et
'
v
u
Exemples : étudier la dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions
1
32
:
x
x
xf 
et
.cos: 2xxxg 
c) Conséquences
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur
 Dérivée de la fonction f définie sur
*
R
par
1
() n fx x
avec
*
n
:

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4) Variations d’une fonction sur un intervalle I.
a) Rappels
Dire que f est croissante (resp décroissante) sur I signifie que :
pour tous a et b appartenant à I, si
ab
alors
( ) ( )f a f b
(resp
( ) ( )f a f b
).
Autrement dit :
b) Dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I et a un élément de I.
 si
f
est nulle sur I, alors f est constante sur I
 si
f
est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où elle est
nulle, alors f est strictement croissante sur I
 si
f
est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où elle
est nulle, alors f est strictement décroissante sur I
 si a n'est pas une borne de I et si f admet un extremum (local) en a, alors f '(a) = 0
 si
f
s’annule et change de signe en a (a n'est pas une borne de I), alors f admet un extremum
(local) en a.
Exemple : fonction "tangente".
c) Résolution approchée d'équations (théorème admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a ; b].
Si
f
est strictement positive sur [a ; b], sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où
elle est nulle, alors pour tout réel k de l'intervalle [f(a) ; f(b)] l'équation f(x) = k a une unique
solution dans l'intervalle [a ; b] (ou encore k a un unique antécédent dans l'intervalle [a ; b]).
Il existe un théorème analogue avec
f
strictement négative et tout réel k de l'intervalle
[f(b) ; f(a)].
Exemple : montrer que l’équation
83 23  xx
a une solution unique dans l’intervalle [3 ; 4].
II) COMPLÉMENTS
1) Notation différentielle
En physique on utilise la notation différentielle :
dx
df
xf )('
et
2
2
)(" dxfd xf 
.

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2) Dérivation d’une fonction composée
a) Rappel
Soit u une fonction définie sur I et v une fonction définie sur J tel que
JI  )x(u,x
.
La fonction
uvo
est la fonction définie sur I par :
)x(uv)x(uv o
b) Exemple
u et v définies sur par
( ) ²u x x
et
( ) 3 1v x x
c) Théorème
Si u est une fonction définie et dérivable sur I et v une fonction définie et dérivable sur J tel que
JI  )x(u,x
, alors
uvo
est dérivable sur I et on a :
)(')(')('o,I xuxuvxuvx 
, soit
'uu'vuv ' oo
Remarque Ce résultat généralise celui vu en 1ère pour u affine :
Exemple : soit f la fonction définie par :
3)( 2 xxxf
. Montrer que f est dérivable en 3
et calculer
'(3)f
.
d) Cas particuliers importants
Si u est dérivable sur I, alors f est dérivable sur I et on a le tableau suivant :
f
sinu
cosu
u
n
u
f
Remarque
pour
0u
*
n