Systèmes de deux équations à deux inconnues

Systèmes de deux équations à deux inconnues
1)
Equations du premier degré à deux inconnues
Définition :
Une équation du 1er degré à deux inconnues x et y est une équation qui peut se ramener à une équation de la
forme ax + by = c ou a, b et c sont trois nombres.
Exemple :
3x – 5y =2 est une équation à deux inconnues x et y.
3 * 4 – 5 * 2 = 2 donc le couple (4 ;2) est solution de cette équation.
Remarque :
Dans un couple de nombres (x ;y) l’ordre des termes est important. Ainsi (4 ;2) est solution de l’équation
3x-5y=2 mais (2 ;4) n’est pas solution.
2)
Système de deux équations à deux inconnues
Définition :
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme :
Ax + by = c
A’x + b’y = c’
Ou a, b, c et a’, b’, c’ sont des nombres donnés.
Résoudre un tel système c’est trouver le couple (x ;y) qui vérifie les deux équations.
Exemple :
Le couple (2 ;3) est solution du système :
4x – 2y = 2
x + 3y = 11
Le couple (1 ; 1) n’est pas solution de ce système, car il n’est pas solution de la 2e équation, bien qu’il soit
solution de la 1ere équation.
3)
Méthodes de résolutions d’un système de deux équations à deux inconnues
A)
Par Combinaison
Résoudre le système :
3x  4y  5
 2x 3y  9

On repère les coefficients d’une des deux inconnues,
par exemple ceux de x, et on détermine un de leurs
multiples communs non nuls.
On rend égaux les coefficients de l’inconnue choisie.
3x + 4y = 5 * 2
2x – 3y = 9 * (3)
On obtient :
6x + 8y = 10
6x - 9y = 27
On soustrait :
On soustrait les égalités membre à membre et on
résout l’équation obtenue
6x + 8y = 10
(1)
17y = -17 (1+2)
On obtient :
6x + 8y = 10
(1)
y = -1 (1+2)
6x + 8*(-1) = 10
y = -1
On obtient :
6x = 18
y = -1
On détermine l’autre inconnue en remplaçant dans
l’équation restante l’inconnue trouvée par sa valeur.
Donc
x =3
y = -1
3*3 + 4*(-1) = 5
2*3 – 3*(-1) = 9
La solution est (3 ;-1)
On vérifie si le couple trouvé est une solution du
système de départ, puis on conclut.
Remarque :
Pour certains systèmes, il est nécessaire, dans un premier temps, de simplifier chacun des membres des deux
équations.
B)
Par substitution
Résoudre le système :
 x  2y  7
2x  3y  11

 x  2y  7
2x  3y  11

On isole une inconnue dans une des équations.
Donc :
x = 7 – 2y
2x + 3y = 11
x = 7 – 2y
2 (7 – 2y) + 3y = 11
On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation.
On résout cette équation pour trouver une inconnue.
Soit
Cette inconnue étant trouvée, on la substitue dans
l’autre équation.
Soit
On vérifie si le couple trouvé est une solution du
système de départ, puis on conclut.
x = 7 – 2y
y=3
x = 7 – 2*3
y=3
x=1
y=3
1 + 2*3 = 7
2*1 + 3*3 = 11
La solution est (1 ;3)
Remarque :
Pour certains systèmes, il est nécessaire, dans un premier temps, de simplifier chacun des membres des deux
équations.
Cette méthode est à utiliser de préférence lorsque, dans l’une des deux équations, le coefficient de l’une des
inconnues est 1.
C)
Graphiquement
Résoudre le système :
 3x  y  5
-6x  2y  -2

On choisit l’une des inconnues et je l’écris en fonction
donc
de la deuxième inconnue dans chaque équation.
On définit deux fonctions affines correspondant aux
résultats précédents.
 3x  y  5
-6x  2y  -2

y = 5 – 3x
y = -1 + 3
Soit f : x→ 5 – 3x
Soit g : x→ -1 + 3
Ces deux fonctions sont des fonctions affines, leur
représentation graphique est donc une droite.
X
-1
0
2
F(x)
8
5
-1
G(x)
-4
-1
5
On représente graphiquement ces deux fonctions
Les coordonnées du point d’intersection des
représentations graphiques sont les solutions du
système. Je lis donc ces coordonnées.
On vérifie si le couple trouvé est une solution du
système de départ, puis on conclut.
Les coordonnées du point d’intersection de ces deux
courbes semblent être le point de coordonnées (1 ;2).
3*1 + 2 = 5
-6*1 + 2*2 = -2
Donc (1 ;2) semble être la solution du système.