limites

LIMITES
Si n est un entier strictement positif :
n
xxlim
xlim x
0
x
1
lim n
x
0
x
1
lim
x
pairestnsixlim n
x
impairestnsixlim n
x
0xlim n
0x 
0
x
1
lim n
x
n
0x 0x x
1
lim
pairest nsi
x
1
lim n
0x 0x 
impairestnsi
x
1
lim n
0x 0x 
Propriété :
Soit f une fonction définie sur l’intervalle I de R :
hxflim)x(flim 0
0hxx 0
On pose
hxx 0
avec h tend vers zéro.
Exemple : f est une fonction définie sur
;3
par
3x1
)x(f 
. Posons
 ;0havech3x
:
donc
3h3 1
)h3(f 
, soit
h
1
)h3(f 
. On a donc
h
1
lim)x(flim
0h 0h 3x 3x 
. Or
h
1
lim
0h 0h
, donc
)x(flim
3x 3x
.
Théorème : Pour toute fonction polynôme, rationnelle, sinus, cosinus, ou racine carrée, si f est définie sur
un intervalle I et si
Ix0
, alors
)x(f)x(flim 0
xx 0
.
Dans tout le paragraphe suivant, désigne un nombre réel, ou + ou -, et l et l ’ désignent des
nombres réels.
Produit d’une fonction par une constante :
 Si f(x) tend vers l, alors k.f(x) tend vers k.l
 Si f(x) tend vers , alors k.f(x) tend vers
0ksi
0ksi
 Si f(x) tend vers , alors k.f(x) tend vers
0ksi
0ksi
Exercice :
Déterminer la limite en zéro de
3
x
2
)x(f 
, si f est définie sur
0;
:
3
0x 0x x
1
lim
, donc
3
0x 0x x
2
lim

OPERATIONS ET LIMITES
limite de la somme de deux fonctions
Si f a pour limite en 
l
l
l
+ 
- 
+ 
Si g a pour limite en 
l ’
+ 
- 
+ 
- 
- 
alors f + g a pour limite en 
l + l ’
+ 
- 
+ 
- 
?
Exemple :
f est définie sur
 ;0I
par
3
2x
1
x)x(f 
. Chercher la limite en zéro de f sur I :
)x(flim0x
. En effet,
 3
0x 0x
2
0x x
1
limet0xlim
.
limite du produit de deux fonctions
Si f a pour limite en 
l
l >0
l >0
l <0
l <0
+ 
+ 
- 
0
Si g a pour limite en 
l ’
+ 
- 
+ 
- 
+ 
- 
- 
alors f  g a pour limite en 
l.l ’
+ 
- 
- 
+
+ 
- 
+ 
?
Exemple :
f est définie sur
;0
par
x3x2)x(f 2
. Chercher la limite de f quand x tend vers l’infini :
Réponse :
)x(flim x
. En effet,
3x2lim 2 x
et
xlim x
.
limite du quotient de deux fonctions
 cas où le dénominateur a une limite non nulle
Si f a pour limite en 
l
l
+ 
+ 
- 
- 
Si g a pour limite en 
l ’ 0
l ’> 0
l ’< 0
l ’> 0
l ’< 0
alors Error! a pour limite en 
Error!
0
+ 
- 
- 
+ 
?
 cas où le dénominateur a une limite nulle
Si f a pour limite en 
l > 0
l > 0
l < 0
l < 0
0
Si g a pour limite en 
0 en restant
positive
0 en restant
négative
0 en restant
positive
0 en restant
négatif
0
alors Error! a pour limite en 
+ 
- 
- 
+ 
?
Exemple :
f est définie sur
 ;1I
par
3xx2 1x2
)x(f 2
. Chercher la limite quand x tend vers 1 :
)x(flimdonc03xx2limet3)1x2(lim
1x 1x
2
1x 1x 1x 1x
. Cherchons le signe de f(x) en cet endroit : le
trinôme
3xx2 2
a deux racines
1''xet
2
3
'x 
. Il est donc négatif sur l’intervalle
 ;1I
, et
)x(flim
1x 1x
.
COMMENT LEVER LES INDETERMINATIONS :
Cherchons la limite de f quand x tend vers l’infini si f est définie sur
;0
par
x5x2)x(f 2
:

 x5limetx2lim x
2
x
. Il y a donc indétermination.
Méthode :
1) Pour déterminer la limite d’une fonction polynôme quand x tend vers et qu’il y a indétermination
(ce n’est pas toujours le cas), on factorise xn (n étant le degré du polynôme). Reprenons notre exemple :
 x
5
2xlimx5x2lim 2
x
2
x
. Or
2
xxlim
et
0
x
5
limcar2
x
5
2lim xx 
, donc
x5x2lim 2 x
.
2) Pour déterminer la limite d’une fonction rationnelle quand x tend vers et qu’il y a indétermination,
on factorise xn au numérateur et xm au dénominateur (avec n le degré du polynôme numérateur et m le
degré du polynôme dénominateur), puis on « simplifie » l’expression obtenue.
Exemple :
f est définie sur
 ;1I
par
3xx2 1x2
)x(f 2
. Cherchons la limite quand x tend vers : le
numérateur tend vers et le dénominateur vers . Il y a donc indétermination. Or
2
2x
3
x
1
2x
x
1
2x
)x(f
, soit
2
x
3
x
1
2x
x
1
2
)x(f
. Comme
0
x
1
limcar2
x
1
2lim xx 
et comme
2 xx
3
x
1
2xlim
, alors
0)x(flim
x
par valeurs négatives.
LIMITE D’UNE FONCTION COMPOSEE :
v est une fonction définie sur un intervalle I de R vers J (de R ) et u une autre fonction définie sur J :
Si
c)x(vulimalorsc)x(ulimetb)x(vlim axbxax  
, où a, b et c désignent des réels ou .
Exemple :
f est définie sur
1x)x(fpar1; 
. Cherchons la limite de f quand x tend vers :
f est la composée de la fonction v définie dans
1;
vers
;0
par
1x)x(v 
, et de la fonction u
définie dans
;0
par
x)x(u 
. Comme
1xlim x
et comme
xlim x
, alors
1xlim x
.
TP1 p.49
exercices p.56 n°2,3,4,5,7,9,13,15,16,19,21,23,26,27,29