Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs.

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2012
Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs.
I-
Puissances
1- Définition et notations :
Définition :
Soient a un nombre quelconque, et n un entier naturel.
a n  a


a .

On appel a exposant n , le nombre noté a n
n fois
Exemples :
2 4  2  2  2  2  16
53  5  5  5  125
Notations :
1
(a  0)
an
a 0  1 ( Pour tout a  0)
a n 
a1  a
Exemple :
2 5 
1
1

5
32
2
210  1
 32 
1
 3
2
31  3

1
9
5,2 3 
1
5,2 3
10 0  1
2- Produit et quotient de puissances :
Quels que soient les nombres relatifs a et b et quels que soient les nombres
entiers m et n.
a a  a
m
n
am
 a mn
n
a
m n
a 
n m
a
a  b  ab 
nm
n
n
n
n
an
a
   n
b
b
Exemples :
5 2  53  5
 5  5

5
5  5 23  55

2 fois
3 fois



35
1
 3 5  2  3 5  3  2  3 5   2   3 5 2  3 3
2
3
3
2 
5  3  5  3  15
2 3 fois
3 2
2
32
 2  64
6
Les mathématiques au collège
4
4
4
3
4
23
8
2
   3 
125
5
5
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3- Règles de priorité :

Dans une suite d’opérations sans parenthèses, on calcule les
puissances avant d’effectuer les autres opérations.

Dans une suite d’opérations avec parenthèses, on effectue d’abord
les calculs entre parenthèses.
Exemples :
5  32  2  82  2  64  2  66
4  32  4  9  36
II-
Cas particulier les puissances de dix.
1- Calcul d’une puissance de dix.
Quel que soit l’entier positif n :
10 n  10
 10

10  10
0




n fois
et
n zéros
10 n 
1
1

 0,0

n
01
10
0 
10
n zéros
n zéros
Exemples :
10 5  100 000
10 5  0,000 01
2- Puissance de puissance de dix.
Quels que soient les entiers n et m :
10 
m n
 10 m  n
Exemple :
10 
3 2
 10 32  10 6  1000 000
3- Produit d’un nombre par une puissance de dix.
Exemples :
31,75  10 6  31750 000
La virgule est décalée de six rangs vers la droite.
31,75  10 6  0,00 03175
La virgule est décalée de six rangs vers la gauche
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4- Notation scientifique.
On appelle notation (ou écriture) scientifique toute écriture de la forme :
a  10 n
Où :
 a est un nombre décimal tel que 1  a  10 (c’est-à-dire que a s’écrit avec un seul
chiffre autre que zéro avant la virgule)
 n est un nombre entier relatif.
Exemples :
3,125  1011 est une écriture scientifiq ue.
25,45  1012 n' est pas une écriture scientifiq ue (car il y à deux chiffires non nuls avant la virgule.
0,15  10 5 n' est pas une écritue scientifiq ue ( le nombre a s' écrit avec un zéro avant la virgule.
 5,11  10 19 est une écriture ecientifique.
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