EN VRAC - ecole d`echecs de bagneux
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Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous, mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!! EN VRAC Exercice 1 : __ __ 1) Dans quelle base a-t-on : 82 = 3 x 28 ? __ 3 ____ 2) Dans quelle base a-t-on : 11 = 1331 ? __ 3 Que vaut 11 dans les autres bases ? Exercice 2 : On considère deux nombres A et B tels que : 3,185 < A < 3,186 et 12,018 < B < 12,019 En déduire des encadrements décimaux des nombres : A + B A x B B – A et à 10-4 près B / A Exercice 3 : Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde que 2 n’est pas un nombre rationnel. 1) Démontrer que le carré d’un nombre n a la même parité que le nombre n lui même. 2) Si 2 était un rationnel il existerait une fraction irréductible p/q égale à Démontrer que p est pair. 3) En déduire que q est pair. 4) Conclure. 2. Exercice 4 : Trouver un entier x divisible par 6, non divisible par 8, et ayant exactement 15 diviseurs. Exercice 5 : Adrien possède des jetons et s’amuse à les disposer en « carré » : * * * * * * * * * Si Adrien dispose n jetons par ligne, il lui en reste 52. Si Adrien en met 4 de plus, il lui en manque 60. Combien a-t-il de jetons ? Exercice 6 : 1) Est-il vrai que le premier jour et le dernier jour d’une année tombent toujours le même jour de la semaine ? 2) En 2007 le 6 janvier était un samedi, et le 1er mai un mardi. Quels jours tomberont ces deux dates en 2008 ? Quels jours tomberont ces deux dates en 2009 ? 3) En 2008 le 29 février est un vendredi, quel jour tombera-t-il en 2009. 4) Amusez-vous à calculer le jour de la semaine où vous êtes né ! Exercice 7 : 1) En math Tom a obtenu les notes suivantes : 9, 13, 18. Quelle moyenne doit-il obtenir dans les 2 prochaines évaluation pour avoir une moyenne finale de 14 ? 2) Un étudiant roule à 45 km/h de moyenne entre Reims et Châlons (les arrêts du côté de la Veuve sont comptés), à quelle vitesse doit-il rouler au retour pour réaliser une moyenne de 60 km/h sur l’ensemble du parcours ? Exercice 8 : On a déplacé la virgule d’un nombre décimal d de deux rangs vers la droite, le nombre a augmenté de 727,452. Trouver le nombre d. Exercice 9 : Le dernier jour d’un certain mois de la guerre de 14-18 on découvrit la tombe d’un capitaine français tué à la suite d’une bataille en terre étrangère. L’âge du capitaine pendant la bataille et la date de sa mort étaient indiqués sur la pierre tombale. Une pertuisane (hallebarde de un peu plus de 2 mètres) ayant servi au combat était enterrée avec lui. Un fanatique du calcul multiplia les nombres suivants entre eux: - le quantième du jour dans le mois de la découverte de la tombe - la longueur en pieds (ancienne mesure équivalant à 0,3248 m) de la pertuisane - la moitié en années de l’âge du capitaine arrondi par défaut - le quart du nombre d’années écoulées depuis la mort du capitaine jusqu’à la découverte de la tombe il a obtenu : 225 533 On vous demande de retrouver : a) le jour, le mois, et l’année de la découverte de la tombe b) la longueur en pied de la pertuisane c) l’âge du capitaine pendant la bataille d) l’année de la bataille e) le nom du capitaine et le lieu de la bataille Exercice 10 : Anciennes unités de masses : la livre de poids vaut 2 marcs ou 16 onces ou 128 gros. Anciennes unités de monnaie : la livre tournois vaut 20 sous, ou 240 deniers. Un marc d’or coûtait 27 livres tournois et 12 sous. Quel était le prix de 14 marcs 5 onces 7 gros d’or ? Donner le résultat sous la forme d’un nombre complexe exprimé en livres, sous, deniers, au denier près par défaut. Exercice 1 : 1) Soit a la base, puisqu’il y a un 8 c’est que a > 8 : 8 a + 2 = 3 ( 2 a + 8 ) d’où a = 11 2) Soit a la base, puisqu’il y a un 3 c’est que a > 3 : (a+1) 3 = a3 + 3 a² + 3 a + 1 Si on développe on s’aperçoit que cette égalité est toujours vérifiée. L’égalité est donc vraie dans toute base a supérieure à trois. __ __ ___ __ ___ ___ __ ____ ___ ____ En base trois : 11 x 11 = 110 + 11 = 121 121 x 11 = 1210 + 121 = 2101 __ __ ___ __ ____ ____ __ _____ ____ _____ En base deux : 11 x 11 = 110 + 11 = 1001 1001 x 11 = 10010 + 1001 = 11011 Pour ceux qui n’ont pas confiance, ils peuvent vérifier en passant par la base dix ! Exercice 2 : 3,185 < A < 3,186 12,018 < B < 12,019 comme tout est positif, on peut additionner et multiplier les inégalités : 15,203 < A + B < 15,205 et 38,27733 < A B < 38,292534 mais attention ensuite !!! quand on multiplie par un nombre négatif l’inégalité change de sens !!! donc -3.186 < - A < -3.185 et par conséquent en additionnant les deux inégalités 8,832 < B – A < 8,834 et quand on prend des inverses aussi !!! donc 1/3.186 < 1/A < 1/3.185 et en multipliant les deux inégalités 3,77212… < B/A < 3,773626… d’où l’on déduit par exemple : 3,7721 < B/A < 3,7737 (attention aux derniers chiffres! un schéma peut vous aider à comprendre). Exercice 3 : 1) si n est pair, il existe un entier k tel que n = 2 k on en déduit n² = 4 k² = 2 (2k²) n² est pair si n est impair, il existe un entier k tel que n = 2 k + 1 on en déduit n² = 4 k² + 4k + 1 = 2 (2k²+2k) + 1 n² est impair Comme un nombre ne peut être que pair ou impair on déduit de ces deux propriétés que : n pair <=====> n² pair n impair <=====> n² impair 2) en élevant au carré 2 = p/q on obtient : 2 = p² / q² soit p² = 2 q² p² est donc pair, d’après la question 1 : p est pair 3) si p est pair, il existe un entier k tel que : p = 2 k p² = 2 q² ===> (2k)² = 2 q² ===> q² = 2 k² q² est donc pair, d’après la question 1 : q est pair 4) p/q était par hypothèse irréductible, or si p et q sont pairs p/q n’est pas irréductible ! Il est donc impossible que 2 soit égal à une fraction irréductible, 2 n’est donc pas un rationnel. Exercice 4 : Pour être divisible par 6, la décomposition en facteurs premiers de X doit contenir au moins 2 et 3. Donc x = 2 m 3 n cp d q … m et n devant être strictement positifs (*) Rappel : un nombre x dont la décompositions en facteurs premiers est possède (m+1)(n+1)(p+1)(q+1)… diviseurs a m b n cp d q … Comme x possède 15 diviseurs, il n’ y a que deux possibilités : 1er cas : 15 = 1 x 15 dans ce cas x = 2m 3n avec m = 0 ou n = 0 ce qui est impossible d’après (*) 2èm cas : 15 = 3 x 5 dans ce cas x = 2m 3n avec (m = 2 et n = 4) ou bien (m = 4 et n = 2) Si m était égal à 4, x serait divisible par 8. Il ne reste qu’une seule possibilité : m = 2 et n = 4 d’où x = 324 Exercice 5 : Soit N le nombre de jetons d’Adrien. L’énoncé se traduit par : N = n² + 52 et N = (n + 4)² - 60 On en déduit : n² + 52 = n² + 8 n + 16 - 60 d’où n = 12 Adrien possède 196 jetons. Exercice 6 : Tous les 7 jours on retrouve le même jour de la semaine. Si par exemple le 5 mars est un mercredi , le 5 + 7 = 12 mars est aussi un mercredi. Tous les problèmes de ce type se traitent donc à partir des restes dans la division par 7. Mais attention, au problème d’intervalle !!! 1) On pourrait se contenter de répondre « non, puisque les années durent 365 ou 366 jours, si c’est vrai dans un cas, c’est faux dans l’autre, donc ce n’est pas toujours vrai ! ». Mais il est peut-être bon de préciser !!! Une année normale dure 365 jours, 365 = 7 x 52 + 1, tous les jours de la semaine défilent donc 52 fois, et le (+1) fait que le dernier jour de l’année on se retrouve le même jour qu’au début de l’année !!! En revanche si l’année est bissextile 366 = 7 x 52 + 2, on se retrouve un jour après. Donc la proposition est fausse. 2) 2007 n’étant pas divisible par 4 n’est pas une année bissextile, mais 2008 en est une ! Le résultat va dépendre de la place de la date étudiée par rapport au 29 février (faites un schéma !!!!!!) D’après les calculs effectués dans la première question : Si le 6 janvier 2007 est un samedi, en 2008 365 jours plus tard ce sera un dimanche, et en 2009 366 jours plus tard ce sera un mardi ! Si le 1er mai 2007 est un mardi, en 2008 366( !) jours plus tard ce sera un jeudi, et en 2009 365 jours plus tard ce sera un vendredi ! 3) c’est une question possible pour le « bac belge » : en 2009 il n’y aura pas de 29 février ! En revanche vous pouvez chercher quel jour tombera le prochain 29 février !!! 4) pour valider la réponse : demander à votre famille ! Il faut décaler d’une journée en moins par année ou de deux si l’année est bissextile et que vous êtes né après le 29 février. Faites un schéma ! Attention il va falloir trouver (en divisant par 4) combien il y a eu d’années bissextiles depuis votre naissance. Exercice 7 : 1) soit x la moyenne cherchée des deux évaluations. On veut que : ( 9 + 13 + 18 + 2 x) / 5 = 14 d’où x = 15 2) on a vu en cours qu’on ne peut faire une moyenne de deux vitesses que si on roule à ces deux vitesses pendant le même temps, ce n’est pas le cas ici, donc la réponse n’est pas 75 km/h !!!!!! soit x la moyenne du retour, et d la distance Reims Châlons, comme d = v t on a : temps aller : d / 45 temps retour : d / x distance totale d + d = 2d on veut donc que : 60 = 2d / (d/45 + d/x) d se simplifie, et on trouve x = 90 km/h Exercice 8 : Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite revient à le multiplier par 100. 100d = d +727,452 d’où d = 7,348 Exercice 9 : 225 533 = 7 x 11 x 29 x 101 Le seul nombre qui puisse être le dernier jour d’un mois est le 29. a) Puisque c’est le dernier jour c’est que nous sommes en février, et que l’année était bissextile. Il faut une année comprise entre 1914 et 1918 qui soit divisible par 4. Un nombre étant divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 il s’agit du 29 février 1916 b) c’est 7 qui correspond à la hauteur en pied de la pertuisane puisque 7 x 0,3248 donne un peu plus de 2 c) entre 101 et 11 ce ne peut-être que 11 qui corresponde à la moitié de l’âge du capitaine par défaut le capitaine avait donc 23 ans d) reste 101 qui représente le quart du nombre d’années écoulées soit 4 x 101 = 404 ce qui fait que la bataille s’est déroulée en 1916 – 404 = 1512 e) une rapide recherche sur internet vous apprend qu’il s’agit de GASTON de FOIX, et de la BATAILLE DE RAVENNE. Exercice 10 : Des données on déduit que : 1 marc = 64 gros 1 once = 8 gros 1 sou = 12 deniers … Pour traiter ce type de problème il existe de nombreux procédés. Certains sont très très longs ! Je vous conseille de tout convertir dans la plus petite unité, même si ce n’est pas très beau, c’est efficace et facile à comprendre. Par exemple : un marc d’or c’est à dire 64 gros d’or coûtent (27x20 + 12) x 12 deniers = 6624 deniers 14 marcs 5 onces 7 gros c’est 14x64 + 5x8 + 7 = 943 gros cette masse d’or coûte donc : 6624 x 943 / 64 = 97600,5 deniers on divise par 12 pour avoir en sous : 8133 sous et 4 deniers (arrondi au denier par défaut) on divise par 20 pour avoir en livres tournois 406 livres 13 sous 4 deniers c’est la réponse demandée.
