1. Fonction logarithme népérien

Chapitre 5 : ANALYSE
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FONCTIONS USUELLES
1. Fonction logarithme népérien :
1.1. Présentation :
On cherche à résoudre l’équation fonctionnelle suivante notée (E) :
)()()( yfxfxyf
pour tous réels
x
et
y
strictement positifs.
On cherche l’ensemble des fonctions f définies sur lR*+, dérivables sur lR*+et satisfaisant la relation
(E).
Théorème :
Il existe une unique solution f de (E) vérifiant,
0)1( f
,
1)1(  f
et
x
xf 1 )( 
pour tout
x
dans
,0
. On appelle logarithme népérien cette fonction f. On la note ln.
1.2. Représentation graphique, limites, dérivées et signe :
On a vu que
x
x1 ln 
pour tout
x
strictement positif, donc le logarithme népérien est une fonction
croissante sur lR*+.
Théorème :
Soit
u
une fonction définie sur un domaine D de lR, strictement positive sur ce domaine et dérivable,
on a alors
)( )(
)(ln xu xu xu 
pour tout
x
dans D.
Exemple : f(x) = ln (x2 + x + 1)
Théorème :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
,0
avec les propriétés suivantes :
 Ln x :
 < 0 si x  ] 0; 1 [
 = 0 si x = 1
 0 si x  ] 1 ; +∞ [
x xlnlim
x xlnlim 0
Le graphe de la fonction logarithme népérien a l’allure suivante :

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1.3. Propriétés algébriques :
On a les propriétés fondamentales suivantes :
yxxy lnlnln 
pour tous réels
x
et
y
strictement positifs.
x
xln
1
ln 
pour tout réel
x
strictement positif.
xnxnlnln 
pour tout réel
x
strictement positif et tout entier
n
.
1.4. Exemple d’utilisation : le logarithme décimal
10ln
ln
log x x
pour tout réel
x
strictement positif.
On a
p
p
p
p 10ln 10ln
10ln10ln
10log
pour tout entier
p
1.5. Croissances comparées :
Le but de cette partie est de montrer que la croissance de la fonction logarithme népérien est moins
importante que celle des fonctions puissances.
Limites importantes (à connaître par cœur) :
1
)1ln(
lim 0
xx x
0
ln
lim 
n xxx
pour tout entier
1n
.
0lnlim 0
xxn x
pour tout entier
1n
.
 Si P est un polynôme on a toujours
0
)(
ln
lim 
xP x x
(à l’infini, les polynômes l’emportent toujours sur le logarithme)
xx x
ln
lim 0
2. Fonction exponentielle :
2.1. Présentation :
On cherche à résoudre l’équation fonctionnelle suivante notée (E) :
)()()( yfxfyxf 
pour tous réels
x
et
y
.
On cherche l’ensemble des fonctions f définies sur lR, dérivables sur lR et satisfaisant la relation (E).
Théorème :
Il existe une unique solution f de (E) vérifiant,
1)0( f
,
1)0(  f
et
)()( xfxf 
pour tout x dans
lR. On appelle exponentielle cette fonction f. Pour tout réel x,
x
exf )(
.
2.2. Représentation graphique, limites, dérivées et signe :
On a vu que
xx ee 
pour tout réel
x

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Théorème :
Soit
u
une fonction définie sur un domaine D de lR, dérivable sur ce domaine, on a alors
)()( )( xuxu exue 
pour tout
x
dans D.
Prouvons maintenant que la fonction exponentielle f est strictement positive sur lR :
Supposons qu’il existe un réel
0
x
tel que
0
0
x
e
. On a alors
2
222 000
0
 xxx
xeee
.
Donc on obtient que
0
2
2
0
x
e
ce qui est absurde (un carré ne peut être strictement négatif).
Donc un tel
0
x
ne peut exister et pour tout réel
x
,
0
x
e
.
On vient de prouver que la fonction est positive. Afin de prouver la stricte positivité, il faut
s’intéresser au graphe de f.
Comme f est dérivable et que
ff 
, on en déduit que la fonction exponentielle est croissante.
Avec
1
0e
. On peut voir que f admet une limite lorsque
x
tend vers . Notons la
l
.
Théorème :
x xelim
0lim 
x xe
(Ceci donne la stricte positivité de l’exponentielle :
0
x
e
pour tout réel
x
)
Le graphe de la fonction exponentielle est le suivant :
2.3. Propriétés algébriques :
On a les propriétés fondamentales suivantes :
yxyx eee 
pour tous réels
x
et
y
.
x
xe
e1
pour tout réel
x
.
2.4. Croissances comparées :
Le but de cette partie est de montrer que la croissance de la fonction exponentielle est plus
importante que celle des fonctions puissances.
La fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n’importe quelle fonction puissance.

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Théorème :
n
x
xx
e
lim
pour tout entier positif
n
.
0lim 0
xn xex
pour tout entier positif
n
.
 Si
P
est un polynôme, on a toujours
)(
lim xP
ex
x
(à l’infini, l’exponentielle l’emporte toujours sur les polynômes).
La fonction exponentielle admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées :
x
ex
x
lim
1) Limite importante (à connaître par cœur) :
1
1
lim 0
x
ex
x
2) Lien entre les fonctions exponentielles et les fonctions puissances :
L’exponentielle généralise la notion de puissance. En effet, jusqu’à présent, étant donné un nombre x et
un entier n, le nombre
n
x
=
xxx  ....
(n fois).
Nous pouvons désormais définir la puissance d’un nombre positif par un exposant réel grâce à la
remarque suivante :
Si
a
> 0
axx ea ln
Les propriétés connues sur les puissances entières peuvent se transposer aux puissances réelles :
xy
y
xaa 
yxyx aaa 
x
xa
a
1

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Exercices d’applications sur les fonctions usuelles
Exercice 1 : Donner les domaines de définitions des fonctions suivantes et calculer leur dérivée,
)1ln()( xxf 
;
)1ln( )1(
)( x
x
xg 
;
2
2
1)1ln(
)( xxx xh 
Exercice 2 : Calculer les limites suivantes,
1)1ln(
lim 1
 xx x
1)1ln(
lim 
xx x
)1ln(lim x
x
)1ln(lim 1x
x
Exercice 3 : Etude de la fonction
xxxxf  ln)(
Domaine de définition et les limites de
f
aux bornes du domaine de définition.
Calculer la dérivée de f et l’équation de la tangente à f au point x = 2.
Donner le tableau de variations et graphe de la fonction.
Exercice 4 : Etude de la fonction
xx
xxf ln 1)( 
Domaine de définition et les limites de f aux bornes du domaine de définition.
Calculer la dérivée de f. Donner le tableau de variations.
Prouver que y = x + 1 est asymptote à la courbe en +∞ et tracer le graphe de la fonction.
Exercice 5 : Donner les domaines de définition des fonctions suivantes,
1
)(  x exf
1
)(  xx exf
1
1
)(  x e
xx
xf
2
1
)( x exf 
Exercice 6 : Calculer les limites suivantes,
x
ex
x1
lim 2
0
x
ex
x21
lim 2
0
x
xexx )13(lim 24 
x
xe
lim
x
xe
lim
x
xe
xx1
lim 
x
xe1
lim 
x
x
xe1
00
lim 
Exercice 7 : Etude des fonctions
1)(  xexf x
et
1)(  xexg x
Domaine de définition et les limites aux bornes du domaine de définition.
Calculer les dérivées. Donner les tableaux de variations.
Prouver que y = x + 1 est asymptote à la courbe de f en -∞ et tracer le graphe de la fonction.
Prouver que y = -x + 1 est asymptote à la courbe de g en -∞ et tracer le graphe de la fonction.