PGCD PPCM I- PGCD de deux entiers 1- Définition Propriété et définition 1 : Si a et b sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls, l’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément. On l’appelle plus grand diviseur commun et on le note PGCD(a, b). Remarques : Si a et b sont deux entiers non tous les deux nuls : - PGCD(a, b) est un entier strictement positif - Si 0 < b ≤ a, PGCD(a, b) est un entier inférieur ou égal à b. - Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a, b) = 1 - PGCD(1, b) = 1 et pour b ≠ 0 , PGCD(0, b) = |b| Propriété 2 : réduction du PGCD Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. PGCD(a, b) = PGCD(a-b, b) = PGCD(a-kb, b) pout tout k Є Z. En particulier : - Si 0 < b ≤ a, PGCD(a, b) = PGCD(r, b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. - Si b divise a, PGCD(a, b) = b 2- Algorithme d’Euclide Propriété 3 : Algorithme d’Euclide Soient a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a L’algorithme d’Euclide permet en un nombre fini d’étapes de calculer PGCD(a, b) : (1) Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b (2) Si r = 0, PGCD(a, b) = b (3) Si r ≠ 0, remplacer a par b et b par r et recommencer à partir de (1). PGCD(a, b) est le dernier reste non nul obtenu. 3- Autres propriétés Propriété 4 : homogénéité Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Pour tout k Є N*, PGCD(ka, kb) = k PGCD(a, b) Corollaire : propriété caractéristique Si a et b sont premiers entre eux, alors PGCD(ka, kb) = k Conséquence : Toute fraction a/b peut s’écrire sous forme irréductible en divisant son numérateur et son dénominateur par PGCD(a, b) Propriété 5 : décomposition en facteurs premiers : Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. - S’ils n’ont aucun facteur premier commun, PGCD(a, b) = 1 - Sinon, PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions. II- Théorème de Bézout Propriété 6 : combinaisons linéaires Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d = PGCD(a, b). Il existe u et v entiers relatifs tels que : au + bv = d (égalité de Bézout) Théorème 1 : théorème de Bézout Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 Exemple : Soient a = 71 et b = 19. Trouver deux nombres entiers u et v tels que au + bv = 1 71 = 19 × 3 + 14 c’est-à-dire a = b × 3 + 14 d’où 14 = a – 3b 19 = 14 × 1 + 5 c’est-à-dire b = (a – 3b) + 5 d’où 5 = b – (a – 3b) = 4b – a 14 = 5 × 2 + 4 c’est-à-dire a – 3b = (4b – a)2 + 4 d’où 4 = 3a – 11b 5=4×1+1 c’est-à-dire 4b – a = (3a – 11b) + 1 d’où 1 = 15b – 4a d’où 1 = 71(-4) + 19(15) d’où (u ; v) = (-4 ; 15) Application : équation Diophantienne ax + by = c où c = PGCD(a, b) C’est une équation à coefficients entiers et dont les inconnues sont des entiers. Soit l’équation (E) : 62x + 43y = 1 1) Ecrire l’algorithme d’Euclide avec a et b 2) Déterminer une solution particulière (x0 ; y0) de (E) 3) Résoudre (E) 1) 62 = 43 × 1 + 19 43 = 19 × 2 + 5 19 = 5 × 3 + 4 5=4×1+1 4=4×1+0 d’où PGCD(62, 43) = 1 Donc d’après le théorème de Bézout (E) admet des solutions. 2) a = b × 1 + 19 d’où 19 = a – b b = (a – b)2 + 5 d’où 5 = 3b – 2a (a – b) = (3b – 2a) 3 + 4 d’où 4 = 7a – 10b (3b – 2a) = (7a – 10b) + 1 d’où 1 = 13b – 9a donc 1 = -9(62) + 13(43) d’où (-9 ; 13) = (x0 ; y0) est une solution particulière de (E) 3) (E) équivaut à 62x + 43y = 62x0 + 43y0 1 équivaut à 62(x – x0) = 43(y0 – y) - 62 doit diviser 43(y0 – y) et 62 est premier avec 43 donc 62 doit diviser (y0 – y) (d’après le théorème de Gauss) - 43 doit diviser 62(x – x0) et 43 est premier avec 62 donc 43 doit diviser (x – x0) donc il existe k et ℓ entiers tels que : y0 – y = 62k donc (E) équivaut à 62 × 43ℓ = 43 × 62k équivaut à ℓ = k d’où x = x0 + 43k et y = y0 + 62k c’est-à-dire x = – 9 + 43k et y = 13 – 62k et x – x0 = 43ℓ d’où S = {(– 9 + 43k ; 13 – 62k), k Є Z} III- Théorème de Gauss Théorème 2 : Théorème de Gauss Soient a, b et c trois entiers non nuls. Si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c. Conséquences : (1) Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors leur produit ab divise c (2) Un entier a est premier avec chacun des nombres b1 et b2 si et seulement si il est premier avec leur produit b1b2 (3) Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b. (4) Si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers alors p est égal à l’un d’entre eux. IV- PPCM Définition 2 : Soient a et b des entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples non nuls communs à a et b dans N est un ensemble non vide (il contient ab). Son plus petit élément non nul est le PPCM (plus petit multiple commun) des entiers a et b et se note PPCM(a ; b). Propriété 7 : décomposition en facteurs premiers : Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. - S’ils n’ont aucun facteur premier commun, PPCM(a, b) = ab - Sinon, PPCM(a, b) est égal au produit des facteurs premiers des deux nombres, chacun étant affecté du plus grand exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions. Remarque : Si a est un entier naturel, PPCM(a ; 0) = PPCM(0 ; a) = 0 Propriété 8 : Tout multiple commun à a et b est un multiple de PPCM(a ; b) Propriété 9 : homogénéité Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Pour tout k Є N*, PPCM(ka, kb) = k PPCM(a, b) Propriété 10 : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = ab