Arithmétique

Arithmétique
Divisibilité dans Z
Définition
a et b 2 entiers relatifs.
S’il existe un entier relatif k tel que a = kb, on dit que a est un multiple de b.
Si, de plus, b ≠ 0, on dit que b est un diviseur de a.
Dans ce cas, on dit aussi que a est divisible par b et que b divise a (noté : b/a).
Remarques :
a Z, 0 = 0 × a donc 0 est multiple de tout entier
 0 n’a qu’un seul multiple : lui-même
 0 admet une infinité de diviseurs (≠ 0)
 tout entier non nul, a, admet au moins pour diviseurs : 1 ; -1 ; a ; -a
 tout entier a ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs compris entre –a et a
 en revanche un entier (≠ 0) a une infinité de multiples
 2 entiers sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont -1 et 1.
Propriété de transitivité
a, b, c 3 entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
Démonstration :
a/b donc il existe k Z tel que b = ak
b/c donc il existe k’ Z tel que c = bk’
c = (a × k) k’
c = a (k × k’) avec (k × k’) un entier
donc c Z
d’où a/c
Combinaison linéaire
a, b, c 3 entiers relatifs ≠ 0.
Si a/b et si a/c alors a/mb + nc, m et n Z.
Démonstration :
a/b donc il existe k Z tel que b = ak
a/c donc il existe k’ Z tel que c = ak’
mb + nc = m (ak) + n (ak’)
= a (mk + nk’) avec (mk + nk’) Z
D’où a/mb + nc
Division euclidienne dans N
a et b entiers naturels, b ≠ 0.
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Démonstration :
_ Existence :
b > 0 donc les multiples de b forment une suite croissante

Cas 1 : a multiple de b
Il existe un q N tel que a = bq, le reste est nul dans ce cas.
Cas 2 : a n’est pas multiple de b
Alors a est compris entre 2 multiples consécutifs de b.
Il existe donc q N tel que :
bq < a < b(q + 1)
posons r = a – bq
alors a = bq + r avec r > 0 et r < b
Dans tous les cas, on a :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
_ Unicité :
On suppose l’existence de 2 couples N (q ; r) (q’ ; r’), tels que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
a = bq’ + r’ avec 0 ≤ r’ < b
bq + r = bq’ + r’
b (q – q’) = r – r’
or 0 ≤ r’ < b
et -b < -r ≤ 0
d’où -b < r’ – r <b
-b < b (q – q’) < b
-1 < q – q’ < 1
q – q’ = 0
q = q’
d’où r = r’
Division euclidienne dans Z
a Z et b Z*
En encadrant de même par 2 multiples consécutifs de b, on montre qu’il existe un unique
couple (q ; r) où q Z et r N, tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
Conséquence :
Dans la division euclidienne d’un entier relatif par 2, les seuls restes possibles sont 0 et 1 donc
tout entier s’écrit sous la forme n = 2q ou n = 2q + 1, où q Z.
Nombres premiers
Définition
On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède exactement 2 diviseurs positifs 1 et lui-
même.
Remarques :
 0 n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs)
 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur, lui-même)
 2 est le plus petit nombre premier et c’est le seul entier naturel pair premier.

Théorème
Soit n N, n ≥ 2.
n admet au moins un diviseur premier.
1ier cas : n est premier
n/n donc le théorème est démontré
2ième cas : n n’est pas premier
N admet un diviseur (positif) autre que 1 et
n, appelé diviseur propre
Propriété admise :
Dans N, une partie non vide admet un plus petit élément.
Soit E l’ensemble des diviseurs positifs de n autres que 1 et n (ensemble des diviseurs
propres).
E ≠ 0 (n n’est pas premier)
E N
D’après la propriété précédente, E admet un plus petit élément noté p.
Supposons que p ne soit pas premier.
Alors p admettrait un diviseur propre d qui serait par conséquent un diviseur propre de n
strictement inférieur à p.
Absurde car en contradiction avec p plus petit diviseur propre de n.
Donc p est premier.
Critère de primalité
n N, n ≥ 2
Si n n’est pas premier alors il admait au moins un diviseur premier p ≤
n
.
Démonstration :
L’entier p défini à la propriété précédente divise n.
Donc il existe q N, tel que :
n = p×q.
Par conséquent q est aussi un diviseur propre de n et p ≤ q.
Donc p² ≤ pq
p² ≤ n
p ≤
n
.
Conséquence du test de primalité :
Soit n N, n ≥ 2.
Si n n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à
n
alors n est premier.
Conjecture de Goldbach
Tout nombre pair différent de 2 est somme de 2 nombres premiers.
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
Principe :
Euclide démontre que si l’on considère des nombres premiers, on peut toujours considérer un
nombre premier autre que ceux que l’on a considéré au départ.
Ce que nous traduisons par le fait qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration :
Considérons des nombres premiers p1, p2,…, pn et montrons que les nombres premiers sont en
plus grande quantité que p1, p2,…, pn.
Pour cela considérons N = p1 × p2 ×…× pn +1.
Cas 1 : N est premier
N étant strictement plus quands que les entiers p1, p2,…, pn, c’est un nombre premier autre
que p1, p2,…, pn.
Cas 2 : N n’est pas premier
Il admet alors un diviseur premier noté N’ (positif).
Supposons que N’ soit l’un des entiers p1, p2,…, pn, alors il diviserait p1 × p2 ×…× pn.
or N’ divise N = p1 × p2 ×…× pn +1
donc N’ diviserait N – p1 × p2 ×…× pn
càd N’ diviserait 1 et N’ serait égal à 1
Absurde car N’ est premier.
N’ est donc différent de p1, p2,…, pn.
Donc dans les 2 cas nous obtenons un nombre premier autre que ceux considérés au départ.
Théorème fondamental de l’arithmétique
Soit n N, n ≥ 2.
 n se décompose en un produit de facteurs premiers
 cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.
Démonstration :
_ Existence :
n ≥ 2
D’après le théorème des diviseurs premiers, n admet un diviseur premier p1.
Donc n = p1 × n1 avec 1 ≤ n1 < n
Si n1 = 1  n = p1, le théorème est démontré
Si n1 ≥ 2, n1 admet un diviseur premier p2
donc n1 = p2 × n2 avec 1 ≤ n2 < n1
Si n2 = 1  n1 = p2 et n = p1 × p2, le théorème est démontré
Si n2 ≥ 2, n2 admet un diviseur premier p3
donc n2 = p3 × n3 avec 1 ≤ n3 < n2
Si n3 = 1  n2 = p3 et n = p1 × p2 × p3, le théorème est démontré
Si n3 ≥ 2, n3 admet un diviseur premier p4
……………….
On itère le raisonnement tant que le quotient est ≠ 1.
On fait apparaitre une suite finie d’entiers décroissants strictement positifs.
Elle forme un produit de nombres premiers.
Au bout d’un nombre fini K d’opérations, on obtient :
nK = 1, on a alors n = p1 × p2 ×…× pK
_ Unicité : admise

PGCD de 2 entiers
Notation :
D(a) : ensemble des diviseurs d’un entier relatif a
D(a ; b) : ensemble des diviseurs communs à 2 entiers a et b
Diviseurs communs à 2 entiers
a et b Z
Un diviseur commun à a et b est un entier relatif d qui divise à la fois a et b.
D(a ; b) = D(a)∩D(b)
Propriétés
a et b Z
 D(a ; 0) = D(a) pour a Z*
 D(a ; 1) = {-1 ; 1}
 D(a ; b) = D(|a| ; |b|) car D(a) = D(|a|)
 si b ≠ 0 et b/a alors D(b) D(a)
et D(a ; b) = D(a)∩D(b)
donc D(a ; b) = D(b)
Propriété
a et b entiers relatifs non simultanément nuls.
k Z, D(a ; b) = D(a-kb ; b)
Cas particulier: D(a ; b) = D(a-b ; b)
Démonstration :
d D(a ; b)
d/a et d/b
d/a-kb
d/b d’où d D(a-kb ; b)
donc D(a ; b) D(a-kb ; b)
d D(a-kb ; b)
d/a-kb et d/b
d/a
d/b d’où d D(a ; b)
donc D(a-kb ; b) D(a ; b)
d’où D(a ; b) = D(a-kb ; b)
Cas particulier, pour k = 1: D(a ; b) = D(a-b ; b)
Corollaire
Si 0 < b ≤ a
D(a ; b) = D(b ; r), r étant le reste de la division euclidienne de a par b
Démonstration :
a = bq + r avec 0 < r ≤ b
d’où a-bq = r
d’après la propriété précédente :
D(a ; b) = D(a-bq ; b)
= D(r ; b)
= D(b ; r)