Équations - Inéquations

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ÉQUATIONS & INÉQUATIONS - SYSTÈMES
EQUATIONS & INEQUATIONS - SYSTEMES................................................................................ 1
1 - Equations & inéquations du premier degré ........................................................................................................... 2
1.1 - Notion d’équation ............................................................................................................................................................ 2
1.2 - Résolution d’une équation du 1er degré ........................................................................................................................... 2
1.3 - Equations se ramenant au 1er degré ................................................................................................................................ 4
1.3.1 - Equation produit ..................................................................................................... 4
1.3.2 - Equation contenant l’inconnue au dénominateur .................................................... 4
1.4 - Inéquations du 1er degré et résolution .............................................................................................................................. 5
1.5 - Résoudre un problème du 1er degré à une inconnue ....................................................................................................... 6
2 - Système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues ............................................................................................ 7
2.1 - Définition ......................................................................................................................................................................... 7
2.2 - Résolution par le calcul ................................................................................................................................................... 7
2.2.1 - Résolution par substitution - Méthode .................................................................... 7
2.2.2 - Résolution par addition - Méthode ......................................................................... 8
2.3 - Résolution graphique ...................................................................................................................................................... 8
3 - Inéquation 1er degré à 2 inconnues et régionnement du plan .............................................................................. 9
3.1 - Définition ......................................................................................................................................................................... 9
3.2 - Système d’inéquations .................................................................................................................................................. 10
3.3 - Programmation linéaire ................................................................................................................................................. 10
4 - Equations du second degré .................................................................................................................................. 11
4.1 - Définition ....................................................................................................................................................................... 11
4.2 - Résolution graphique d’une équation du 2nd degré ........................................................................................................ 11
4.3 - Résolution algébrique d’une équation du 2nd degré ....................................................................................................... 12
5 - Factorisation du polynôme ax² + bx + c ............................................................................................................... 12
6 - Signe de f(x) = ax² + bx + c ..................................................................................................................................... 13
6.1 - Cas où > 0 ................................................................................................................................................................. 13
6.2 - Cas où = 0 ................................................................................................................................................................. 14
6.3 - Cas où < 0 ................................................................................................................................................................. 14
6.4 - Exemples d’application .................................................................................................................................................. 14
7 - Inéquations du 2nd degré ........................................................................................................................................ 15

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ÉQUATIONS & INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE
1.1 - Notion d’équation
L’égalité 2x + 1 + 3 (x + 2) = – 3 où ne figurent que des polynomes du 1er degré par rapport à
la variable x s’appelle une équation du 1er degré d’inconnue x.
 Si l‘on donne à x la valeur 1 :
- Le membre de gauche vaut : 2 + 1 + 3 (3) = 12
- Le membre de droite vaut –3
L’équation est fausse.
 Si l‘on donne à x la valeur de –2, on obtient :
- Membre de gauche : 2 (-2) + 1 + 3 (- 2 + 2) = -3
- Membre de droite : –3
L’équation est vraie, donc le nombre –2 est la solution de l’équation.
Résoudre une équation c’est trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue telle que l’égalité
soit vraie.
1.2 - Résolution d’une équation du 1er degré
a) Mettre l’équation sous la forme ax = b
Pour cela, on utilisera notamment les 2 propriétés suivantes :
- On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant (ou en retranchant) la
même valeur algébrique aux 2 membres ;
- On ne change pas les solutions d’une équation en divisant (ou en multipliant) la
même valeur algébrique aux 2 membres.
Il convient de regrouper dans un membre tous les termes contenant l’inconnue et dans
l’autre, tous les termes connus.
b) Résoudre ax = b (a
0)
C’est à dire x =
a
b

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Exemple 1 : Résoudre 2x + 1 + 3 (x + 2) = – 3
1) On développe puis réduit l’expression.
2x + 1 + 3x + 6 = – 3
5x + 7 = – 3
2) On « supprime » le 7 à gauche pour ne garder que les x.
5x + 7 – 7 = – 3 – 7
5x = – 10
3) On divise les 2 membres par 5.
x =
5
10
= – 2
La solution est x = – 2 OU S = { – 2 }
Exemple 2 : Résoudre
6)1x2( 
= x + 1
1) On réduit au même dénominateur, puis on simplifie
Error!
=
Error!
2x – 1 = 6 (x + 1)
2) On développe
2x – 1 = 6x + 6
3) On met les x à gauche et les autres termes connus à droite
2x – 1 + 1 = – 6x + 6 + 1
2x = 6x + 7
2x – 6 x = 6x + 7 – 6x
– 4x = + 7
4) On divise par – 4
x = –
4
7

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1.3 - Équations se ramenant au 1er degré
1.3.1 - Équation produit
 Une équation produit est de la forme A x B = 0, où A et B sont des expressions de x.
Exemple : (2x + 1) (x – 5) = 0
 Les solutions d’une telle équation sont toutes les valeurs de x telles que :
A = 0 ou B = 0
Exemple ci-dessus :
2x + 1 = 0 x = -
2
1
x – 5 = 0 x = 5
Donc S = { -
2
1
; 5 }
 Remarque :
Si on a A . B . C = 0, il faudra A = 0 ou B = 0 ou C = 0. Etc …
1.3.2 - Equation contenant l’inconnue au dénominateur
Pour qu’un rapport soit égal à 0, il faut :
 Que son numérateur soit égal à 0
 Sans que le dénominateur le soit !
Exemple : soit l’équation
3x x21
= 0
Il faut donc :
 1 – 2x = 0
 x + 3 0
L’équation 1 – 2x = 0 a pour solution x =
2
1
, et on vérifie x + 3 =
2
1
+ 3 = 3,5 0.
Donc : S = {
2
1
}

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- 
+ 
a
b
- 
+ 
a
b
1.4 - Inéquations du 1er degré et résolution
a) Une inéquation du 1er degré peut se mettre sous la forme : ax <b
(ou ax b, ou ax > b ou ax b).
b) Résolution de ax < b
 Si a > 0, alors x <
a
b
(on ne change pas le sens de l’inégalité en multipliant ou en
divisant par un nombre positif).
 Si a < 0, alors x >
a
b
(on change le sens de l’inégalité en multipliant ou divisant par un
nombre négatif).
c) On donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalles et on peut représenter ces
solutions sur un axe gradué
x <
a
b
alors x ] -  ;
a
b
[
x >
a
b
alors x ]
a
b
; +  [
Exemple 1 : Résoudre –2x + 4 ≥ -8
1) On met les x d’un côté – 2x + 4 – 4 – 8 – 4 soit – 2x – 12
2) On divise par – 2
2
x2
≤
2
12
soit x 6
3) D’où : S = ] -  ; 6 ]
Exemple 2 : Résoudre
2
x
+ 1 < 2(x + 3)
1) On développe :
2
x
+ 1 < 2x + 6
2) On obtient :
2
x
– 2x < 6 – 1 puis x (
2
1
- 2) < 5 et x (
2
1
-
2
4
) < 5
Ce qui donne : -
2
3
x < 5
-
2
3
.
3
2
. x > 5.
3
2
(a/b * b/a = 1) : A REVOIR
Soit : x >
3
10
3) D’où : S = ] -
3
10
; +  [