CONTINUITE :

CONTINUITE :
1.- Continuité en un point x0
Soit f une fonction définie sur I et
Ix 
0
a. Définition :
f est continue en x0 si f admet une limite finie en x0 et cette limite est f(x0), autrement
dit, f est continue en x0 si et seulement si
)x(f)x(flim 0
xx O
Exemple :
2)1(f
1xsi
1x
1²x
)x(f
f est elle continue en x0 = -1 ?
)1(f21xlim
)1x(
)1x)(1x(
lim)x(flim
1x1x1x 
Donc f est continue en x0 = -1
b. Continuité à gauche – Continuité à droite :
Si f est définie sur
0,x;x 00 
f est continue à droite de x0 si la
)x(f)x(flim 0
xx 0
Si f est définie sur
00 xx ;
,
f est continue à gauche de x0 si
)x(f)x(flim 0
xx 0
On rappelle que f admet une limite en x0 si et seulement si
)x(flim)x(flim
00 xxxx  
Donc f est continue en x0 si et seulement f est continue à gauche en x0 et continue à
droite en x0, c'est-à-dire si et seulement si
)x(f)x(flim)x(flim 0
xxxx 00
Exemple :
1)0(f
0xsi1x2)x(f
0xsi1x)x(f
1)1x(lim)x(flim
1)1x2(lim)x(flim
0x0x
0x0x
Donc f est continue en x0
c. Opérations sur les fonctions continues en un point :

Si f et g sont continues en x0 alors
g.fet)Rou(f.,gf 
sont continues en x0.
Si de plus
0)( 0xg
, alors
g
f
est continue en x0
Démonstration : f et g sont continues en x0, donc
)x)(gf()x(g)x(f)]x(g)x(f[lim)x)(gf(limalors
)x(g)x(glimet)x(f)x(flim
000
xxxx
0
xx
0
xx
00
00
2.- Continuité sur un intervalle
a. Définition
On dit que f est continue sur
ba,
si elle est continue en chaque point de cet
intervalle.
f est continue sur
ba,
, si elle est continue sur
ba,
, continue à droite en a et
continue à gauche en b
Graphiquement, une fonction est continue si la courbe représentative de cette
fonction est continue
Conséquences
Toute fonction constante est continue sur
IR
Toute fonction polynôme est continue sur
IR
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition
Si f est continue et positive sur I, alors
f
est continue sur I
b. Propriétés des fonctions continues :
Théorème
Si f est continue sur
ba,
alors l’image de
ba,
par f est un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient a et b deux éléments de l’ensemble de définition de f tels que a < b.
Si f est continue sur
ba,
alors quel que soit y0 appartenant à
)b(f);a(f
ou
)a(f);b(f
, il existe au moins
],[ bac
vérifiant
0
)( ycf 
; en d’autres termes, quel
que soit
)b(f);a(fy 
ou
)a(f);b(f
, l’équation
)(
0xfy 
admet au moins une solution
],[ bac
Si, de plus, f est strictement monotone, cette solution est unique
Cas particulier :
Si f est continue sur
ba,
et
0)().(bfaf
l’équation
0)( xf
admet au moins une
solution dans l’intervalle
ba,
c. Prolongement par continuité.

Soit I un intervalle de IR, x0 un élément de I, et f une fonction définie sur I - {x0}.
Si f admet une limite finie en x0, c'est-à-dire
0
x
flim
est finie ou
)x(flim)x(flim
00 xxxx  
est finie, alors f est prolongeable par continuité en x0
On obtient une fonction continue g en posant :
)x(flim)x(g
xxsi)x(f)x(g
0
xx
0
0
Cette fonction g, continue en x0, est appelée prolongement de f par continuité en x0