+ ( /2)

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File : Cmplx-Numbers-Forme-Polaire
Forme [ trigonometrique / polaire ] d'un nombre complexe « z = a + j . b »
 Module
Soit le point « M » dont l’affixe est « z = a + j . b »
Figure 1.2 / p 3 / COZIAN
Le module de « z » est la distance «  = | OM | » ;
On écrit « | z | =  = | OM | » ;
Donc,
| z | =  = (a2 + b2 )1/2 = (z . z*)1/2 où « | z |  0 »
 Argument
Soit le point « M » dont l’affixe est « z = a + j . b »
L'argument de « z » est la mesure en radians de l'angle polaire entre :
- le vecteur « OM » ;
- et l’axe « OX » positif ;
On écrit « Arg (z) =  = ∡ (u ,OM) » (modulo « 2 . ») ou bien :
Arg (z) =  + k . 2 .  où « k  Z »
Les relations de goniométrie dans les triangles rectangles =>
 a = | z | . cos () = (a2 + b2 )1/2 . cos () ;
 b = | z | . sin () = (a2 + b2 )1/2 . sin () ;
L’angle «  » est défini puisque :
 cos () = a/  = a/ (a2 + b2 )1/2 ;
 sin () = b/  = b/ (a2 + b2 )1/2 ;
 tg () = b/ a ; !!!!!
Le nombre réel « 0 » n'a pas d'argument ;
Figure 1. 2/ p 3 / COZIAN => OM =  . cos () . 1x +  . sin () . 1y => le nombre
complexe « z = a + j . b » peut être mis e sous la forme trigonométrique :
z = a + j . b = | z | . cos () + j . | z | . sin () = | z | . (cos () + j . sin ()) =>
z =  . (cos () + j . sin ()) où «  = | z | = (a2 + b2 )1/2 »
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et :

z* =  . ( cos () - j . sin ()) où «  = | z | = (a2 + b2 )1/2 »

| z* | = | z | =  = (a2 + b2 )1/2
Ex1 : Module et argument de « z1 = - 2 » et « z2 = - 31/2 + j » => :
| z1 | = 2, Arg (z1) =  (« 2 .  » près) => z1 = 2 . (cos () + j . sin ()) ;
| z2 | = 2 , cos (2) = - 31/2/2 et sin (2) =1/2 =>
z2 = 2 . ( cos ((5 . )/6) + j . sin ((5 . )/6)) ;
Ex2 : Module et argument de :
 z1 = 2 + j . 2 . 31/2 ;
 z2 = - 2 + j . 2 . 31/2
 z1 = - 2 - j . 2 . 31/2 ;
 z2 = 2 - j . 2 . 31/2
On a : tg () = b/a :
 lorsque « a > 0 » et « b > 0 » => « b/a > 0 » et le nombre complex « z = a + j . b » est
situé dans le 1er quadrant =>   [0 ; /2 [ =>
 = arctg (b/a) ;
 lorsque « a < 0 » et « b > 0 » => « b/a > 0 » et le nombre complex « z = a + j . b » est
situé dans le 2ème quadrant =>   ]/2 ;  ] =>
 =  + arctg (b/a) car « arctg (b/a) < 0 »
 lorsque « a < 0 » et « b < 0 » => « b/a > 0 » et le nombre complex « z = a + j . b » est
situé dans le 3ème quadrant =>    [ ; (3.)/2 [ =>
 =  + arctg (b/a) car « arctg(b/a) > 0 »
 lorsque « a > 0 » et « b < 0 » => « b/a > 0 » et le nombre complex « z = a + j . b » est
situé dans le 4ème quadrant =>   ] (3.)/2 ; 2 . ] =>
 = 2 .  - arctg (b/a) car « arctg (b/a) < 0 »
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 Produit et quotient de de « 2 » nombres complexes sous forme polaire
Soit les « 2 » nombres complexes « z » et « z’ » non nuls, mis sous forme polaire :
 z =  . ( cos () + j . sin ()) ;
 z’ = ’. ( cos (’) + j . sin (’))
 Produit de « z » et de « z’ »
z . z’=  . ( cos () + j . sin ()) . ’ . ( cos (’) + j . sin (’)) =
=  . ’ . { (cos () . cos (’) - sin () . sin (’)) +
+ j . (sin () . cos (’) + sin (’) . cos () } 
z . z’ =  . ’ . (cos ( + ’) + j . sin ( + ’))
 quotient de « z » par « z’ »
z / z’= [  . ( cos () + j . sin ()) ] / [ ’ . ( cos (’) + j . sin (’)) ] =
= (/’) . ( cos () + j . sin ()) . (cos (’) - j . sin (’)) 
z / z’= = (/’) . [ (cos () . cos (’) + sin () . sin (’)) +
+ j . (sin () . cos (’) - sin (’) . cos () ] 
z/ z’ = (/’) . (cos ( - ’) + j . sin ( - ’))
Commentaire : z . j et z / j + DESSIN
Ex :
z = 3 + 3 . j = 3 . 21/2 . ( cos (/4) + j . sin (/4)) ;
z’ = 2 + 2 . 31/2 . j = 4 . ( cos (/3) + j . sin (/3)) ;
z . z’ = ……
z / z’ = ....
Ex : z = 5 . (21/2/2) + 5 . (21/2/2) . j et z’ = 3 . 31/2 - 3 . j =>
z . z’ = … ;
z / z’ = … ;
***********************************************************************
HERE
Comtruction géométrique de l'image de « z . z’ » :
Figure 1.4 / p 5 / COZIAN
Soit le point « A » dont l’affixe est « 1 » ;
Considérer les 2 triangles « OAM » et « OM’T » :
- (OA , OM ) = (OM’ ,OP ) =  (2 . ) ;
- | OP | =  . ’ = | OM | . | OM’ |
ou encore | OM |/ | OA| = |OP |/ |OM’ | car « | OA | = 1 » ;



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
Les « 2 » triangles considérés sont donc semblables =>d'où la construction de « P » :
la rotation de centre « O » et d'angle ’, transforme le triangle « OAM » en « OA1 M1 » ;
Il suffit alors de mener par M’, la droite « // » à (A1 M1) qui rencontre la droite (OM1)
en « P (z . z’) » ;
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 Signification géométrique du produite « z . j »
Soit dans le plan complexe, le point « M » dont l’affixe est
« z =  . ( cos () + j . sin ()) » ;
Figure 1.5 / p 6 / COZIAN
On a :
j . z = z . j =  . { cos ( + (/2)) + j . sin ( + (/2)) }
FAIRE un DESSIN
Donc :
 on passe du point point « M » dont l’affixe est « z =  . (cos () + j . sin ()) » ;
 au point « M’ » dont l’affixe est « j . z = z . j =  . (cos () + j . sin ()) . j » ;
par la rotation de centre « O » et d'angle « + (/2) » ;
Donc, le fait de multiplier un nombre complexe « z =  . exp (j . ) » par « j », a pour
conséquence de faire tourne ce nombre complexe « z » d’une angle « /2 » dans le
sens trigonométrique autour de l’origine du plan de GAUSS ;
On peut généraliser à une rotation de centre « O » et d'angle «  » en multipliant
« z =  . ( cos () + j . sin ()) » par « z’ = 1 . ( cos () + j . sin ()) » ;
 « j » est un opérateur de rotation :
 d' un angle « + (/2) » ;
 autour de l’orgine « O » ;
 dans le sens trigonométrique ;
dans le plan des nombres complexes ;
Ecrire quelques conclusions ! ! ! sur cette rotation et sur la division par « j »
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 Signification géométrique du quotient « z / j »
Soit dans le plan complexe, le point « M » dont l’affixe est
« z =  . ( cos () + j . sin ()) » ;
On a :
z / j =  . { cos ( - (/2)) + j . sin ( - (/2)) }
FAIRE un DESSIN
Donc :
 on passe du point point « M » dont l’affixe est « z =  . ( cos () + j . sin ()) » ;
 au point « M’ » dont l’affixe est « z / j =  . ( cos () + j . sin ()) . (1/ j ) » ;
par la rotation de centre « O » et d'angle « - (/2) » ;
Donc, le fait de diviser un nombre complexe « z =  . exp (j . ) » par « j », a pour
conséquence de faire tourne ce nombre complexe « z » d’une angle « /2 » dans le
sens horlogique autour de l’origine du plan de GAUSS ;
On peut généraliser à une rotation de centre « O » et d'angle «  » en multipliant
« z =  . ( cos () + j . sin ()) » par « z’ = 1 . ( cos () + j . sin ()) » ;
 « 1/ j » est un opérateur de rotation :
 d' un angle « - (/2) » ;
 autour de l’orgine « O » ;
 dans le sens horlogique ;
dans le plan des nombres complexes ;
Ecrire quelques conclusions ! ! ! sur cette rotation et sur la division par « j »
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HERE
Nombres complexes :
 forme algébrique/cartésienne : Z = a + j . b ;
 forme trigonométrique :Z = |Z| . (cos () + sin ()) où
|Z| = (a2 + b2)1/2 et :
- Si a > 0 et b > 0 => b/a > 0 et Z est dans le 1er quadrant =>   [0 ; /2[ =>
 = arctg (b/a) ;
- Si a < 0 et b > 0 => b/a < 0 => et Z est dans le 2ème quadrant =>   ]/2; ] =>
 =  + arctg (b/a) car arctg(b/a) < 0 ;
- Si a < 0 et b < 0 => b/a > 0 => et Z est dans le 3ème quadrant =>   [ ; (3.)/2[ =>
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 =  + arctg (b/a) car arctg(b/a) > 0 ;
- Si a > 0 et b < 0 => b/a < 0 => et Z est dans le 4ème quadrant =>   ] (3.)/2; 2 . ] =>
 = 2 .  - arctg (b/a) car arctg(b/a) < 0 ;
 forme eulérienne : Z = |Z| . exp (j .) avec les propriétés :
si Z1 = |Z1| . exp (j .1) et Z2 = |Z2| . exp (j .2) alors :
- Z1 . Z2 = |Z1| . |Z2| . exp [j .(1 + 2)] ;
- Z1/Z2 = (|Z1|/ |Z2|) . exp [j .(1 - 2)] ;
- Z r = |Z1| r . exp [j . (r .)]  r  R ;
***********************************************************************
HERE
Nombres complexes :
 forme algébrique/cartésienne : Z = a + j . b ;
 forme trigonométrique :Z = |Z| . (cos () + sin ()) où
|Z| = (a2 + b2)1/2 et :
- Si a > 0 et b > 0 => b/a > 0 et Z est dans le 1er quadrant =>   [0 ; /2[ =>
 = arctg (b/a) ;
- Si a < 0 et b > 0 => b/a < 0 => et Z est dans le 2ème quadrant =>   ]/2; ] =>
 =  + arctg (b/a) car arctg(b/a) < 0 ;
- Si a < 0 et b < 0 => b/a > 0 => et Z est dans le 3ème quadrant =>   [ ; (3.)/2[ =>
 =  + arctg (b/a) car arctg(b/a) > 0 ;
- Si a > 0 et b < 0 => b/a < 0 => et Z est dans le 4ème quadrant =>   ] (3.)/2; 2 . ] =>
 = 2 .  - arctg (b/a) car arctg(b/a) < 0 ;
 forme eulérienne : Z = |Z| . exp (j .) avec les propriétés :
si Z1 = |Z1| . exp (j .1) et Z2 = |Z2| . exp (j .2) alors :
- Z1 . Z2 = |Z1| . |Z2| . exp [j .(1 + 2)] ;
- Z1/Z2 = (|Z1|/ |Z2|) . exp [j .(1 - 2)] ;
- Z r = |Z1| r . exp [j . (r .)]  r  R ;