AQUISAV - Evaluation

Aquisav - DOCUMENTATION
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Géométrie dans le plan
Code : COM-201101-012056
Intitulé de la compétence : Définir les fonctions trigonométriques sur le cercle
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SOMMAIRE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
RADIAN
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
ANGLES ORIENTES
CERCLE ET TRIGONOMETRIE
ANGLES ASSOCIES
TANGENTE ET CERCLE TRIGONOMETRIQUE
CONCLUSION
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COURS
I)
RADIAN
Soit un cercle de centre O et, sur ce cercle, un arc de cercle
rayon du cercle.
dont la longueur est égale au
L’angle au centre α qui intercepte l’arc
a une mesure de un radian.
Le radian ne dépend pas de la valeur du rayon du cercle.
REMARQUE : Le mot radian est un mot dérivé du mot rayon comme rayonnement ou radiation.
Les rayons du soleil émettent des radiations de chaleur.
On sait que la circonférence d’un cercle est donnée par la formule : C = 2 π R.
Donc la demi-circonférence mesure π R.
Un angle au centre de 180° intercepte un arc de longueur π R donc sa mesure en radians est de
π radians.
On obtient ainsi la correspondance entre la mesure en degrés d’un angle et sa mesure en
radians.
En particulier pour les angles suivants :
Mesure en degrés
Mesure en radians
180°
π
90°
π/2
60°
π/3
45°
π/4
30°
π/6
Plus généralement :
Soit d la mesure en degrés d’un angle, sa mesure en radians = (d x π) : 180
Soit r la mesure en radians d’un angle, sa mesure en degrés = (r x 180) : π
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II)
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Dans un repère (O ; I ; J), on appelle cercle trigonométrique le cercle orienté de centre O et de
rayon 1. Sur ce cercle, on définit une origine I et deux sens :
-
Le sens direct ou sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Le sens indirect ou sens négatif est le sens des aiguilles d’une montre.
Le rayon de ce cercle étant égal à 1, sa circonférence est égale à 2π
III)
ANGLES ORIENTES
a) Signe de la mesure d’un angle
Le cercle trigonométrique est orienté. Il comporte deux sens : le sens direct ou positif et le sens
indirect ou négatif. En conséquence, les mesures des angles portés par le cercle
trigonométrique sont positives ou négatives selon le sens dans lequel on considère un angle.
Exemples :
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L’angle
L’angle
tourne dans le sens direct. Sa mesure est positive : 2π/3
tourne dans le sens indirect. Sa mesure est négative : - π/6
b) Mesure principale d’un angle orienté
Chaque tour entier du cercle trigonométrique correspond à un angle de mesure 2π.
Sur le cercle ci-dessus, pour aller du point I au point A, on peut parcourir l’arc de cercle le
plus court de mesure 2π/3 ou effectuer un certain nombre de tours, dans un sens ou dans
l’autre, avant de s’arrêter sur le point A.
Exemples :
① Pour un tour dans le sens positif, la mesure de l’angle
2π/3 + 2π soit 8π/3
② Pour deux tours dans le sens positif, la mesure de l’angle
2π/3 + 4π soit 14π/3
③ Pour un tour dans le sens négatif, la mesure de l’angle
2π/3 - 2π soit - 4π/3
devient :
devient :
devient :
Plus généralement, pour un nombre entier k de tours la mesure de l’angle
2π/3 + 2kπ, sa mesure principale étant 2π/3.
est :
k est un nombre entier positif ou négatif.
REMARQUE : L’intérêt d’envisager toutes les mesures associées à la mesure principale d’un
angle est, en particulier, de pouvoir mesurer l’angle parcouru par un objet en rotation
autour d’un axe et par la suite de pouvoir déterminer sa vitesse angulaire. On rencontre ce
type de situation pour les machines comme les toupies chez les menuisiers ou les fraiseuses
chez les mécaniciens-outilleurs, voire le pétrin mécanique chez les boulangers ! La vitesse
est alors exprimée en radians/seconde, abréviation : rad/s ou rad.s¯¹
IV)
CERCLE ET TRIGONOMETRIE
a) Cosinus et sinus
Pour chaque point du cercle trigonométrique correspondant à un angle donné, la projection
orthogonale de ce point sur les axes du repère gradué donne l’abscisse du point sur l’axe
des abscisses et l’ordonnée du point sur l’axe des ordonnées.
Le point appartenant au cercle trigonométrique de rayon 1, les valeurs de l’abscisse et de
l’ordonnée du point sont comprises entre -1 et +1.
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Soient H et K les projetés orthogonaux du point A sur les axes. On remarque que le triangle
OAH est rectangle en H.
On peut donc exprimer le cosinus et le sinus de l’angle α par rapport aux longueurs des
côtés du triangle rectangle, ce qui donne :
cosinus α =
sinus α =
=
=
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OA est égal au rayon du cercle. Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1 par
définition il s’ensuit que :
cosinus α = OH et sinus α = AH
On constate que la valeur du cosinus de l’angle correspond à l’abscisse du point A et la
valeur du sinus de l’angle à l’ordonnée du point A.
En généralisant à tous les angles du cercle, on obtient des valeurs, pour le cosinus et le
sinus, comprises entre -1 et + 1.
On peut lire le cosinus de l’angle
(en vert) = - ½
Et le sinus de l’angle
(en jaune) = - ½
b) Relation entre cosinus et sinus d’un angle
Dans le triangle rectangle OAH ci-dessus, en appliquant le théorème de Pythagore, on
obtient :
OH² + AH² = OA² or OA = 1, donc OH² + AH² = 1² = 1
cosinus α = OH et sinus α = AH donc (cosinus α)² + (sinus α)² = 1
Pour simplifier l’écriture de cette égalité, on peut utiliser l’expression suivante qui est
équivalente: cos²α + sin²α = 1
c) Valeurs remarquables
Les calculatrices donnent en général une valeur approchée des cosinus et des sinus des
angles. Pour certains calculs, il est utile de connaître les valeurs exactes.
Exemples :
Pour un angle de mesure π/6 rad soit 30 °, la calculatrice donne :
cos(π/6) = 0,866025403 et sin(π/6) = O,5
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Pour un angle de mesure π/4 rad soit 45°, la calculatrice donne :
cos(π/4) = 0,707106781 et sin(π/4) = 0,70710678
Grâce à la formule ci-dessus et grâce au théorème de Pythagore, nous pouvons
déterminer les valeurs exactes des angles les plus remarquables.
Pour un angle de mesure principale π/6, sachant que le sinus de cet angle est égal à 0,5,
soit ½, valeur que l’on peut lire directement sur le cercle trigonométrique, on peut
calculer la valeur exacte de son cosinus.
Cos²π/6 + sin²π/6 = 1
Cos²π/6 + ( )² = 1
Cos²π/6 = 1 - =
Cos π/6 = √( )
ATTENTION : Pour conclure, il faut choisir le signe du cosinus de l’angle à l’aide du
cercle trigonométrique. π/6 est situé dans le premier secteur donc le cosinus est positif.
Cos π/6 =
Pour un angle de mesure principale π/4 soit 45°, on remarque que cet angle correspond
à l’angle que fait la diagonale d’un carré avec les côtés du carré. En rapprochant le carré
du cercle trigonométrique, on constate que la diagonale étant le rayon du cercle, sa
mesure est égale à 1.
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Dans le carré KAHO, OA=1 et
= π /4
D’après le théorème de Pythagore :
OH² + HA² = OA²
Donc OH² + HA² = 1 or OH = HA
Par conséquent OH² + OH² = 1 soit 2 OH² = 1
OH² = ½
OH = √( ) =
Or cos π/4 = OH donc cos π/4 =
Sin π/4 = cos π/4 donc sin π/4 =
TABLEAU DES VALEURS REMARQUABLES
Angle en radians
cosinus
0
1
sinus
0
π/6
π/4
π/3
π/2
0
1
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REMARQUE : En dehors de 0 et 1, les autres valeurs exactes sont des fractions ayant le
même dénominateur, 2. Il suffit de remarquer que les numérateurs sont :
√1, √2, et √3.
De plus les mêmes valeurs se retrouvent dans les cosinus et les sinus.
V)
ANGLES ASSOCIES
a) Angles complémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à π/2 (90°)
Dans le tableau ci-dessus on constate que :
cos π/6 = sin π/3 et inversement sin π/6 = cos π/3
Or, π/3 + π/6 = π/2 ce qui revient à écrire : π/3 = π/2 - π/6
D’où cos (π/2 - π/6) = sin π/6
Et sin (π/2 - π/6) = cos π/6
Plus généralement : pour tout angle α et son complémentaire (π/2- α), on a :
cos (π/2 – α) = sin α
sin (π/2 – α) = cos α
On constate facilement cette propriété sur le cercle trigonométrique ci-dessus, les angles
représentés étant complémentaires deux à deux.
b) Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à π (180°)
Sur le cercle ci-dessus, on constate que les sinus des angles supplémentaires sont égaux et
que les cosinus sont opposés.
Exemple pour π/6 et 5π/6 : ces angles sont supplémentaires et :
sin 5π/6 = sin π/6 = 1/2 et cos 5π/6 = - cos π/6 = -√3/2
Plus généralement pour tout angle α et son supplémentaire (π - α) on a :
cos (π - α) = - cos α
sin (π - α) = sin α
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c) Angles différents de π
Sont différents de π deux angles dont la différence est égale à π, donc pour un angle α,
l’angle différent de π est égal à (π + α) ou (α -π)
On constate, sur les exemples ci-dessus, que les cosinus et les sinus des angles différents
de π prennent des valeurs opposées.
cos 7π/6 = - cos π/6 = -√3/2 et sin 7π/6 = - sin π/6 = - ½
Plus généralement, pour tout angle α :
cos (α + π) = - cos α
sin (α +π) = - sin α
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d) Angles opposés
Soit un angle α et son opposé (- α).
On constate, sur le cercle, par exemple que :
cos (-π/3) = cos π/3 = ½
Par contre sin (- π/3) = - sin π/3 = - √3/2
Plus généralement, pour tout angle α et son opposé (- α), on a :
cos (- α) = cos α
sin (- α) = - sin α
VI)
TANGENTE ET CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Soit (d) la droite tangente au cercle au point d’abscisse 1
Soit le repère d’origine le point I et de même unité que l’axe des sinus.
Pour tout angle, par le prolongement du côté de l’angle, on obtient un point d’intersection
unique avec la droite (d). La valeur de l’abscisse de ce point sur le repère de la tangente donne
la valeur de la tangente associée à l’angle.
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Par exemple, on constate que la tangente de l’angle π/4 est égale à +1 et la valeur de la
tangente de l’angle -π/4 est égale à -1.
Pour les angles π/6 et π/ 3, on ne peut donner qu’une estimation :
Pour π/3 on peut prévoir que sa tangente est supérieure à 1,7. La calculatrice donne
tan π/3 = 1,732 au millième près.
On sait trouver la tangente d’un angle α, que l’on écrit tan α, à partir du sinus et du cosinus de
cet angle : tan α =
VII)
CONCLUSION
Le cercle trigonométrique ne remplace pas la calculatrice, mais il donne des indications
indispensables sur la position d’un angle en fonction du signe du cosinus et du sinus de l’angle
et il sera précieux pour le chapitre suivant : résolution d’équations trigonométriques.
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