Opérations

DÉRIVATION
I) RAPPELS
1) Limite réelle en a, a
a) Définition et notation
Soit f une fonction, a un réel de l’ensemble de définition de f ou une borne de cet ensemble, ℓ
un nombre réel.
Dire que f ( x ) tend vers ℓ lorsque x tend vers a ou que la fonction f a pour limite ℓ en a
signifie que les valeurs de f ( x ) sont aussi proches de ℓ qu’on le souhaite dès que x est
suffisamment proche de a.
On note : lim f ( x)  ℓ (ou lim f  ℓ ).
xa
a
Remarque : ce résultat équivaut à lim [ f ( x) - ℓ ] =
x a
b) Exemples
 Les fonctions x  x n (n  *), x  x , x  sin x ont pour limite 0 en 0.
 Soit f : x  x 2  x  1. Alors lim f ( x) 
x 1

x  x6
. Etudier la limite de f ( x ) lorsque x tend vers 2.
x2
2
Soit f : x
2) Dérivabilité et tangente
a) Définitions
Soit a un réel appartenant à l’ensemble de définition d’une fonction f .
f ( a  h)  f ( a )
f est dérivable en a si et seulement si le quotient
admet une limite réelle quand
h
h tend vers 0.
Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en a et notée f '(a). Soit :
f ( a  h)  f ( a )
f (a )  lim
.
h 0
h
Remarque : en posant x = a + h (c'est-à-dire h = x – a), on a aussi :
f( x) f(a)
f ' ( a )  lim
x a
xa
b) Exemples
Ex1 Soit f la fonction définie par : f ( x)  x 2  x  3 . Montrer que f est dérivable en 3 et
déterminer f '(3) .
1
Ex2 Soit f la fonction définie par : f ( x)  x  1 . Montrer que f n’est pas dérivable en 1.
c) Tangente
Soit f une fonction dérivable en a ; la tangente à la courbe représentative de f au point
A  a; f (a)  est la droite TA, passant par A et qui a pour coefficient directeur f (a ) .
f ( a  h)  f ( a )
est le coefficient directeur de la droite (AM), sécante à la
h
courbe représentative de f aux points A  a; f (a)  et M a  h ; f (a  h) . La tangente TA est
Remarque : le réel
donc la « position limite » de la sécante (AM) lorsque M se rapproche de A en restant sur la
courbe, c’est-à-dire lorsque h tend vers 0.
Equation de la tangente :
d) Approximation affine
Définition équivalente d’une fonction dérivable :
f est dérivable en a de nombre dérivé f '(a ) si et seulement si il existe une fonction  telle que :
f (a  h)  f (a)  hf '(a)  h (h) , avec lim  (h)  0 .
h 0
f ( a  h)  f ( a )
 f '(a) ).
(On a :  (h) 
h
En posant x = a + h (c'est-à-dire h = x – a), l'égalité s'écrit:
f ( x)  f (a)  ( x  a) f '(a )  ( x  a ) ( x  a ) , avec lim  ( x  a )  0.
xa
L’expression f(a) + (x – a)f ‘(a) est l’approximation affine locale de f(x) pour x voisin de a.
3) Fonction dérivée
a) Définition
Soit f une fonction ; l’ensemble des réels où f est définie et dérivable est l’ensemble de
dérivabilité de f , noté D f  .
La fonction f  définie sur D f  par : f  : x
Dérivées successives :
f ( x) est la (fonction) dérivée de f.
On définit de même f   ( f )  f (2) , et plus généralement pour n  2 , f ( n )  f ( n1)  .

2

b) Dérivées des fonctions usuelles et formules de dérivation
f(x)
f '(x)
Df '
C
(constante)
x

xn
(n  *)
1
x

*
x
 +*
sin x

cos x


Opérations :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
 u + v est dérivable sur I et (u + v)’ =
 Si k est un réel quelconque, alors k u est dérivable sur I et (k u)’ =
 uv est dérivable sur I et (uv)’ =
'
1
1
 Si v ne s’annule pas sur I, alors est dérivable sur I et   
v
v
'
u
u
 Si v ne s’annule pas sur I, alors
est dérivable sur I et   
v
v
Exemples : étudier la dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions f : x 
g : x  x 2 cos x.
c) Conséquences
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur

Dérivée de la fonction f définie sur R* par f ( x) 
3
1
avec n 
xn
*
:
2x  3
et
x 1
4) Variations d’une fonction sur un intervalle I.
a) Rappels
Dire que f est croissante (resp décroissante) sur I signifie que :
pour tous a et b appartenant à I, si a  b alors f (a)  f (b) (resp f (a)  f (b) ).
Autrement dit :
b) Dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I et a un élément de I.
 si f  est nulle sur I, alors f est constante sur I
 si f  est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où elle est
nulle, alors f est strictement croissante sur I
 si f  est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où elle
est nulle, alors f est strictement décroissante sur I
 si a n'est pas une borne de I et si f admet un extremum (local) en a, alors f '(a) = 0
 si f  s’annule et change de signe en a (a n'est pas une borne de I), alors f admet un extremum
(local) en a.
Exemple : fonction "tangente".
c) Résolution approchée d'équations (théorème admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a ; b].
Si f  est strictement positive sur [a ; b], sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où
elle est nulle, alors pour tout réel k de l'intervalle [f(a) ; f(b)] l'équation f(x) = k a une unique
solution dans l'intervalle [a ; b] (ou encore k a un unique antécédent dans l'intervalle [a ; b]).
Il existe un théorème analogue avec f  strictement négative et tout réel k de l'intervalle
[f(b) ; f(a)].
Exemple : montrer que l’équation x 3  3 x 2  8 a une solution unique dans l’intervalle [3 ; 4].
II) COMPLÉMENTS
1) Notation différentielle
En physique on utilise la notation différentielle : f ' ( x) 
4
df
d2 f
et f " ( x) 
.
dx
dx 2
2) Dérivation d’une fonction composée
a) Rappel
Soit u une fonction définie sur I et v une fonction définie sur J tel que x  I , u( x )  J .
La fonction v o u est la fonction définie sur I par :
v o u( x )  v u( x )
b) Exemple
u et v définies sur
par u ( x )  x ² et v( x)  3 x  1
c) Théorème
Si u est une fonction définie et dérivable sur I et v une fonction définie et dérivable sur J tel que
x  I , u( x )  J , alors v o u est dérivable sur I et on a :
x  I, v o u ' ( x)  v ' u( x) u ' ( x) , soit v o u   v ' o u  u'
'
Remarque Ce résultat généralise celui vu en 1ère pour u affine :
Exemple : soit f la fonction définie par :
et calculer f '(3) .
f ( x)  x 2  x  3 . Montrer que f est dérivable en 3
d) Cas particuliers importants
Si u est dérivable sur I, alors f est dérivable sur I et on a le tableau suivant :
f
sin u
cosu
un
u
f
Remarque
pour u  0
5
n
*