Exercices : Barbara Tumpach
Relecture : François Lescure
Exo7
Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue
Exercice 1
Montrer les égalités ensemblistes suivantes :
[a,b] =
\
n=1
]a1
n,b+1
n[et ]a,b[=
[
n=1
[a+1
n,b1
n]
Correction H[005933]
Exercice 2
Soit (,Σ,µ)un espace mesuré et f:Rune fonction (Σ-B(R))-mesurable. Montrer que la troncature fA
de fdéfinie par :
fA(x) =
Asi f(x)<A
f(x)si |f(x)|6A
Asi f(x)>A
est (Σ-B(R))-mesurable.
Correction H[005934]
Exercice 3
Soit =N,Σ=P(N)et µla mesure de comptage sur Ndéfinie par :
µ(E) = ]E=
kE
1,
EΣ. Soit f:NRune fonction positive ou nulle. Montrer que fest (Σ-B(R))-mesurable et que :
Z
f dµ=
n=1
f(n).
Correction H[005935]
Exercice 4
Soit (,Σ)un espace mesurable. On dit que ϕ:Rest une fonction simple ou étagée si ϕest mesurable
et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, i.e. si ϕs’écrit :
ϕ=
jJ
cj1Ej,
Jest un ensemble fini, les ensembles Ejsont mesurables et où, pour i6=j,ci6=cjet EiEj=/0. Soit ϕune
fonction simple positive. On rappelle que l’intégrale de ϕpar rapport à une mesure µest définie par :
Z
ϕdµ=Z
0
µSϕ(t)dt,
Sϕ(t) = {x,ϕ(x)>t}.
1. Montrer que
Z
ϕdµ=
jJ
cjµ(Ej).
1
2. Montrer que pour toute fonction réelle mesurable positive, fM+(,Σ), il existe une suite {ϕn}nN
de fonctions simples positives telle que :
(a) 0 6ϕn(x)6ϕn+1(x)pour tout xet pour tout nN;
(b) limn+ϕn(x) = f(x)pour tout x.
Correction H[005936]
Exercice 5
Soit (,Σ,µ)un espace mesuré et fM+(,Σ)(i.e fest une fonction réelle mesurable positive). Pour tout
EΣ, on pose :
λ(E) = ZE
f dµ=Z
1A·f dµ.
Monter que λdéfinit une mesure sur (,Σ).
Correction H[005937]
Exercice 6
Soit p>0. Soit f:RnR+la fonction définie par
f(x) = |x|p1{|x|<1}(x).
Calculer l’intégrale de fpar rapport à la mesure de Lebesgue de Rnde deux manières différentes :
(i) En utilisant les coordonnées polaires et les méthodes standard de calcul d’intégrales ;
(ii) En calculant la mesure des ensembles Sf(a) = {x,f(x)>a}et la définition de l’intégrale de Le-
besgue.
Correction H[005938]
2
Correction de l’exercice 1 N
1. Montrons que [a,b] = T
n=1]a1
n,b+1
n[.
Pour tout nN, on a [a,b]]a1
n,b+1
n[. Donc [a,b]T
n=1]a1
n,b+1
n[.
Soit xT
n=1]a1
n,b+1
n[. Alors pour tout nN,ona:
a1
n<x<b+1
n.
Ainsi
lim
n+(a1
n)6x6lim
n+(b+1
n),
c’est-à-dire x[a,b]. Donc T
n=1]a1
n,b+1
n[[a,b]et on a démontré l’égalité entre ces deux
ensembles.
2. Montrons que ]a,b[= S
n=1[a+1
n,b1
n].
Pour tout nN, on a [a+1
n,b1
n]]a,b[, donc S
n=1[a+1
n,b1
n]]a,b[.
Soit xS
n=1[a+1
n,b1
n]. Alors il existe nNtel que x[a+1
n,b1
n]. Ainsi x]a,b[et S
n=1[a+
1
n,b1
n]]a,b[, d’où l’égalité de ces deux ensembles.
Correction de l’exercice 2 N
Soit (,Σ,µ)un espace mesuré et f:Rune fonction (Σ-B(R))-mesurable. Montrons que la troncature
fAde fdéfinie par :
fA(x) =
Asi f(x)<A
f(x)si |f(x)|6A
Asi f(x)>A
est mesurable. Notons
E1:={x|f(x)<A}=f1(] ,A[),
E2:={x| | f(x)|6A}=f1([A,A]),
E3:={x|f(x)>A}=f1(]A,+[).
Comme ],A[,[A,A],]A,+[appartiennent à la tribu borélienne et fest (Σ-B(R))-mesurable, les en-
sembles E1,E2, et E3appartiennent à Σ. Alors fA=f·1E2A·1E1+A·1E3est mesurable comme somme de
produits de fonctions mesurables.
Correction de l’exercice 3 N
Soit =N,Σ=P(N)et µla mesure de comptage sur Ndéfinie par :
µ(E) = ]E=
kE
1,
EΣ. Soit f:NRune fonction positive ou nulle. Pour tout borélien E,f1(E)appartient à P(N),
donc fest (Σ-B(R))-mesurable. Par définition de l’intégrale,
Z
f dµ=Z
0
µ(Sf(t)) dt,
Sf(t) = {nΣ,f(n)>t}. Pour tout y[0,+[, posons Ay:={nN,f(n) = y}. Alors
Sf(t) = y>tAy
où l’union est disjointe et où Ayest vide sauf pour un ensemble dénombrable {yi}iNde valeurs de y. Par
σ-additivité de la mesure µ,
µ(Sf(t)) = µ(yi>tAyi) =
yi>t
µ(Ayi) =
yi>t
µ({f=yi}).
3
Ainsi :
Z
f dµ=Z
0
yi>t
µ({f=yi})dt =
i=0Z06t<yi
µ({f=yi})dt
=
i=0
yi·µ({f=yi}) =
i=0
yi·]{nN,f(n) = yi}=
n=0
f(n).
Correction de l’exercice 4 N
Soit ϕune fonction simple positive :
ϕ=
jJ
cj1Ej,
Jest un ensemble fini, les ensembles Ejsont mesurables et où, pour i6=j,ci6=cjet EiEj=/0.
1. On a Z
ϕdµ=Z
0
µSϕ(t)dt,
Sϕ(t) = {x,ϕ(x)>t}=cj>tEjet où µSϕ(t)=cj>tµ(Ej). Ainsi
Z
ϕdµ=Z
0
cj>t
µ(Ej)dt =
jJZcj
0
µ(Ej)dt =
jJ
cjµ(Ej).
2. Pour tout nN, posons
Ek,n:={x,k2n6f(x)<(k+1)2n}pour k=0,...,n2n1,
En,n:={x,f(x)>n}pour k=n2n.
Puisque fest mesurable, les ensembles Ek,nappartiennent à Σ. Pour tout nNfixé, les ensembles Ek,n,
06k6n2n1 sont deux à deux disjoints et kEk,n=. Posons
ϕn=
n2n1
k=0
k2n1Ek,n.
Alors ϕnest une fonction simple positive vérifiant ϕn6f. En outre 0 6ϕn(x)6ϕn+1(x)pour tout x
et pour tout nN. De plus, limn+ϕn(x) = f(x)pour tout x.
Correction de l’exercice 5 N
Soit (,Σ,µ)un espace mesuré et fM+(,Σ). Pour tout EΣ, on pose :
λ(E) = ZE
f dµ=Z
1A·f dµ.
Montrons que λdéfinit une mesure sur (,Σ).
1ère méthode : On montre d’abord que l’affirmation est vraie pour les fonctions simples. D’après l’exercice 4,
toute fonction fM+(,Σ)s’écrit f=supnNϕn, où les ϕnsont des fonctions simples. Puisque le supremum
d’une famille quelconque de mesure est une mesure, on conclut que λest une mesure.
4
2de méthode : On a clairement λ(/0) = 0. Il suffit donc de vérifier la σ-additivité de λ. Soit {Ei}iNΣune
suite d’éléments deux à deux disjoints. On a
λ
[
i=1
Ei!=ZS
i=1Ei
f dµ=Z
1S
i=1Eif dµ
=Z
i=1
1Ei!f dµ=Z
i=1
(1Eif)dµ
=
i=1Z(1Eif)dµ=
i=1ZEi
f dµ
=
i=1
λ(Ei).
Correction de l’exercice 6 N
Soit f:RnR+la fonction définie par
f(x) = |x|p1{|x|<1}(x).
(i) On a :
ZRnf(x)dx =ZRn|x|p1{|x|<1}(x)dx =Z|x|<1
|x|pdx =Z1
r=0ZσSn1
rnp1drdσ
=2πn
2
Γn
2Z1
0
rnp1dr.
Pour n6p, il vient
ZRnf(x)dx = +.
Pour p<n, il vient
ZRnf(x)dx =2πn
2
Γn
2rnp
(np)1
0
=2πn
2
(np)Γn
2
(ii) Pour a[0,+[,
Sf(a) = {xRn,|x|p1|x|<1>a}={xRn,|x|p>a} ∩ B(0,1),
B(0,1)est la boule de centre 0 et de rayon 1. Ainsi
Sf(a) = {xRn,a1
p>|x|} ∩ B(0,1).
On en déduit que Sf(a) = B(0,1)si a1
p>1, i.e. si a<1 et que Sf(a)est égale à la boule B(0,a1
p)
de centre 0 et de rayon a1
plorsque a>1. Il vient alors :
ZRnf(x)dx =Z+
0
µ(Sf(a)) da =Z1
0
µ(B(0,1)) da +Z+
1
µB(0,a1
p)da
=πn
2
Γn
2+1+πn
2
Γn
2+1Z+
1
an
pda.
Si p>n, on obtient RRnf(x)dx = +et pour p<n,ona:
ZRnf(x)dx =πn
2
Γn
2+1+πn
2
Γn
2+1"an
p+1
n
p+1#+
1
=πn
2
Γn
2+11+p
np=2πn
2
(np)Γn
2.
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