I ] Etablissement de l`équation de propagation

UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen
ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric
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I ] Etablissement de l’équation de propagation
1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un élément de corde de
longueur dl, montrer que :
1.1) Selon l’axe Ox, on a :
),(cos),(),(cos),( tdxxtdxxTtxtxT 
Ecrire la relation de conservation correspondante.
On comprend mieux avec le dessin ci-
contre :
La projection selon l’axe Ox donne,
pour t donné : :
0),(cos),(),(cos),(  tdxxtdxxTtxtxT
(car
0
2
2
tx
, par hypothèse)
D’ou l’on tire :
0),(cos),(),(cos),(  xx etdxxtdxxTetxtxT 
, soit
),(cos),(),(cos),( tdxxtdxxTtxtxT 
car on suppose le déplacement longitudinal
nul ( faible).
La relation de conservation cherchée est bien entendu :
0
...),(cos),(),(cos),( TtdxxtdxxTtxtxT 
= constante (cos est très voisin de 1)
[2pts]
Figure 1 :contrainte appliquée à
l’élément de longueur dl

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1.2) Montrer que selon l’axe Oy, on a :
2
2
0t
x
T
En utilisant la figure 1 de la page précédente, on peut écrire, en projetant sur l’axe Oy et en
appliquant le principe fondamental de la dynamique au centre de masse de l’élément de corde
de longueur dl:
2
2
),(sin),(),(sin),( t dlµtdxxtdxxTtxtxT 
( en tenant compte des signes qui apparaissent lors de la projection selon l’axe Oy )
Comme est toujours faible, on peut remplacer
),(),(sin txpartx
,
),(),(sin tdxxpartdxx
, T(x,t) et T(x+dx,t) par T0.
Cela donne :
2
2
0
2
2
00 ),(),(),(),( t
µdltxtdxxT
t
µdltdxxTtxT 
Or,
dx
xtx
txtdxx  ),( ),(),(
.
2
2
0),(
),(),( t µdldx
xtx
txtdxxT 
et comme
dxdl 
(car est faible), on
peut simplifier et on en déduit le résultat cherché :
2
2
0),(),( ttx
xtx
T
.
[3pts]
1.3) Trouver une relation différentielle permettant de relier
etx,
.
Toujours d’après la figure 1, on peut écrire :
xtx dx txtdxx
txtx   ),(
),(),(
),(),(tan
xtx
tx  ),( ),(
est la relation différentielle cherchée.
[2pts]

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1.4) En utilisant les résultats précédents, retrouver l’équation de propagation (équation de
d’Alembert) vérifiée par la corde, soit :
2
2
0
2
2
x
µ
T
t
On a démontré :
2
2
0t
x
T
(équation 1)
xtx
tx  ),( ),(
(équation 2)
Si on remplace de l’équation 1 par l’équation 2, on obtient sans peine :
2
2
0
2
2
x
µ
T
t
[2pts]
1.5) Calculer µ si la vitesse de l’onde est de 100 m.s –1
D’après l’équation de dimension, la vitesse de l’onde, soit v, est homogène à
µ
T
v
.
Donc
2
v
T
µ
. Application numérique : on trouve µ = 0,005 kg . m –1 = 5 g . m –1
[1pt]
II ] Equations de couplage et impédance mécanique en bout de corde
On pose
ttx
txv  ),( ),(
, vitesse de déplacement de la déformation.
2.1) En utilisant les résultats précédents, retrouver les équations suivantes, dites équations de
couplage :
N.B. : dans ce système
),( txFy
désigne la force projetée sur l’axe Oy, qui s’exerce au point x,
et à l’instant t sur un élément de corde de longueur dl.
xtxv
T
t
txF
x
txF
µt txv
y
y
),(
),(
),(
1
),(
0

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Pour faire le lien avec les questions précédentes, mais ce raisonnement n’est pas
obligatoire, on pourrait aussi écrire que :
),(sin),(),( txtxTtxFy
(le problème du signe est résolu dès que l’on fait un petit dessin…)
 Montrons tout d’abord la première équation, soit :
x
txF
µt txv y
),(
1
),(
.
On part de l’équation (1) :
t
v
µ
t
t
µ
dx txtdxx
T
t
µ
x
T
),(),(
0
2
2
0
dx tdxxTtxT µdx txTtdxxT µt
v)),((),(
1
),(),(
10000 
dx
tdxxFtxF
µdx tdxxTtxT µt
vyy )),((),(
1
),(),(
100 
A condition d’utiliser les orientations correctes, à savoir Fy (x,t) vers le bas et Fy (x+dx,t) vers
le haut (voir figure 1).
x
txF
µt
vy )),((
1
ce qu’il fallait démontrer. [2pts]
 Montrons maintenant la seconde relation :
xtxv
T
t
txFy  ),( ),(
0
.
On part de
ttx
T
ttxT t
txFy  ),(
),(sin
),(
0
0
Par ailleurs, il a été démontré précédemment que
x
tx  ),(
, donc en remplaçant, on
arrive à :
xt
T
t
txFy  2
0
),(
(attention à l’ordre des variables !).
Si maintenant on suppose que la vitesse de déplacement de l’onde est une grandeur continue,
on peut permuter l’ordre des variables au dénominateur :
tx
T
t
txFy
2
0
),(
Ainsi :
x
v
T
x
t
T
t
txFy
00
),(
, ce qu’il fallait démontrer.
[2pts]

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2.2) Un anneau de masse M est accroché en x = x0, au bout d’une corde tendue sous la
tension T0. Il est repéré par sa cote y(x,t). L’état de la vibration de la corde est décrit par la
fonction (x,t).
Indiquer les valeurs des impédances Z, définies par
),(),( 00 txvZtxFy
, avec :
),(
00
0
),(
),(
tx
yxtx
TtxF 
et
),(
0
0
),(
),(
tx
ttx
txv 
et la condition à la limite x = x0 correspondant au cas où une corde vibrante est liée :
2.2.a) a un anneau fixé au point de coordonnées
)0,( 0 yxx
.
D’après la définition donnée ci-dessus, on a :
),(
),(
0
0
0
0
0
),(
),(
),(
),(
tx
tx
y
ttx
xtx
T
txv
txF
Z
Donc, dans le cas du 2.2.a), on a y = 0 au point x0. Quel que soit t, on a donc
0),( 0 tx
et
par suite
0
),( 
ttx
au point x0.
Ceci, quelle que soit la valeur de
),( 0
),(
tx
xtx 
.
[2pts]
2.2.b) à un anneau de masse négligeable pouvant glisser sans frottements sur l’axe
)(,( 0tyxx 
quelconque)
Si on applique le principe fondamental de la dynamique à l’anneau de masse m négligeable,
on peut écrire :
0
),(
20
2 RF
dt txyd
mcorde
. (la masse est négligeable)
Comme l’anneau est libre de se déplacer, la réaction R (somme de tout ce qui est soumis à
l’anneau ne venant pas de la corde) est nulle , elle aussi.
Cela entraîne que
cordey FtxF ),( 0
= 0 aussi.
[2pts]
Conclusion : dans le cas où l’anneau est fixé, Z est infinie
Conclusion : Z = 0 dans le cas d’une extrémité libre de se déplacer sans frottement.