Correction du devoir 3

Correction du devoir 3
Rappel : on se fixe
cz 
1
puis pour tout entier
1n
,
czz nn 
2
1
.
Exercice 1
b ) Si
0x
et
1A
alors
11
2 xAxA
, c’est-à-dire
01)( 2 AAAx
.On a à gauche, au choix
une fonction affine de
x
ou un trinôme en A ou
)1()1(  AAxA
où tout est positif ou
)1)(1(  xAA
.
c )* *
n
H
est :
1
1  n
nccz
donc
1
H
, c’est-à-dire
0
11 ccz
, est vraie puisque
cz 
1
.
** Soit
n
un entier,
1n
. On suppose que
n
H
est vraie, soit :
1
1  n
nccz
.
On a alors
czz nn 
2
1
ccccz n
n 2
12 )1(
en utilisant a) et
n
H
,
c’est-à-dire
]1)1([)1( 2
1
2
12
1 
nn
ncccccz
=
11
2 xAxA
,
en utilisant b) avec
0 cx
et
11 1  n cA
(
11 1  n cA
car
2c
et
1n
),
c’est-à-dire :
nn
ncccccz 111 1 1 
, ce qui prouve que
1n
H
est vraie.
** On a prouvé par récurrence sur que
n
H
est vraie pour tout
1n
.
La suite
n
n
Z
est donc minoré par la suite
n
n
cc )1( 
qui diverge vers + l’infini car
2c
.
On prouverait de même : s’il existe un entier
N
tel que
2
N
z
alors
Ec
(essentiel ensuite).
Racines carrées dans C
i
ZRe
est fixé dans C. L’équation d’inconnue
i
rez
:
Zz 
2
s’écrit
22
2Rr
,
ce qui équivaut à
Rr 
et
2/
, soit
22/2/)arg(  ouz
.
On désigne par sqrt(
Z
) la solution dont l’argument est
2/
où est la détermination principale (= entre
, exclu, et ) de l’argument de
Z
et on rappelle que cette notation est absolument proscrite au bac.
Note : pour tout
0Z
, (
0)( ZRé
car la détermin. principale de son arg est dans
2/,2/
. (2)
Exercice 2
Au 1 ) b ), on a admis que tout
'u
de Int (L) est de la forme
2/2/1' uuu 
avec
1u
. (3)
(3) ne dit pas que la réciproque de 1 ) b ) est vraie car tout
'u
de Int (L) est aussi de la forme
2/2/1' UUu 
avec
12 U
.
Prouver à l’aide du 1 ) qu’un des nombres et est à l’intérieur de C(O ;0,5).
On suppose que
n
z
converge vers
l
. En prenant la limite quand
n
tend vers l’infini dans (1), on obtient
0
2 cll
d’où les nombres et :
2)41(1 csqrt 
et
2)41(1 csqrt 
.
On voit avec Géogébra qu’en fait
l
mais on ne le prouvera pas ici.
On essaie par l’absurde : si et sont à l’extérieur de C(O ;0,5) alors
4/1
(*)
c’est-à-dire
4/1
4))41((1 22 
 csqrt
, soit
4/1c
, zut ça ne contredit pas
)(
1LIntcz 
!
Utilisons le supplément d’hypothèse (3) :
2/2/1 uuc 
avec
1u
.
On a alors
4/2 uuc 
donc
2
11
2))2(1(1 2
u
uusqrt 
, idem avec
2
11 2 u
.
Apriori on ne sait pas si
2
1u
vaut
u1
ou
)1( u
mais à coup sûr, ou vaut
2/u
avec
1u
.
En fait
1u
0)1(  uRé
. Donc (2)
uu  11 2
et c’est qui vaut
2/u
avec
1u
.