CALCUL INTEGRAL I. Généralités. 1) Théorème : Soit f une fonction

CALCUL INTEGRAL
I. Généralités.
1) Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur I et a,b deux nombres appartenant à I.
Le nombre F(b)-F(a) où F est une primitive de f, ne dépend pas du choix de F.
preuve : Soient F et F+C , C un réel quelconque, deux primitives de f.
( F(b)+C ) -(F(a)+C) = F(b)-F(a)+C-C= F(b)-F(a)
2) Définition :
Soit f une fonction admettant F comme primitive sur I et a, b deux nombres de I.
b
Le nombre F(b)-F(a) s’appelle intégrale de a à b de f et se note  f ( x )dx
a
b
on a  f ( x )dx = [F(x)] ab = F(b)-F(a).
a
1
1
1
1
Exemples : a)  dt  [ ]12 = -1+  
t
2
2
t²
2
1
4
e
b)  dx  [ x ]  4  3  1
4
3
c)
1
 t dt  [lnt]
e
1
=1
1
3
3) Interprétation graphique :
a) unité d’aire :
 
définition : Dans un repère orthogonal (O ; i , j ) , soit I(1 ;0), J(0 ;1) et K(1 ;1).
On appelle unité d’aire et on note u.a l’aire du rectangle OIKJ.
 
exemple : Soit (O ; i , j ) un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse et
3 cm en ordonnées. L’unité d’aire est 6 cm². On écrit 1 u.a = 6 cm².
b) Activité :
On considère la fonction k définie sur  par k(x) = x-1
et représentée ci-contre. On cherche à déterminer
l'aire du domaine grisé sur le dessin ci-contre.
1. Calculer cette aire en cm2.
2. Trouver une primitive K de la fonction k
et calculer K(5)-K(1).
3. Que remarque-t-on ?
solution : 1. A =
4x 4
 8 cm ²
2
2. Une primitive de k est K(x) =
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
x
x²
 x donc
2
25
1
 5  1  8
2
2
3. On remarque que l’on trouve le même résultat.
c) Aire d’une partie de plan limitée par la courbe représentative d’une fonction f, l’axe Ox et
deux droites parallèles à l’axe Oy.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a ;b] et F une primitive de f .
 Cas d’une fonction ne prenant que des valeurs positives sur [a ;b]
Théorème admis :
y
Soit f une fonction dérivable sur [a ;b] et ne prenant que des valeurs
positives sur [a ;b]. Soit C la courbe représentative de f dans un repère
 
(
O
;
i , j ) . L’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie de plan limitée
1
j
par C, l’axe Ox, la droite d’équation x = a et la droite d’équation
K (5)  K (1) 
a
0
i
1
b
x
b
x = b est égale à
 f (x)dx
a

Cas d’une fonction ne prenant que des valeurs négatives sur [a ;b]
Théorème admis :
Soit f une fonction dérivable sur [a ;b] et ne prenant que des valeurs négatives sur [a ;b].
 
y
Soit C la courbe représentative de f dans un repère (O ; i , j ) .
L’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie de plan limitée par C, l’axe Ox,
C'
la droite d’équation x = a et la droite d’équation x = b
1
j
0
a
b
A'
  f (x)dx
est égale à
i 1
b
a
x
b
En effet, A = A’=   f ( x )dx d’après le théorème précédent.
A
a
C

1y
j
a
0
Cas d’une fonction changeant de signe sur [a ;b]
Si f change de signe sur [a ;b], on calcule les aires sur chaque
sous-intervalle où f est de signe constant. L’aire totale est la somme des
aires calculées.
i 1 c
c
b
a
c
A =  f ( x )dx +   f ( x )dx
b x
ATTENTION : L’aire d’une partie de plan délimitée par la courbe représentative d’une fonction f, l’axe Ox,
b
la droite d’équation x = a et la droite d’équation x = b n’est pas toujours égale à  f ( x )dx
a
exemple : 1) Calculer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe de la fonction f définie par
f(x) = x² - 1 , l’axe Ox, la droite d’équation x = -2 et la droite d’équation x = 3.
3
 f (x )dx
2) Calculer
2
solution : 1) A =
1
3
2
1
1
 f (x )dx +   f (x )dx +  f ( x )dx soit
A=
1
1
3
2
1
1
 ( x ²  1)dx +  ( x ²  1)dx +  ( x ²  1)dx
x
x
x
1
(2)
1
1
27
1
28
 2)  (  1   1)  (  3   1) 
- x] 12 + [ - + x] 11 + [
- x] 13 = (  1 
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
A=[
1
3
3
3
y
28
donc l’aire cherchée est
u.a.
3
7
6
5
3
2)
 f (x )dx = [
2
8
20
x3
 2) =
- x] 3 2 = 9-3-(
3
3
3
4
3
2
1
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5x
4) Aire limitée par deux courbes :
Théorème :
y
Soient f et g deux fonctions dérivables sur [a ;b] telles que pour tout x de [a ;b]
f(x) < g(x) et C et C’ leurs courbes représentatives respectives dans un repère
 
orthogonal (O ; i , j ) .
L’aire de la partie du plan limitée par les courbes C et C’et par les droites
C'
b
1
j
0
a
d’équation x = a et x = b est
i 1
 (g(x)  f (x)) dx
A=
(unités d’aire)
a
b x
C
5) Valeur moyenne :
Définition : Soit f une fonction dérivable sur [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b]
b
1
y
le nombre réel  
f (x)dx
b  a a
2
Interprétation graphique :
b
b
b
a
a
a
Puisque   dx   (b  a ) , on a donc   dx   f ( x) dx .
1
Ainsi, dans le cas d’une fonction positive sur [a ; b], l’aire du
domaine associé à une fonction f sur [a ; b] est égale à l’aire du
rectangle de dimensions  et b – a.
µ
j
0a
i
1
2
3b x
II. Propriétés :
Soient f et g deux fonctions ayant des primitives sur I et a,b et c appartenant à I.
b
a
a
b
1)  f ( x )dx = -  f ( x )dx
b
c
b
a
c
2) Relation de Chasles :  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx
a
b
3) Soit k réel
b
 (kf )(x)dx = k  f (x)dx
a
a
b
b
b
a
a
a
4)  (f  g)( x )dx =  f ( x )dx +  g( x )dx
5) a et b sont deux réels tel que a < b, f et g deux fonctions dérivables sur [a ; b] de . Si pour tout réel x
de [a ; b] f ( x )  g( x), alors
b
b
a
a
 f (x)dx   g(x)dx . Donc si f (x)  0, alors
b
 f (x)dx  0 .
a
6) Inégalité de la moyenne : soient m et M deux nombres réels
b
si m ≤ f ≤ M et si a ≤ b alors m(b-a) ≤  f ( x )dx ≤ M(b-a).
a
D’après cette inégalité, f étant dérivable sur [a ; b], l’équation f(x) =  a au moins une solution dans [a ; b]. La
droite d’équation y =  coupe donc la courbe représentative de f en un point au moins. Si on considère les
parties de plan comprises entre cette droite, les droites d’équation x = a, x = b et le courbe représentant f,
l’aire située au dessus de la droite représentant la moyenne (y = ) est égale à l’aire située en dessous. (voir
figure ci-dessus).
Exercices p.150 n° 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 29, 33, 34, 39, 41, 42, 44, 47