La fonction ln - Colegio Francia

Logarithme – page -1-
Logarithme Népérien
La fonction ln
Activité : La fonction usuelle
x
x1
1
n’apparaît pas dans les calculs de dérivées des fonctions xn.
 Définition
On définit la fonction logarithme sur ]0 ; +[ le fonction telle que :
 Sa dérivée soit la fonction inverse :
 ln 1 = 0
 Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[
Démonstration :
x
x1 )'(ln
>0 car x>0 donc la fonction est strictement croissante sur ]0;+[.
 Propriétés relatives à la variation
Soient a et b deux nombres strictement positifs.
ln a = ln b si et seulement si a = b
ln a > ln b si et seulement si a > b
et comme ln 1 = 0, on a :
ln x = 0 si et seulement si x = 1
ln x > 0 si et seulement si x > 1
ln x < 0 si et seulement si x < 1
Propriétés algébriques
 Théorème fondamental
Quels que soient a et b deux nombres strictement positifs.
ln (a  b ) = ln a + ln b
Démonstration :
Etudions la fonction définie de ]0 ; +[ dans IR telle que :
f(x) = ln ax – ln x

Logarithme – page -2-
0
11  xax
axf )('
donc f est la fonction constante et quel que soit x, on a f(x) = k
en particulier, f(1) = k, or f(1) = ln a1 – ln 1 = ln a donc k = ln a
Il résulte donc que quel que soit x appartenant à ]0 ; +[ on a :
ln ax – ln x = ln a ou encore ; ln ax = ln x + ln a (ce qui est bien sûr valable pour x = b)
Conséquence :
1-
b
blnln 
1
Démo :
a
a
a
a
a
a
a
alnln
lnln
lnlnln   1
01
1
11
2-
ba
b
alnlnln 
Démo :
ba
b
a
b
a
b
alnlnlnlnlnln  11
3-
ananlnln 
avec n est un entier relatif
4-
aa lnln 2
1
Démo :
Sachant que
2
)( aa 
aa
aaa
lnln
ln)ln(ln
2
1
donc
2
2
 Exemples :
43
4
3lnlnln 
x
xlnlnln  5
5
(x>0)
xxx 33
2
1
3lnlnlnlnln 

Logarithme – page -3-
Exercices:
ex 1: Simplifier l’écriture de
)15ln()15ln( A
Sol : A= ln( 5-1) = ln 4 = 2 ln2
Ex 2 : Peut-on écrire pour tout x réel : ln(x+1)+ln(x-1)= ln(x²-1) ; c’est à dire généraliser l’exemple
précédent ?
Sol :Il faut que x+1 ; x-1 et x²-1 soient str. Positifs ; c’est à dire que x soit str. supérieur à 1
Ex 3 : Simplifier
aaaB ln
3
1
ln2)ln( 3
Sol :
aB ln
6
7
Ex 4 : Soit x un réel non nul. Exprimer, suivant le signe de x, ln(x²) en fonction de lnx.
Si x >0 alors ln x² = 2ln x, si x<0 alors ln x² = 2ln(–x)
A = ln 12 = ln (34) = ln 3 + ln 4 = ln 3 + 2ln 2
)3ln2(ln26ln2²6ln36ln1ln
36
1
ln B
Propriétés algébriques :#2 #3 #4 #5 #6 p 143
Etude de la fonction ln
 Le nombre e
On admet que ln 4  1,4.
La fonction ln est strictement croissante et dérivable sur ]0;+[ donc c'est une bijection de [1 ; 4] sur [ln 1; ln
4] = [0 ; 1,4], donc il existe un réel unique (noté e) tel que ln e = 1.
Théorème :
L’équation lnx = 1 admet une unique solution notée e e 2,71828
Application :
A = ln (e) – ln (e3) + 4ln (1) = 1 – 3 + 0 = – 2
3ln9ln 9 eeB
2
ln
ln2
ln
ln 1
2
ee
e
e
C
D = ln (6e) – ln(2e) = ln 6 + ln e – ln 2 – ln e = ln 6 – ln 2 = ln 6/2 = ln 3.
#20 #21 #22 p 145
Exercice : résoudre dans IR l’équation : lnx = 4 en posant 4 = ln(e4)
ln x = 4
ln x = ln(e4)
x = e4
Equations : #9 à #19

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Théorème : ln x = n  x= en pour n Z
Exemple : Résolvons l’équation : ln x = 4
ln x = 4  lne = ln e4 ; donc x = e4
On applique la propriété : ln a = ln b si et seulement si a = b
 Tableau de variation et courbe représentative.
x
0
+
f ' (x)
+
f (x)
–
+
Limites :
Théorème : *
x xlnlim
*
x xlnlim 0
Démo :
* ln est une bijection croissante de IR*+ vers IR donc quel que soit le réel A aussi grand qu'on veut, il existe
un x0 tel que ln x0 = A. Et quel que soit x > x0, ln x > A.
* En prenant
X
xx
xX
xxx lnlim
1
lnlim)
1
ln(lim
1
1
lnlim 0
1
00
La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe.

Logarithme – page -5-
3
2
1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Comportement asymptotique de ln :
Théorème :
0
ln
lim 
xx x
Démo
(Etude de la fonction
x
x
xf ln :
)
La fonction ln admet une branche parabolique de direction (0x)
La fonction ln a une croissance "lente"
4
0
4
8
0
200
400
600
800
1000
y
x
La courbe de ln dans un repère choisi afin de montrer la croissance lente.