Int_grales_et_Analyse_de_Fourier1

Intégrales et Analyse de Fourier
Espace mesurable. Mesure de Lebesgue......................................................... 3
I)
Tribu..................................................................................................... 3
II)
Espace mesurable. Application mesurable. ......................................... 4
III)
Produits d’espaces mesurables ....................................................... 4
IV)
1)
2)
Mesures positives ............................................................................ 5
Prolongement de mesure ................................................................. 6
Ensembles négligeables ................................................................... 6
V)
VI)
La mesure de Lebesgue ........................................................................ 7
Mesures de Stieltjes ......................................................................... 7
Fonctions intégrables ....................................................................................... 7
I)
Fonctions réelles mesurables. Fonctions étagées. ............................... 8
II)
Intégration des fonctions positives ....................................................... 8
III)
Fonctions intégrables réelles ou complexes .................................. 10
IV)
Fonctions négligeables .................................................................. 11
V)
Théorème de convergence dominée et applications ........................... 12
Index des notions ............................................................................................ 13
Espace mesurable. Mesure de Lebesgue.
I) Tribu
Soit E un ensemble, PE  désigne l’ensemble de ses parties.
Def (tribu) :
Un ensemble de parties A est une tribu si et seulement si :
- E  A ou Ø  A 
- si A  A alors Ac  A
- A est stable par réunion dénombrable
Rq : - Ø,E est la tribu triviale
c

c
- si n An  A alors  An  A car  An    An 
n
n
 n

- si C est un ensemble de parties,  C  est la plus petite
tribu contenant C
- soit  An  une famille de parties appartenant à A, si :
o


lim An     Ap   {ensemble des éléments de
n  pn

E appartenant à une infinité et parties An }


lim An     Ap   {ensemble des éléments de
n  pn

E appartenant à tous les An , sauf peut-être à un
nombre fini}
Alors lim An et lim An appartiennent à A.
o
- Si E est un espace topologique, on appelle tribu
borélienne la tribu engendrée par les ouverts.
II) Espace mesurable. Application
mesurable.
Soit f : E  E ' , on défini f 1 : PE '  PE  par :
f 1  A'  x  E f x   A'.
f 1 est un homomorphisme pour le passage au complémentaire et
à la réunion dénombrable.
Donc si A ' est une tribu sur E ' , alors f 1 A ' est une tribu sur E.
Def (mesurable) :
Soient E, A  et E ' , A ' deux espaces mesurables et f : E  E ' .
f est mesurable si et seulement si f 1 A '  A .
Une application est borélienne si les tribus A et A ' sont des
tribus boréliennes.
Prop : Soit f : E, A   R, BR .
f est mesurable si et seulement si a  R f 1  ; a  A .
Lemme :
- C '  E ' f 1  C '   f 1 C '
f 1 C '  f 1  C '   f 1 C '  f 1  C '
f 1  C '  A'  E ' f 1  A'   f 1 C '
Prop : Soit f : E, B  E' , B' , avec E, B et E' , B' deux
espaces topologiques.
Si f est continue, alors f est borélienne.
Prop : La composée de deux applications mesurables est
mesurable.

III)






Produits d’espaces mesurables
Def (produit d’espaces mesurables) :
Soit Ei , Ai iI une famille d’espaces mesurables, on défini sur
p1 :  Ek  Ei


1
kI
 Ei la tribu produit  Ai     pi Ai  où :
.
iE
iI
xk   xi
 iI

n
 n

Prop :  Ai     Ai  où
i 1
 i 1 
n
 A  A    A
i
1
n
i  1,  , n Ai  Ai  .
i 1
n
Rq : Si Ck engendre Ak ,
C
i
engendre la tribu produit.
i 1
n
 n

Prop : f : E , A     Ei ,  Ai  .
i 1
 i 1

f est mesurable si et seulement si i  1, , n f  pi est
mesurable.
Prop : Soit f : E1  E2 , A1  A2   E, A  mesurable, alors :
f x1 : E2  E
x1  E1
x2  f x1 , x2 
x2
f : E1  E
x2  E2
x1  f x1 , x2 
x1
A : E2  E1  E2
A x2 : E1  E1  E2
Alors
et
sont mesurables
x2  x1 , x2 
x1  x1 , x2 
et, f x1  f  Ax1 et f x2  f  A x2 sont mesurables comme
composées d’applications mesurables.
IV)
Mesures positives
Def (mesure positive) :
Une mesure positive  sur l’espace mesurable E, A  est une
 : A  0;
application :
est σ-additive.
A    A


Ie  Ai  famille de parties 2 à 2 disjointes,    An      An  .
 n
 n
Rq : -  est croissante.
-  est finie si et seulement si  E    .
-  est une mesure de probabilité si et seulement si
 E   1 .
-  est σ finie s’il existe une suite croissante  An  telle
que E 
A
n
et n  N
  An    .
nN
Prop :  jouit de la propriété de continuité croissante. C'est-à-dire
que pour toute suite croissant  An  de parties de E,


   An   lim   An  .
 nN  n
Réciproquement, soit  : A  R σ-additive possédant la
propriété de continuité croissante. Alors  est une mesure.
1) Prolongement de mesure
Def : Une algèbre de parties A de E doit vérifié :
- E A
- A  A Ac  A
- pour toute famille finie  A1 ,, An  de parties de A,
n
 A A
i
i 1
Th (de Carathéodory) : Soit  une mesure définie sur une algèbre
de parties A, il existe un prolongement m de  sur  A  et ce
prolongement est unique dés que  est σ-finie.
2) Ensembles négligeables
Soit E, A,   un ensemble mesurable, N est une partie
négligeable si et seulement si N  A avec   A  0 .
L’ensemble E, A,   est complet s’il contient toutes les parties
négligeables.
Def : Soit Px  une propriété faisant intervenir les points de E. si
x Px fausse  est négligeable, on dit que Px  est vraie presque
partout. Si  est une mesure de probabilité, on dit que Px  est
vraie presque sûrement.
V) La mesure de Lebesgue
Soit A l’algèbre des réunions finies d’intervalles a; b, a, b   R 2 .
n
n
i 1
i 1
Pour A   ai ; bi  , on pose   A   bi  ai  .
Prop : ma; b  b  a
Prop : La mesure de Lebesgue est, à une constante multiplicative
près, l’unique mesure invariante par translation.
VI)
Mesures de Stieltjes
Th : Soient  une mesure σ-finie sur R,B R et
F x    a; x si a  x
Posons
.
   x; a si a  x
aR .
La fonction associée F est croissante et continue à gauche.
Réciproquement, pour toute fonction F croissante et continue à
gauche on peut associer une mesure  telle que
 a; b  F b  F a .
Def :  est la mesure de Stieltjes associée à F.
Rq : - La mesure  est finie si et seulement si
F    F    
-  ne charge que les points de discontinuité de F
- Si  est une mesure de probabilité, F x    ; x est
la fonction de répartition associée à 
Fonctions intégrables
I) Fonctions réelles mesurables.
Fonctions étagées.
Soit E, A  un espace mesurable. On s’intéresse à l’espace des
fonctions réelles mesurables R,B R .
Prop : Soient f et g deux fonctions réelles mesurables. Alors
c  R c  f , f  g , inf  f , g  et sup  f , g  sont aussi
mesurables.
Prop : Soit  f n nN une suite de fonctions réelles mesurables.
Alors sup f n , inf f n , lim f n et lim f n sont mesurables,
nN
x  R lim
nN
f n existe  est mesurable, et si x  R lim f n existe,
alors cette limite est mesurable.


Rappel : lim f n  sup  inf f p  et lim f n  inf  sup f p 
nN pn

nN  pn


Def (fonction étagée) : Une fonction f est étagée si et seulement si
elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs ai 1in .
Prop : Toute fonction mesurable positive est limite croissante
d’une suite de fonctions étagées positives. Si cette fonction est
bornée, la limite est uniforme.
Rq : Si f est une fonction mesurable de signe quelconque, on peut
prendre f  f   f  où f   sup  f ,0 et f   sup  f ,0 .
II) Intégration des fonctions positives
Soit E, A,   un espace mesurable.
Def (intégrale d’une fonction étagée) : Si f est une fonction
mesurable étagée de valeurs ai 1in , on pose

n
fd   ai   f  ai  avec la convention 0    0 .
i 1
Notation : Si μ est la mesure de Lebesgue :
 f x d x    f x dx
Si f  1A
 fd    A
Prop : Soient f et g des fonctions étagées positives et c  R .
Alors :
 cf x d  c  f x d
  f  g x d   f x d   g x d
f  g   fd   gd
Théorème de Beppo Levi : Si sup f n est encore une fonction
nN
étagée, et  f n nN est une suite croissante, alors



d  sup f d

 n
nN
nN

Lemme : Soit g étagée positive telle que g  sup f n , alors
  sup f
n
nN
 gd  sup  f d
n
nN
Def : Pour f mesurable positive, posons

 fd  sup  gd g E g  f


Rq : On sait qu’il existe une suite  f n nN de fonctions étagées
telle que f  sup f n , on a montré que  fd  sup  f n d
nN
nN
Prop : Soient f et g des fonctions mesurables et positives et c  R .
Alors :
 cf d  c  fd
  f  g d   fd   gd
f  g   fd   gd
Théorème de Beppo Levi : Soit  f n nN est une suite croissante de
fonctions mesurables positives, alors   sup f n d  sup
nN
 nN 
 f d .
n


Corolaire : σ-additivité :    f n d  
nN
 nN 
suite de fonctions mesurables positives.
 f d  pour  f 
n
n nN
Lemme de Fatou :  lim f n d  lim  f n d
III)
Fonctions intégrables réelles ou
complexes
Def (intégrale d’une fonction à valeurs réelles) : Soient E, A,  
un espace mesuré et f : E, A,    R, BR une fonction
mesurable.
f est intégrable si et seulement si
 f x  d x    .
Si c’est le cas, f  et f  sont aussi intégrables, et on pose
 f x d x    f x d x    f x d x  .



Prop : On note L R E , A ,   l’espace vectoriel des fonctions
intégrables à valeurs réelles. De plus, l’application :

L R E , A ,    R
est une forme linéaire positive.
f   f d
Def (forme linéaire positive) :

-   R f  L R E , A ,  
  f  g d   f d   gd
- si f  g alors  f d   gd
-  f d   f d
   f d     f d
-
Def (intégrale d’une fonction à valeurs complexes) : Soit
f : E, A,    C, BC  une fonction mesurable.
f est intégrable si et seulement si f  Re f   Im f  est
intégrable.
On pose  f d   Re f d  i   Im f d .
2
2
2
Prop : f est intégrable si et seulement si Re f et Im f le sont. On

note L C E, A ,   l’espace vectoriel complexe des fonctions à
valeurs complexes intégrables et f   f d est une forme

linéaire complexe sur L C E, A ,   et
IV)
 f d  
f d .
Fonctions négligeables
Lemme (inégalité de Bienaymé-Tchebycheff) : Soit g mesurable
1
positive, alors a  0  g  a    gd
a
Prop : Si f est intégrable, alors f est finie presque partout.
Def (égales presque partout, négligeable) :
- f et g sont égales presque partout si et seulement si
 x  E f x  g x  0
- f est négligeable si et seulement si f  0 presque partout
Prop : Soit f : E, A,    R, BR
f négligeable   f d  0
Cor : - L’ensemble des fonctions réelles négligeables forment un


sous-espace vectoriel de L R E , A ,   noté LR E , A ,   .
- Si f et g sont égales presque partout, alors elles ont la
même intégrale, et si f est intégrable, alors  f d   gd .
V) Théorème de convergence dominée
et applications
Def : Soit  f n nN une suite à valeurs réelles ou complexes, on dit
que la suite  f n nN converge presque partout si et seulement si
 x  E  f n x nN ne converge pas  0 .
Th de convergence dominée (ou de Lebesgue) :
Soit  f n nN une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes
convergeant presque partout, s’il existe une fonction positive
intégrable g telle que n  N f n  g presque partout, alors les
f n et f  lim f n sont intégrables et
n
 f d  lim  f d
n
n
Index des notions
bornée
Topol .............................. 9
dénombrable
Proba5 ........................ 3, 4
fonction borélienne
Proba5 ............................ 4
fonction de répartition
Proba5 ............................ 8
fonction étagée
IAF ........................... 9, 10
intégrale d’une fonction
étagée
IAF ............................... 10
limite
Topol .............................. 9
mesurable
IAF ........ 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10
mesure positive
IAF .................................. 6
ouvert
Topol ............................... 4
probabilité
Proba5 ..................... 6, 7, 8
produit d’espaces mesurables
IAF .................................. 5
tribu
IAF .......................... 3, 4, 5
tribu borélienne
Proba5 ............................. 3
σ-additivité
Proba5 ....................... 6, 11