2012 Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs. I- Puissances 1- Définition et notations : Définition : Soient a un nombre quelconque, et n un entier naturel. a n a a . On appel a exposant n , le nombre noté a n n fois Exemples : 2 4 2 2 2 2 16 53 5 5 5 125 Notations : 1 (a 0) an a 0 1 ( Pour tout a 0) a n a1 a Exemple : 2 5 1 1 5 32 2 210 1 32 1 3 2 31 3 1 9 5,2 3 1 5,2 3 10 0 1 2- Produit et quotient de puissances : Quels que soient les nombres relatifs a et b et quels que soient les nombres entiers m et n. a a a m n am a mn n a m n a n m a a b ab nm n n n n an a n b b Exemples : 5 2 53 5 5 5 5 5 5 23 55 2 fois 3 fois 35 1 3 5 2 3 5 3 2 3 5 2 3 5 2 3 3 2 3 3 2 5 3 5 3 15 2 3 fois 3 2 2 32 2 64 6 Les mathématiques au collège 4 4 4 3 4 23 8 2 3 125 5 5 Page 1 2012 Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs. 3- Règles de priorité : Dans une suite d’opérations sans parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations. Dans une suite d’opérations avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses. Exemples : 5 32 2 82 2 64 2 66 4 32 4 9 36 II- Cas particulier les puissances de dix. 1- Calcul d’une puissance de dix. Quel que soit l’entier positif n : 10 n 10 10 10 10 0 n fois et n zéros 10 n 1 1 0,0 n 01 10 0 10 n zéros n zéros Exemples : 10 5 100 000 10 5 0,000 01 2- Puissance de puissance de dix. Quels que soient les entiers n et m : 10 m n 10 m n Exemple : 10 3 2 10 32 10 6 1000 000 3- Produit d’un nombre par une puissance de dix. Exemples : 31,75 10 6 31750 000 La virgule est décalée de six rangs vers la droite. 31,75 10 6 0,00 03175 La virgule est décalée de six rangs vers la gauche Les mathématiques au collège Page 2 Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs. 2012 4- Notation scientifique. On appelle notation (ou écriture) scientifique toute écriture de la forme : a 10 n Où : a est un nombre décimal tel que 1 a 10 (c’est-à-dire que a s’écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant la virgule) n est un nombre entier relatif. Exemples : 3,125 1011 est une écriture scientifiq ue. 25,45 1012 n' est pas une écriture scientifiq ue (car il y à deux chiffires non nuls avant la virgule. 0,15 10 5 n' est pas une écritue scientifiq ue ( le nombre a s' écrit avec un zéro avant la virgule. 5,11 10 19 est une écriture ecientifique. Les mathématiques au collège Page 3