Arithmétique

Arithmétique
Divisibilité dans Z
Définition
a et b 2 entiers relatifs.
S’il existe un entier relatif k tel que a = kb, on dit que a est un multiple de b.
Si, de plus, b ≠ 0, on dit que b est un diviseur de a.
Dans ce cas, on dit aussi que a est divisible par b et que b divise a (noté : b/a).
Remarques :
  a  Z, 0 = 0 × a donc 0 est multiple de tout entier
 0 n’a qu’un seul multiple : lui-même
 0 admet une infinité de diviseurs (≠ 0)
 tout entier non nul, a, admet au moins pour diviseurs : 1 ; -1 ; a ; -a
 tout entier a ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs compris entre –a et a
 en revanche un entier (≠ 0) a une infinité de multiples
 2 entiers sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont -1 et 1.
Propriété de transitivité
a, b, c 3 entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
Démonstration :
a/b donc il existe k  Z tel que b = ak
b/c donc il existe k’  Z tel que c = bk’
c = (a × k) k’
c = a (k × k’) avec (k × k’) un entier
donc c  Z
d’où a/c
Combinaison linéaire
a, b, c 3 entiers relatifs ≠ 0.
Si a/b et si a/c alors a/mb + nc,  m et n  Z.
Démonstration :
a/b donc il existe k  Z tel que b = ak
a/c donc il existe k’  Z tel que c = ak’
mb + nc = m (ak) + n (ak’)
= a (mk + nk’) avec (mk + nk’)  Z
D’où a/mb + nc
Division euclidienne dans N
a et b entiers naturels, b ≠ 0.
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Démonstration :
_ Existence :
b > 0 donc les multiples de b forment une suite croissante
Cas 1 : a multiple de b
Il existe un q  N tel que a = bq, le reste est nul dans ce cas.
Cas 2 : a n’est pas multiple de b
Alors a est compris entre 2 multiples consécutifs de b.
Il existe donc q  N tel que :
bq < a < b(q + 1)
posons r = a – bq
alors a = bq + r avec r > 0 et r < b
Dans tous les cas, on a :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
_ Unicité :
On suppose l’existence de 2 couples  N (q ; r) (q’ ; r’), tels que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
a = bq’ + r’ avec 0 ≤ r’ < b
bq + r = bq’ + r’
b (q – q’) = r – r’
or
et
d’où
d’où
0 ≤ r’ < b
-b < -r ≤ 0
-b < r’ – r <b
-b < b (q – q’) < b
-1 < q – q’ < 1
q – q’ = 0
q = q’
r = r’
Division euclidienne dans Z
a  Z et b  Z*
En encadrant de même par 2 multiples consécutifs de b, on montre qu’il existe un unique
couple (q ; r) où q  Z et r  N, tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
Conséquence :
Dans la division euclidienne d’un entier relatif par 2, les seuls restes possibles sont 0 et 1 donc
tout entier s’écrit sous la forme n = 2q ou n = 2q + 1, où q  Z.
Nombres premiers
Définition
On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède exactement 2 diviseurs positifs 1 et luimême.
Remarques :
 0 n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs)
 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur, lui-même)
 2 est le plus petit nombre premier et c’est le seul entier naturel pair premier.
Théorème
Soit n  N, n ≥ 2.
n admet au moins un diviseur premier.
1ier cas : n est premier
n/n donc le théorème est démontré
2ième cas : n n’est pas premier
N admet un diviseur (positif) autre que 1 et
n, appelé diviseur propre
Propriété admise :
Dans N, une partie non vide admet un plus petit élément.
Soit E l’ensemble des diviseurs positifs de n autres que 1 et n (ensemble des diviseurs
propres).
E ≠ 0 (n n’est pas premier)
E N
D’après la propriété précédente, E admet un plus petit élément noté p.
Supposons que p ne soit pas premier.
Alors p admettrait un diviseur propre d qui serait par conséquent un diviseur propre de n
strictement inférieur à p.
Absurde car en contradiction avec p plus petit diviseur propre de n.
Donc p est premier.
Critère de primalité
n  N, n ≥ 2
Si n n’est pas premier alors il admait au moins un diviseur premier p ≤ n .
Démonstration :
L’entier p défini à la propriété précédente divise n.
Donc il existe q  N, tel que :
n = p×q.
Par conséquent q est aussi un diviseur propre de n et p ≤ q.
Donc p² ≤ pq
p² ≤ n
p≤ n.
Conséquence du test de primalité :
Soit n  N, n ≥ 2.
Si n n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à
n alors n est premier.
Conjecture de Goldbach
Tout nombre pair différent de 2 est somme de 2 nombres premiers.
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
Principe :
Euclide démontre que si l’on considère des nombres premiers, on peut toujours considérer un
nombre premier autre que ceux que l’on a considéré au départ.
Ce que nous traduisons par le fait qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration :
Considérons des nombres premiers p1, p2,…, pn et montrons que les nombres premiers sont en
plus grande quantité que p1, p2,…, pn.
Pour cela considérons N = p1 × p2 ×…× pn +1.
Cas 1 : N est premier
N étant strictement plus quands que les entiers p1, p2,…, pn, c’est un nombre premier autre
que p1, p2,…, pn.
Cas 2 : N n’est pas premier
Il admet alors un diviseur premier noté N’ (positif).
Supposons que N’ soit l’un des entiers p1, p2,…, pn, alors il diviserait p1 × p2 ×…× pn.
or
N’ divise N = p1 × p2 ×…× pn +1
donc N’ diviserait N – p1 × p2 ×…× pn
càd
N’ diviserait 1 et N’ serait égal à 1
Absurde car N’ est premier.
N’ est donc différent de p1, p2,…, pn.
Donc dans les 2 cas nous obtenons un nombre premier autre que ceux considérés au départ.
Théorème fondamental de l’arithmétique
Soit n  N, n ≥ 2.
 n se décompose en un produit de facteurs premiers
 cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.
Démonstration :
_ Existence :
n≥2
D’après le théorème des diviseurs premiers, n admet un diviseur premier p1.
Donc n = p1 × n1 avec 1 ≤ n1 < n
Si n1 = 1  n = p1, le théorème est démontré
Si n1 ≥ 2, n1 admet un diviseur premier p2
donc n1 = p2 × n2 avec 1 ≤ n2 < n1
Si n2 = 1  n1 = p2 et n = p1 × p2, le théorème est démontré
Si n2 ≥ 2, n2 admet un diviseur premier p3
donc n2 = p3 × n3 avec 1 ≤ n3 < n2
Si n3 = 1  n2 = p3 et n = p1 × p2 × p3, le théorème est démontré
Si n3 ≥ 2, n3 admet un diviseur premier p4
……………….
On itère le raisonnement tant que le quotient est ≠ 1.
On fait apparaitre une suite finie d’entiers décroissants strictement positifs.
Elle forme un produit de nombres premiers.
Au bout d’un nombre fini K d’opérations, on obtient :
nK = 1, on a alors n = p1 × p2 ×…× pK
_ Unicité : admise
PGCD de 2 entiers
Notation :
D(a) : ensemble des diviseurs d’un entier relatif a
D(a ; b) : ensemble des diviseurs communs à 2 entiers a et b
Diviseurs communs à 2 entiers
a et b  Z
Un diviseur commun à a et b est un entier relatif d qui divise à la fois a et b.
D(a ; b) = D(a)∩D(b)
Propriétés
a et b  Z
 D(a ; 0) = D(a) pour a  Z*
 D(a ; 1) = {-1 ; 1}
 D(a ; b) = D(|a| ; |b|) car D(a) = D(|a|)
 si b ≠ 0 et b/a alors D(b)  D(a)
et D(a ; b) = D(a)∩D(b)
donc D(a ; b) = D(b)
Propriété
a et b entiers relatifs non simultanément nuls.
 k  Z, D(a ; b) = D(a-kb ; b)
Cas particulier: D(a ; b) = D(a-b ; b)
Démonstration :
d  D(a ; b)
d/a et d/b
d/a-kb
d/b
d’où d  D(a-kb ; b)
donc D(a ; b)  D(a-kb ; b)
d’où D(a ; b) = D(a-kb ; b)
d  D(a-kb ; b)
d/a-kb et d/b
d/a
d/b
d’où d  D(a ; b)
donc D(a-kb ; b)  D(a ; b)
Cas particulier, pour k = 1: D(a ; b) = D(a-b ; b)
Corollaire
Si 0 < b ≤ a
D(a ; b) = D(b ; r), r étant le reste de la division euclidienne de a par b
Démonstration :
a = bq + r avec 0 < r ≤ b
d’où a-bq = r
d’après la propriété précédente :
D(a ; b) = D(a-bq ; b)
= D(r ; b)
= D(b ; r)
Définition
a et b entiers relatifs non tous les 2 nuls
L’ensemble des diviseurs communs à a et b est non vide, 1  D(a ; b), et il contient un nombre
fini d’éléments donc il admet un plus grand élément appelé :
PGCD de a et de b, noté PGCD(a ; b)
Remarque :
PGCD(a ; b) = PGCD(|a| ; |b|) donc on se ramène au cas où a et b sont positifs.
Propriétés
 si 0 < b ≤ a alors pgcd(a ; b) ≤ b
 pgcd(1 ; b) = 1
 b ≠ 0, pgcd(0 ; b) = |b|
Définition
a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a ; b) = 1
Propriété sur la réduction du pgcd
 a et b non simultanément nuls
pgcd(a ; b) = pgcd(a-b ; b)
= pgcd(a-kb ; b)  k  Z
 si 0 < b ≤ a
pgcd(a ; b) = pgcd(b ; r), r étant le reste de la division euclidienne de a par b
 si b est un diviseur positif de a
pgcd(a ; b) = b
Algorithme d’Euclide
Soit a et b tels que 0 < b ≤ a
1) calculer le reste dans la division euclidienne de a par b
2) si r = 0  pgcd(a ; b) = b
si r ≠ 0 remplacer a par b
remplacer b par r, et recommencer 1)
Le pgcd est le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide
Exemple :
Déterminer le pgcd de 240 et 36.
a=b×q+r
r = a – bq
240 = 36 × 6 + 24
24 = a – 6b
36 = 24 × 1 + 12
12 = b – (a – 6b)
24 = 12 × 2 + 0
12 = -a + 7b
pgcd(240 ; 36) = 12
Propriété
a et b entiers relatifs non tous les 2 nuls
 α  N*
PGCD(αa ; αb) = α PGCD(a ; b)
Remarque :
si α  Z*
PGCD (αa ; αb) = |α| PGCD(a ; b)
Corollaire
d = pgcd(a ; b)  a = da’ et b =db’
avec a’ et b’ premiers entre eux
Théorème de Bézout
Théorème
a et b 2 entiers relatifs ≠ 0
Si d = pgcd(a ; b) alors il existe u et v entiers relatifs tels que :
d = au + bv.
Propriété
L’ensemble des entiers au + bv (u et v  Z) est l’ensemble des multiples de d.
Démonstration :
Notation de la démonstration de l’algorithme d’Euclide.
a = bq0 + r0 d’où r0 = a – bq0 = a × 1 + b(–q0)
b = r0q1 + r1 d’où r1 = b – r0q1 = b – (a – bq0)q1
= a(–q0) + (1 + q0q1)b
On exprime chaque reste comme une combinaison linéaire entière de a et b jusqu’au
pgcd(a ;b).
Soit n multiple de d.
Il existe un entier k tel que n = kd.
De plus, il existe u et v entiers tels que d = au + bv.
Donc n = k (au + bv)
= k(au) + k(bv)
= a(ku) + b(kv)
n = aU + bV avec U et V entiers
Tout multiple de d s’écrit comme combinaison linéaire entière de a et b.
Remarques :
C’est un théorème d’existence mais pas d’unicité.
La réciproque est fausse.
Théorème de Bézout
a et b entiers relatifs ≠ 0
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel
que : au + bv = 1.
Démonstration :
Si a et b sont premiers entre eux d = 1 donc d’après la propriété précédente, il existe u et v
entiers tels que au + bv = 1.
Réciproquement, s’il existe u et v entiers tels que au + bv = 1, un diviseur commun à d et à a
et b divise au + bv donc divise 1, par suite d = 1 ou d = -1.
a et b sont donc premiers entre eux.
Théorème de Gauss
Théorème de Gauss
Soient a, b et c 3 entiers naturels avec a et b non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.
Démonstration :
D’après Bézout, il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tel que au + bv = 1 et donc tel que
cau + cbv = 1.
a/bc donc a/cbv donc a/cbv + cau
a/cau
a/c(au + bv)
a/c
Remarque :
Le théorème de Gauss permet de résoudre les équations diophantiennes (égalité entre deux
polynômes de plusieurs variables entières à coefficients entiers) de type ax + by = c où a, b et
c sont des entiers donnés et x, y entiers relatifs inconnus dans le cas où c est un multiple du
pgcd(a ; b).
Théorème :
a, b et c 3 entiers relatifs
(E) : ax + by = c, d’inconnus x et y
(E) admet des solutions si et seulement si c est un multiple du pgcd(a ; b)
PPCM
Définition
L’ensemble des multiples communs strictement positifs de a et de b admet un plus petit
élément (partie de N non vide car contient |ab|) noté :
m = ppcm(a ; b) et appelé plus petit multiple commun de a et de b.
Remarques :
_ ppcm(a ; b) = ppcm(b ; a)
= ppcm(|a| ; |b|)
Donc on se ramène au cas où a et b sont positifs.
_ a  N*
ppcm(a ; 1) = a
_ a  N* et b  N*
a/b  ppcm(a ; b) = b
Propriété
a et b  N*
L’ensemble des multiples communs à a et à b est l’ensemble des multiples du ppcm(a ; b).
Démonstration :
_ Soit M multiple de m, alors
a/m et m/M donc a/M
b/m et m/M donc b/M
M est multiple commun à a et b.
_ Soit M multiple commun à a et b.
M = mq + r avec 0 ≤ r < m
mq multiple de m
Donc d’après la propriété précédente, mq est multiple commun à a et b.
M est un multiple comme de a et b.
r = M – mq et r multiple de a et b
Supposons r non nul, r serait alors un multiple comme à a et b strictement positif et <m.
Absurde car en contradiction avec m = ppcm(a ; b).
Donc r = 0 et M = mq avec M multiple de m.
Décomposition en produit de facteurs premiers :
1008 = 24 ×33 × 7
504 = 22 × 33 × 5
m = 24 ×33 × 5 × 7 = ppcm(a ; b)
d = 22 × 33 = pgcd(a ; b)
Propriété
a et b  N*
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b
d×m=a×b
Démonstration:
d = pgcd(a ; b)
a = da’
b = db’ avec a’ et b’ premiers entre eux
Soit d × a’ × b’ entier.
da’b’ = ab’ donc da’b’ multiple de a
da’b’ = a’b donc da’b’ multiple de b
Soit M multiple commun de a et b.
M = αa = βb avec α et β entiers
M = αda’ = βdb’
αda’ = βdb’
αa’ = βb’ (si d ≠ 0)
Donc d’après le théorème de Gauss :
a’/β
Il existe un entier k tel que β = ka’.
M = βdb’
M = ka’db’
M = k(a’db’)
Tout multiple commun à a et b est multiple de da’b’.
Donc ppcm(a ; b) = da’b’ et m = ppcm(a ; b)
m = da’b’
md = da’db’
m×d=a×b
Propriété
a et b  Z*, et α  N*
ppcm(αa ; αb) = α ppcm(a ; b)
Congruences
Définition
Soit n entier naturel, n ≥ 2.
Dire que a est congru à b modulo n signifie que a – b est un multiple de n.
On note alors a ≡ b (n) ou a ≡ b mod(n) ou a ≡ b [n] (il existe k  Z tel que a – b = kn).
Propriété
n  N, n ≥ 2, a et b  Z
a – b multiple de n  a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Propriétés
n  N, n ≥ 2, a et r  Z
_ a ≡ 0 (n)  a multiple de n
_ a ≡ r (n)  r reste de la division euclidienne de a par n
0≤r<n
Remarque :
11 ≡ 2 (3) et 11 = 3 × 2 + 2
Mais 57 ≡ 43 (2) et 43 n’est pas le reste de la division euclidienne de 57 par 2.
Propriétés
n ≥ 2, a et b  Z
 a ≡ a (n)
 a ≡ b (n)  b ≡ a (n)
a et b sont congrus modulo n
 si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n)
réflexivité
symétrie
transitivité
Congruences et opérations
n  N, n ≥ 2 et a, b, a’, b’  Z
Si a ≡ a’ (n) et b ≡ b’ (n) alors
 a + b ≡ a’ + b’ (n) et a – b ≡ a’ – b’ (n)
 ab ≡ a’b’ (n)
  p  N ,ap ≡ a’p (n)
Démonstration :
a ≡ a’ (n) donc n/(a – a’)
b ≡ b’ (n) donc n/(b – b’)
 n/(a – a’) + (b – b’)
de même : n/(a – a’) – (b – b’)
n/(a + b) – (a’ + b’)
n/(a – b) – (a’ – b’)
donc a + b ≡ a’ + b’ (n)
donc a – b ≡ a’ – b’ (n)
 n divise aussi b(a – a’) + a’(b – b’)
n/ab – a’b’
ab ≡ a’b’ (n)
 récurrence
Remarque :
On peut multiplier chaque membre d’une congruence par un même entier relatif et on obtient
une nouvelle congruence :
a ≡ b (n) et c ≡ c (n)  ac ≡ bc (n).
Mais on ne peut pas remplacer une congruence comme on le fait pour une égalité.
Petit théorème de Fermat
Petit théorème de Fermat
Soient p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors ap-1 est divisible
par p : ap-1 ≡ 1 (p).
Culture générale :
Théorème énoncé par Fermat en 1640 et démontré en 1992 par Andrew Willes.
On l’appel petit par opposition au grand :
Lorsque n ≥ 3, l’équation xn + yn = an n’admet aucun triplet de solutions entiers
strictement positives.
Démonstration :
Voir polycopié
Corollaire
Soient p un nombre premier et a un entier naturel, alors ap – a est divisible par p ou ap ≡ a (p).
Démonstration :
On remarque que : ap – a = a (ap-1 – 1) donc ap-1 – 1/ap – a et si a est non nul a/ap – a.
Si a non multiple de p alors p/ap-1 – a et ap-1 – 1/ap – a donc par transitivité p/ap – a.
Si a multiple non nul de p alors p/a et a /ap – a donc par transitivité p/ap – a. Si a est nul, le
résultat est clairement vrai.
Remarque :
La réciproque fausse.