Correction du devoir 3 2 Rappel : on se fixe z1 c puis pour tout entier n 1 , zn1 zn c . Exercice 1 2 b ) Si x 0 et A 1 alors xA 1 Ax 1 , c’est-à-dire x( A 2 A) A 1 0 .On a à gauche, au choix une fonction affine de x ou un trinôme en A ou xA( A 1) ( A 1) où tout est positif ou ( A 1)( xA 1) . c )* * H n est : z n c c 1 n 1 donc H 1 , c’est-à-dire z1 c c 1 , est vraie puisque z1 c . 0 ** Soit n un entier, n 1 . On suppose que H n est vraie, soit : z n c c 1 n 1 On a alors z n 1 z n c z n 2 c ( c c 1 ) c en utilisant a) et H n , n 1 2 2 c’est-à-dire z n 1 c ( c 1 ) c c [ ( c 1 n 1 2 2 n 1 n 1 ) 1] = xA2 1 Ax 1 , n 1 2 en utilisant b) avec x c 0 et A c 1 c’est-à-dire : z n 1 c c 1 . ( A c 1 n 1 1 c 1 c c 1 n 1 car c 2 et n 1 ), , ce qui prouve que H n 1 est vraie. ** On a prouvé par récurrence sur que H n est vraie pour tout n 1 . La suite Z n n est donc minoré par la suite ( c c 1 ) n qui diverge vers + l’infini car c 2 . n On prouverait de même : s’il existe un entier N tel que z N 2 alors c E (essentiel ensuite). Racines carrées dans C r2 R Z Re est fixé dans C. L’équation d’inconnue z re : z Z s’écrit , 2 2 ce qui équivaut à r R et / 2 , soit arg( z) / 2 ou / 2 2 . i i 2 On désigne par sqrt( Z ) la solution dont l’argument est / 2 où est la détermination principale (= entre , exclu, et ) de l’argument de Z et on rappelle que cette notation est absolument proscrite au bac. Note : pour tout Z 0 , ( Ré ( Z ) 0 car la détermin. principale de son arg est dans / 2, / 2 . (2) Exercice 2 Au 1 ) b ), on a admis que tout u ' de Int (L) est de la forme u' 1 u / 2 u / 2 avec u 1 . (3) (3) ne dit pas que la réciproque de 1 ) b ) est vraie car tout u ' de Int (L) est aussi de la forme u' 1 U / 2 U / 2 avec U 2 1 . Prouver à l’aide du 1 ) qu’un des nombres et est à l’intérieur de C(O ;0,5). On suppose que z n converge vers l . En prenant la limite quand n tend vers l’infini dans (1), on obtient 1 sqrt (1 4c) 1 sqrt (1 4c) l 2 l c 0 d’où les nombres et : et . 2 2 On voit avec Géogébra qu’en fait l mais on ne le prouvera pas ici. On essaie par l’absurde : si et sont à l’extérieur de C(O ;0,5) alors 1 / 4 (*) c’est-à-dire 12 ( sqrt (1 4c)) 2 1 / 4 , soit c 1 / 4 , zut ça ne contredit pas z1 c Int ( L) ! 4 Utilisons le supplément d’hypothèse (3) : c 1 u / 2 u / 2 avec u 1 . 1 sqrt (1 (2 u )u ) 1 On a alors c 2 u u / 4 donc 2 Apriori on ne sait pas si 1 u 2 1 u 2 2 , idem avec 1 1 u 2 2 . vaut 1 u ou (1 u ) mais à coup sûr, ou vaut u / 2 avec u 1 . En fait u 1 Ré (1 u ) 0 . Donc (2) 1 u 2 1 u et c’est qui vaut u / 2 avec u 1 .