I ] Etablissement de l`équation de propagation
publicité
UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric I ] Etablissement de l’équation de propagation 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un élément de corde de longueur dl, montrer que : 1.1) Selon l’axe Ox, on a : T ( x, t ) cos ( x, t ) T ( x dx, t ) cos ( x dx, t ) Ecrire la relation de conservation correspondante. On comprend mieux avec le dessin cicontre : Figure 1 :contrainte appliquée à l’élément de longueur dl La projection selon l’axe Ox donne, pour t donné : : 2 x 0 , par hypothèse) t2 D’ou l’on tire : T ( x, t ) cos ( x, t ) e x T ( x dx, t ) cos ( x dx, t ) e x 0 , soit T ( x, t ) cos ( x, t ) T ( x dx, t ) cos ( x dx, t ) 0 (car T ( x, t ) cos ( x, t ) T ( x dx, t ) cos ( x dx, t ) car on suppose le déplacement longitudinal nul ( faible). La relation de conservation cherchée est bien entendu : T ( x, t ) cos ( x, t ) T ( x dx, t ) cos ( x dx, t ) ... T0 = constante (cos est très voisin de 1) [2pts] Page 1 / 6 UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric 1.2) T0 Montrer que selon l’axe Oy, on a : 2 x t2 En utilisant la figure 1 de la page précédente, on peut écrire, en projetant sur l’axe Oy et en appliquant le principe fondamental de la dynamique au centre de masse de l’élément de corde de longueur dl: 2 T ( x, t ) sin ( x, t ) T ( x dx, t ) sin ( x dx, t ) µ dl t2 ( en tenant compte des signes qui apparaissent lors de la projection selon l’axe Oy ) Comme est toujours faible, on peut remplacer sin ( x, t ) par ( x, t ) , sin ( x dx, t ) par ( x dx, t ) , T(x,t) et T(x+dx,t) par T0. Cela donne : 2 2 T ( x dx , t ) ( x , t ) µdl 0 t2 t2 ( x, t ) ( x dx, t ) ( x, t ) dx . x T0 ( x, t ) T0 ( x dx, t ) µdl Or, T0 ( x dx, t ) ( x, t ) ( x, t ) 2 et comme dl dx (car est faible), on dx µdl x t2 peut simplifier et on en déduit le résultat cherché : T0 ( x, t ) 2 ( x, t ) . x t2 [3pts] 1.3) Trouver une relation différentielle permettant de relier , x et . Toujours d’après la figure 1, on peut écrire : tan ( x, t ) ( x, t ) ( x, t ) ( x dx, t ) ( x, t ) ( x, t ) dx x ( x, t ) x est la relation différentielle cherchée. [2pts] Page 2 / 6 UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric 1.4) En utilisant les résultats précédents, retrouver l’équation de propagation (équation de d’Alembert) vérifiée par la corde, soit : 2 T0 2 µ x2 t2 On a démontré : 2 T0 x t2 ( x, t ) ( x, t ) x (équation 1) (équation 2) 2 T0 2 Si on remplace de l’équation 1 par l’équation 2, on obtient sans peine : µ x2 t2 [2pts] 1.5) Calculer µ si la vitesse de l’onde est de 100 m.s –1 D’après l’équation de dimension, la vitesse de l’onde, soit v, est homogène à v Donc µ T . µ T . Application numérique : on trouve µ = 0,005 kg . m –1 = 5 g . m –1 v2 [1pt] II ] Equations de couplage et impédance mécanique en bout de corde On pose v ( x, t ) ( x, t ) , vitesse de déplacement de la déformation. t 2.1) En utilisant les résultats précédents, retrouver les équations suivantes, dites équations de couplage : v ( x, t ) 1 Fy ( x, t ) t µ x Fy ( x, t ) T v( x, t ) 0 t x N.B. : dans ce système Fy ( x, t ) désigne la force projetée sur l’axe Oy, qui s’exerce au point x, et à l’instant t sur un élément de corde de longueur dl. Page 3 / 6 UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric Pour faire le lien avec les questions précédentes, mais ce raisonnement n’est pas obligatoire, on pourrait aussi écrire que : Fy ( x, t ) T ( x, t ) sin ( x, t ) (le problème du signe est résolu dès que l’on fait un petit dessin…) Montrons tout d’abord la première équation, soit : v ( x, t ) 1 Fy ( x, t ) . t µ x t v 2 ( x dx, t ) ( x, t ) µ 2 T0 µ µ On part de l’équation (1) : T0 x dx t t t v 1 T0 ( x dx, t ) T0 ( x, t ) 1 T0 ( x, t ) ( T0 ( x dx, t )) t µ dx µ dx v 1 T0 ( x, t ) T0 ( x dx, t ) 1 Fy ( x, t ) ( Fy ( x dx, t )) t µ dx µ dx A condition d’utiliser les orientations correctes, à savoir Fy (x,t) vers le bas et Fy (x+dx,t) vers le haut (voir figure 1). v 1 ( Fy ( x, t )) ce qu’il fallait démontrer. t µ x Montrons maintenant la seconde relation : Fy ( x, t ) Fy ( x, t ) t [2pts] T0 v ( x, t ) . x T0 sin ( x, t ) ( x, t ) T0 t t t Par ailleurs, il a été démontré précédemment que ( x, t ) , donc en remplaçant, on x Fy ( x, t ) 2 arrive à : (attention à l’ordre des variables !). T0 t tx Si maintenant on suppose que la vitesse de déplacement de l’onde est une grandeur continue, Fy ( x, t ) 2 on peut permuter l’ordre des variables au dénominateur : T0 t xt On part de Fy ( x, t ) t v T0 T0 Ainsi : , ce qu’il fallait démontrer. t x x [2pts] Page 4 / 6 UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric 2.2) Un anneau de masse M est accroché en x = x0, au bout d’une corde tendue sous la tension T0. Il est repéré par sa cote y(x,t). L’état de la vibration de la corde est décrit par la fonction (x,t). Indiquer les valeurs des impédances Z, définies par Fy ( x 0 , t ) Z v( x 0 , t ) , avec : ( x, t ) Fy ( x 0 , t ) T0 x ( x 0 ,t ) et ( x, t ) v ( x 0 , t ) t ( x0 ,t ) et la condition à la limite x = x0 correspondant au cas où une corde vibrante est liée : 2.2.a) a un anneau fixé au point de coordonnées ( x x0 , y 0) . D’après la définition donnée ci-dessus, on a : Z Fy ( x 0 , t ) T0 ( x, t ) x ( x0 ,t ) ( x, t ) t ( x 0 ,t ) Donc, dans le cas du 2.2.a), on a y = 0 au point x0. Quel que soit t, on a donc ( x0 , t ) 0 et ( x, t ) 0 au point x0. par suite t Ceci, quelle que soit la valeur de v ( x0 , t ) ( x, t ) . x ( x 0 ,t ) Conclusion : dans le cas où l’anneau est fixé, Z est infinie [2pts] 2.2.b) à un anneau de masse négligeable pouvant glisser sans frottements sur l’axe ( x x 0 , y (t ) quelconque) Si on applique le principe fondamental de la dynamique à l’anneau de masse m négligeable, d 2 y( x0 , t ) Fcorde R 0 . (la masse est négligeable) on peut écrire : m dt 2 Comme l’anneau est libre de se déplacer, la réaction R (somme de tout ce qui est soumis à l’anneau ne venant pas de la corde) est nulle , elle aussi. Cela entraîne que Fy ( x 0 , t ) Fcorde = 0 aussi. Conclusion : Z = 0 dans le cas d’une extrémité libre de se déplacer sans frottement. [2pts] Page 5 / 6 UTBM 2ème Année Physique Vibratoire / Janvier 99 / Examen ELEMENTS DE CORRECTION Auteur : Bachard Eric 2.2.c) à un anneau de masse M pouvant glisser sur l’axe ( x x 0 , y (t ) quelconque) avec des frottements fluides caractérisés par le coefficient , tout en étant lié par un ressort, de raideur K, et de longueur à vide négligeable. Pour ce troisième cas, les mouvements seront supposés sinusoïdaux, de pulsation . Donc il faudra exprimer Z( ) en notation complexe Pour ce dernier cas, on note Z la grandeur complexe sinusoïdale associée à Z Si on applique le principe fondamental de la dynamique à l’anneau, on peut écrire : d2y dy d2y dy F Ky M Ky FY Y 2 2 dt dt dt dt avec y = amplitude de déplacement de l’anneau autour de sa position d’équilibre. M dy ( x, t ) = v( x0 , t ) dt t ( x ,t ) 0 Ce qui s’écrit aussi j Y V en notation complexe. Le lien entre y (x0,t) et ( x, t ) est donné par : Il devient ainsi intéressant d’écrire le principe fondamental de la dynamique en notation complexe : ( 2 M j K ) Y Fy ( 2 M j K ) D’où l’on tire : Fy V j M V Fy j K Z j Z représente l’impédance mécanique du dispositif ainsi constitué. Remarque : on aurait pu aussi écrire : Z j ( M K ) qui doit certainement vous faire penser à un phénomène connu…(c’est la résonance mécanique, obtenue pour 0 Page 6 / 6 K ) M [4pts]
