Devoir de control Exercice 1 1. Définir la fonction f de deux variables telle que f(x,y)=x^2+ysin(x)-y ; 2. Dériver f, par rapport à la variable x, puis par rapport à la variable y ; 3. Donner une primitive f (x,3) et une primitive de f(1,y) ; 4. donner le graphe de f, pour x entre -10 à 10 et y entre -15 et 15 ; 5. Résoudre le système 3x+y-5z=0, x-6y+z=6, y+5z=3x-2. Correction de l'exercice 1 O f:=(x,y)->x^2+y*sin(x)-y; f := x, y /x2 Cy sin x Ky (1.2.1) O diff(f(x,y),x);diff(f(x,y),y); 2 x Cy cos x sin x K1 (1.2.2) O F(x):=int(f(x,3),x);G(y):=int(f(1,y),y); 1 3 F x := x K3 cos x K3 x 3 1 2 1 2 G y := y C y sin 1 K y 2 2 O plot3d(f, -10..10, -15..15); (1.2.3) O solve({3*x+y-5*z=0,x-6*y+z=6, y+5*z=3*x-2},{x,y,z}); 1 1 x = , z = K , y = K1 8 8 (1.2.4) Exercice 2 Ecrire une procédure pour calculer a^n à partir de la multiplication Correction de l'exercice 2 O Puissance:=proc(a,n) local i,s; s:=1; for i from 1 to n do s:=a*s od; s; end:Puissance(3,0);Puissance(3,3); 1 (1.4.1) 27 (1.4.1) Exercice 3 Donner une procédure pour calculer factorielle n (y compris pour n=0). Correction de l'execice 3 O factorielle:=proc(n) local s,i; s:=1; if n=0 then 1 else for i from 1 to n do s:=s*i od: fi: end: O factorielle(5); 120 (1.6.1) Exercice 4 Ecrire une procédure qui permet de résoudre l'equation ax^2+bx+c=0 dans R puis dans C Correction de l'exercice 4 O solveR:=proc(a,b,c) if b^2 -4*a*c>= 0 then print({x[1]=(-b-(sqrt(b^2 -4*a*c))) /2, x[2]=(-b+(sqrt(b^2 -4*a*c)))/2}) else print(`ensemble vide`) fi: end:solveR(2,8,5); x1 = K4 K 6 , x2 = K4 C 6 (1.8.1) O solveC:=proc(a,b,c) if b^2 -4*a*c>= 0 then print({x[1]=(-b-(sqrt(b^2 -4*a*c))) /2, x[2]=(-b+(sqrt(b^2 -4*a*c)))/2}) else print({x[1]=(-b-I*(sqrt(-b^2 +4*a*c)))/2, x[2]=(-b+ I*(sqrt(-b^2 +4*a*c)))/2}) fi: end:solveC(2,2,5); x1 = K1 K3 I, x2 = K1 C3 I (1.8.2) Exercice 5 Tracer les courbes des fonctions x->x^k+4*k, pour un k (k<>0) plus petit ou égal à n (n est fixé), F est une fonction donnée, pour un x entre -a et a et pour un y entre -b et b. Nommer le graphe 'n premières fonctions'. (Ecrire une procédure qui dépend de F, k, a, b). Correction de l'exercice 5 O graphedefonctions:=proc(F,n,a,b) local fonction, k, titre; titre:=`premières fonctions`.n; fonction:=NULL; for k from 1 to n do fonction:=fonction , (F(x))^k#+4*k od: plot({fonction},x=-a..a, y=-b..b, title=titre) end:F:=x->exp(x)*x; graphedefonctions(F,4,10,13); F := x/ex x 4 premières fonctions 10 y 5 K10 0 K5 K5 K10 O 5 x 10