La fonction ln - Colegio Francia

Logarithme Népérien
La fonction ln
Activité : La fonction usuelle x 1 
1
n’apparaît pas dans les calculs de dérivées des fonctions xn.
x
 Définition
On définit la fonction logarithme sur ]0 ; +[ le fonction telle que :
 Sa dérivée soit la fonction inverse :

ln 1 = 0
 Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[
Démonstration :
1
(ln x )'  >0 car x>0 donc la fonction est strictement croissante sur ]0;+[.
x
 Propriétés relatives à la variation
Soient a et b deux nombres strictement positifs.
ln a = ln b si et seulement si a = b
ln a > ln b si et seulement si a > b
et comme ln 1 = 0, on a :
ln x = 0 si et seulement si x = 1
ln x > 0 si et seulement si x > 1
ln x < 0 si et seulement si x < 1
Propriétés algébriques
 Théorème fondamental
Quels que soient a et b deux nombres strictement positifs.
ln (a  b ) = ln a + ln b
Démonstration :
Etudions la fonction définie de ]0 ; +[ dans IR telle que :
f(x) = ln ax – ln x
Logarithme – page -1-
1 1
  0 donc f est la fonction constante et quel que soit x, on a f(x) = k
ax x
en particulier, f(1) = k, or f(1) = ln a1 – ln 1 = ln a donc k = ln a
f ' ( x)  a 
Il résulte donc que quel que soit x appartenant à ]0 ; +[ on a :
ln ax – ln x = ln a ou encore ; ln ax = ln x + ln a (ce qui est bien sûr valable pour x = b)
Conséquence :
1
1- ln   ln b
b
Démo :
1
1
ln a   ln a  ln  1
a
a ln   ln a

1
ln a   ln 1  0  a
a

a
 ln a  ln b
b
Démo :
a
1
1
ln  ln a   ln a  ln  ln a  ln b
b
b
b
2- ln
3- ln a n  n ln a avec n est un entier relatif
4- ln a 
1
ln a
2
Démo :
Sachant que a  ( a ) 2
ln a  ln( a ) 2  2 ln a
donc ln a 
1
ln a
2
 Exemples :
3
 ln 3  ln 4
4
5
ln  ln 5  ln x (x>0)
x
1
ln 3  ln x  ln 3  ln x  ln 3 x
2
ln
Logarithme – page -2-
Exercices:
ex 1: Simplifier l’écriture de A  ln( 5  1)  ln( 5  1)
Sol : A= ln( 5-1) = ln 4 = 2 ln2
Ex 2 : Peut-on écrire pour tout x réel : ln(x+1)+ln(x-1)= ln(x²-1) ; c’est à dire généraliser l’exemple
précédent ?
Sol :Il faut que x+1 ; x-1 et x²-1 soient str. Positifs ; c’est à dire que x soit str. supérieur à 1
1
Ex 3 : Simplifier B  ln( a 3 )  2 ln a  ln a
3
7
Sol : B  ln a
6
Ex 4 : Soit x un réel non nul. Exprimer, suivant le signe de x, ln(x²) en fonction de lnx.
Si x >0 alors ln x² = 2ln x, si x<0 alors ln x² = 2ln(–x)
A = ln 12 = ln (34) = ln 3 + ln 4 = ln 3 + 2ln 2
1
 ln 1  ln 36   ln 6²  2 ln 6  2(ln 2  ln 3)
36
Propriétés algébriques :#2 #3 #4 #5 #6 p 143
B  ln
Etude de la fonction ln
 Le nombre e
On admet que ln 4  1,4.
La fonction ln est strictement croissante et dérivable sur ]0;+[ donc c'est une bijection de [1 ; 4] sur [ln 1; ln
4] = [0 ; 1,4], donc il existe un réel unique (noté e) tel que ln e = 1.
Théorème :
L’équation lnx = 1 admet une unique solution notée e
Application :
A = ln (e) – ln (e3) + 4ln (1) = 1 – 3 + 0 = – 2
B  ln e9  9 ln e  3
ln e 2
 2 ln e
2
 ln e
ln e
D = ln (6e) – ln(2e) = ln 6 + ln e – ln 2 – ln e = ln 6 – ln 2 = ln 6/2 = ln 3.
#20 #21 #22 p 145
Exercice : résoudre dans IR l’équation : lnx = 4 en posant 4 = ln(e4)
ln x = 4
ln x = ln(e4)
x = e4
Equations : #9 à #19
C
1

Logarithme – page -3-
e  2,71828
Théorème :
ln x = n  x= en pour n Z
Exemple : Résolvons l’équation : ln x = 4
ln x = 4  lne = ln e4 ; donc x = e4
On applique la propriété : ln a = ln b si et seulement si a = b
 Tableau de variation et courbe représentative.
x
f ' (x)
f (x)
0
+
+
+
–
Limites :
Théorème :
* lim ln x  
x  
* lim ln x  
x 0 
Démo :
* ln est une bijection croissante de IR*+ vers IR donc quel que soit le réel A aussi grand qu'on veut, il existe
un x0 tel que ln x0 = A. Et quel que soit x > x0, ln x > A.
1
1
1
 lim ln( ) 1  lim  ln  lim  ln X  
1 x 0
x
x X  
x 0
x 0
x
La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe.
* En prenant lim ln
Logarithme – page -4-
y
2
1
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
Comportement asymptotique de ln :
Théorème :
ln x
0
x   x
lim
Démo
(Etude de la fonction f : x 
ln x
)
x
La fonction ln admet une branche parabolique de direction (0x)
La fonction ln a une croissance "lente"
y
8
4
0
x
0
200
400
600
800
4
La courbe de ln dans un repère choisi afin de montrer la croissance lente.
Logarithme – page -5-
1000
Limites importantes
Théorème
lim x ln x  0
x 0
Démo
1
ln
ln X
x  lim x ln 1  lim x ln x 1  lim  x ln x
lim
 0  lim
X   X
x x 0 
x 0  1
x 0
x 0
x

lim x ln x  0
x 0
Théorème
ln( 1  x )
1
x 0
x
lim
Démo
La fonction f = ln est dérivable sur IR*+ donc elle est dérivable en 1 et
f(1+h) = f(1) + hf '(1) + h (h) avec lim  (h )  0
h 0
ln( 1  h )  ln 1  h  1  h ( h )  h  h ( h )
donc
ln( 1  h )
lim
 lim (1   ( h ))  1
h 0
h 0
h
Application :
1- Calculer lim ( x  ln x )
x  
lim ( x  ln x )  lim x (1 
x  
x  
ln x
ln x
)   car lim
0
x   x
x
2- Calculer lim (ln( 3x  2)  x ) puis lim (ln( 3x  2)  x )
x
x  
2
3
lim (ln( 3x  2)  x )  lim ln( 3x  2)  lim x  
x
2
3
x
2
3
x
2
3
2
2
ln x(3  )
ln x  ln( 3  )
ln( 3x  2)
x  1)  lim x(
x  1)
lim (ln( 3x  2)  x )  lim x(
 1)  lim x(
x  
x  
x  
x  
x
x
x
2
ln( 3  )
ln x
x  1)  
 lim x(

x  
x
x
2
ln( 3  )
ln x
x  0 puisque lim ln( 3  2 )  ln 3
 0 et lim
car lim
x   x
x  
x  
x
x
Logarithme – page -6-