Int_grales_et_Analyse_de_Fourier1

Intégrales et Analyse de Fourier
Espace mesurable. Mesure de Lebesgue......................................................... 3
I) Tribu..................................................................................................... 3
II) Espace mesurable. Application mesurable. ......................................... 4
III) Produits d’espaces mesurables ....................................................... 4
IV) Mesures positives ............................................................................ 5
1) Prolongement de mesure ................................................................. 6
2) Ensembles négligeables ................................................................... 6
V) La mesure de Lebesgue ........................................................................ 7
VI) Mesures de Stieltjes ......................................................................... 7
Fonctions intégrables ....................................................................................... 7
I) Fonctions réelles mesurables. Fonctions étagées. ............................... 8
II) Intégration des fonctions positives ....................................................... 8
III) Fonctions intégrables réelles ou complexes .................................. 10
IV) Fonctions négligeables .................................................................. 11
V) Théorème de convergence dominée et applications ........................... 12
Index des notions ............................................................................................ 13

Espace mesurable. Mesure de Lebesgue.
I) Tribu
Soit E un ensemble,
EP
désigne l’ensemble de ses parties.
Def (tribu) :
Un ensemble de parties A est une tribu si et seulement si :
-
AA  Øou E
- si
AA
alors
A
c
A
- A est stable par réunion dénombrable
Rq : -
,EØ
est la tribu triviale
- si
A n An
alors
A
nn
A
car
c
n
c
n
nnAA 
- si C est un ensemble de parties,
C
est la plus petite
tribu contenant C
- soit
n
A
une famille de parties appartenant à A, si :
o
n np pn AAlim
{ensemble des éléments de
E appartenant à une infinité et parties
n
A
}
o
n np pn AAlim
{ensemble des éléments de
E appartenant à tous les
n
A
, sauf peut-être à un
nombre fini}
Alors
n
Alim
et
n
Alim
appartiennent à A.
- Si E est un espace topologique, on appelle tribu
borélienne la tribu engendrée par les ouverts.

II) Espace mesurable. Application
mesurable.
Soit
': EEf 
, on défini
EEf PP 
': 1
par :
''
1AxfExAf 
.
1
f
est un homomorphisme pour le passage au complémentaire et
à la réunion dénombrable.
Donc si
'A
est une tribu sur
'E
, alors
'
1A
f
est une tribu sur E.
Def (mesurable) :
Soient
A,E
et
',' AE
deux espaces mesurables et
': EEf 
.
f est mesurable si et seulement si
AA 
' 1
f
.
Une application est borélienne si les tribus
A
et
'A
sont des
tribus boréliennes.
Prop : Soit
RREf BA ,,: 
.
f est mesurable si et seulement si
A afRa ;
1
.
Lemme :
-
'''' 11 CfCfEC  
-
'''' 1111 CfCfCfCf
-
''''' 111 CfAfEACf  
Prop : Soit
',',: BB EEf 
, avec
B,E
et
',' BE
deux
espaces topologiques.
Si f est continue, alors f est borélienne.
Prop : La composée de deux applications mesurables est
mesurable.
III) Produits d’espaces mesurables
Def (produit d’espaces mesurables) :
Soit
Ii
ii
E A,
une famille d’espaces mesurables, on défini sur
i
Ei E
la tribu produit
Ii iii
Ii pAA 1
où :
ik
ik
Ik xx
EEp :
1
.

Prop :
n
iii
n
i1 1AA
où
iin
n
iiAniAA AA 
,,1
1
1
.
Rq : Si
k
C
engendre
k
A
,
n
ii
C
1
engendre la tribu produit.
Prop :
i
n
i
n
ii
EEf AA 1
1,,:
.
f est mesurable si et seulement si
i
pfni ,,1
est
mesurable.
Prop : Soit
AAA ,,: 2121 EEEf 
mesurable, alors :
11 Ex 
212
2,
:
1
xxfx
EEf x
22 Ex 
211
1,
:
2
xxfx
EEf x
Alors
212
212 ,
:
1
xxx
EEEAx
et
211
211 ,
:
2
xxx
EEEAx
sont mesurables
et,
11 xx Aff 
et
22 xx Aff 
sont mesurables comme
composées d’applications mesurables.
IV) Mesures positives
Def (mesure positive) :
Une mesure positive sur l’espace mesurable
A,E
est une
application :
AA
;0: A
est σ-additive.
Ie
i
A
famille de parties 2 à 2 disjointes,
nn
nnAA
.
Rq : - est croissante.