AQUISAV - Evaluation

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Aq qu ui is sa av v - - D DO OC CU UM ME EN NT TA AT TI IO ON N
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Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Géométrie dans le plan
Code : COM-201101-012056
Intitulé de la compétence : Définir les fonctions trigonométriques sur le cercle
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S
SO OM MM MA AI IR RE E
1) RADIAN
2) CERCLE TRIGONOMETRIQUE
3) ANGLES ORIENTES
4) CERCLE ET TRIGONOMETRIE
5) ANGLES ASSOCIES
6) TANGENTE ET CERCLE TRIGONOMETRIQUE
7) CONCLUSION

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C
CO OU UR RS S
I) RADIAN
Soit un cercle de centre O et, sur ce cercle, un arc de cercle dont la longueur est égale au
rayon du cercle.
L’angle au centre α qui intercepte l’arc a une mesure de un radian.
Le radian ne dépend pas de la valeur du rayon du cercle.
REMARQUE : Le mot radian est un mot dérivé du mot rayon comme rayonnement ou radiation.
Les rayons du soleil émettent des radiations de chaleur.
On sait que la circonférence d’un cercle est donnée par la formule : C = 2 π R.
Donc la demi-circonférence mesure π R.
Un angle au centre de 180° intercepte un arc de longueur π R donc sa mesure en radians est de
π radians.
On obtient ainsi la correspondance entre la mesure en degrés d’un angle et sa mesure en
radians.
En particulier pour les angles suivants :
Mesure en degrés
180°
90°
60°
45°
30°
Mesure en radians
π
π/2
π/3
π/4
π/6
Plus généralement :
Soit d la mesure en degrés d’un angle, sa mesure en radians = (d x π) : 180
Soit r la mesure en radians d’un angle, sa mesure en degrés = (r x 180) : π

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II) CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Dans un repère (O ; I ; J), on appelle cercle trigonométrique le cercle orienté de centre O et de
rayon 1. Sur ce cercle, on définit une origine I et deux sens :
- Le sens direct ou sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Le sens indirect ou sens négatif est le sens des aiguilles d’une montre.
Le rayon de ce cercle étant égal à 1, sa circonférence est égale à 2π
III) ANGLES ORIENTES
a) Signe de la mesure d’un angle
Le cercle trigonométrique est orienté. Il comporte deux sens : le sens direct ou positif et le sens
indirect ou négatif. En conséquence, les mesures des angles portés par le cercle
trigonométrique sont positives ou négatives selon le sens dans lequel on considère un angle.
Exemples :

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L’angle tourne dans le sens direct. Sa mesure est positive : 2π/3
L’angle tourne dans le sens indirect. Sa mesure est négative : - π/6
b) Mesure principale d’un angle orienté
Chaque tour entier du cercle trigonométrique correspond à un angle de mesure 2π.
Sur le cercle ci-dessus, pour aller du point I au point A, on peut parcourir l’arc de cercle le
plus court de mesure 2π/3 ou effectuer un certain nombre de tours, dans un sens ou dans
l’autre, avant de s’arrêter sur le point A.
Exemples :
① Pour un tour dans le sens positif, la mesure de l’angle devient :
2π/3 + 2π soit 8π/3
② Pour deux tours dans le sens positif, la mesure de l’angle devient :
2π/3 + 4π soit 14π/3
③ Pour un tour dans le sens négatif, la mesure de l’angle devient :
2π/3 - 2π soit - 4π/3
Plus généralement, pour un nombre entier k de tours la mesure de l’angle est :
2π/3 + 2kπ, sa mesure principale étant 2π/3.
k est un nombre entier positif ou négatif.
REMARQUE : L’intérêt d’envisager toutes les mesures associées à la mesure principale d’un
angle est, en particulier, de pouvoir mesurer l’angle parcouru par un objet en rotation
autour d’un axe et par la suite de pouvoir déterminer sa vitesse angulaire. On rencontre ce
type de situation pour les machines comme les toupies chez les menuisiers ou les fraiseuses
chez les mécaniciens-outilleurs, voire le pétrin mécanique chez les boulangers ! La vitesse
est alors exprimée en radians/seconde, abréviation : rad/s ou rad.s¯¹
IV) CERCLE ET TRIGONOMETRIE
a) Cosinus et sinus
Pour chaque point du cercle trigonométrique correspondant à un angle donné, la projection
orthogonale de ce point sur les axes du repère gradué donne l’abscisse du point sur l’axe
des abscisses et l’ordonnée du point sur l’axe des ordonnées.
Le point appartenant au cercle trigonométrique de rayon 1, les valeurs de l’abscisse et de
l’ordonnée du point sont comprises entre -1 et +1.

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Soient H et K les projetés orthogonaux du point A sur les axes. On remarque que le triangle
OAH est rectangle en H.
On peut donc exprimer le cosinus et le sinus de l’angle α par rapport aux longueurs des
côtés du triangle rectangle, ce qui donne :
cosinus α = =
sinus α = =