[2] René Eugène GÂTEAUX (1889-1914), jeune et talentueux
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Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel
_____________
A. Dérivabilité.
1. Limites et continuité.
2. Dérivabilité.
3. Dérivées partielles.
4. Fonctions de classe C1.
5. Inégalité des accroissements finis.
B. Dérivées d’ordre supérieur à 2.
1. Dérivées partielles, dérivées d’ordre 2.
2. Fonctions polynomiales, développements limités.
3. Formule de Taylor.
4. Extrema locaux, points critiques.
5. Fonctions homogènes.
6. Fonctions convexes.
7. Exemples d’équations aux dérivées partielles.
C. Fonctions implicites, inversion locale.
1. Ck-difféomorphismes
2. Théorème d’inversion locale.
3. Coordonnées curvilignes.
4. Théorème des fonctions implicites.
5. Démonstrations.
6. Extrema liés.
D. Introduction au calcul des variations.
Pierre-Jean Hormière
_____________
«Tous les mathématiciens savent que le passage de une à
plusieurs variables est un « saut » brusque, qui s’accompagne de
grandes difficultés et nécessite des méthodes toutes nouvelles. »
Jean Dieudonné
Le calcul différentiel et intégral sur les fonctions de plusieurs variables réelles a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d’une variable. Les dérivées partielles apparaissent en
1755 dans le traité Institutiones calculi differentialis d’Euler, et en 1747, chez Clairaut. La notation
pour désigner les dérivées partielles, par opposition au d de la dérivée ordinaire, fut préconisée par
Legendre en 1786, et vulgarisée par Jacobi en 1841. Au XIXème siècle, à la frontière de la physique
mathématique, l’analyse vectorielle fut développée par les anglais Stokes, Heaviside et Gibbs, tandis
que la géométrie différentielle était fondée et développée par les italiens Ricci et Levi-Civita. Mais il
fallut attendre les travaux de Weierstrass, Schwarz et Peano à la fin du XIXème siècle pour que soit
pris le tournant de la rigueur : Schwarz justifie en 1873 l’interversion des dérivées partielles, Peano
précise ce résultat et d’autres au moyen de contre-exemples. Gateaux et Volterra dégagent la notion
de dérivée directionnelle, tandis que Stolz et Fréchet donnent la définition moderne des fonctions
1
différentiables. Au début du XXème siècle, les concepts fondamentaux sont clairement dégagés, le
calcul infinitésimal à plusieurs variables peut alors se développer sur des bases solides : équations
aux dérivées partielles, calcul différentiel extérieur et intégration sur les variétés, surfaces minima,
topologie différentielle, théorie des singularités de Morse, Whitney et Thom (1925-1958).
On se limite ici aux espaces vectoriels normés de dimension finie, et même aux espaces Rn. Toutes
les normes y sont équivalentes, et définissent une seule topologie, la topologie usuelle. L’extension
aux espaces de Banach quelconques ne pose guère de problème : voir Cartan.
______________
A. Dérivabilité
1. Limites et continuité.
Les espaces E = Rn et F = Rp sont rapportés à leurs bases canoniques. Soit U une partie de E. Se
donner une fonction vectorielle f de U dans F équivaut à se donner p fonctions numériques sur U.
f : x = (x1, …, xn) y = (y1, …, yp) = f(x1, …, xn) = (f1(x1, …, xn) , … , fp(x1, …, xn)) .
Selon les conventions de l’algèbre linéaire, il vaudrait mieux noter les vecteurs en colonne.
Rappelons que si a = (a1, …, an) est un point de E adhérent à U, f admet une limite b en a ssi :
( > 0) ( > 0) (xU) ||x a|| ||f(x) b|| ,
pour l’une quelconque des normes de E et F, ou encore si, pour toute suite xk = (x1k, …, xnk) de
points de U tendant vers a = (a1, …, an), la suite f(x1k, …, xnk) tend vers b = (b1, …, bn).
Il revient au même de dire que chacune des fonctions f1, …, fn a une limite en a.
Si a est un point de U, f est continue en a ssi f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a.
Les exemples suivants montrent qu’il faut soigneusement distinguer continuité globale et
continuité séparée.
Exemples :
1) La fonction de Peano (1884) : f(x, y) =
2xy
sur R2{(0, 0)}, f(0, 0) = 0.
x² y²
f est bornée sur R2 car |f(x, y)| 1, et continue R2{(0, 0)} comme composée de fonctions continues.
Comme f(x, 0) = f(0, y) = 0 pour tous x et y, f est séparément continue en x et en y, en (0, 0). Mais
elle n’est pas continue en ce point car f(1/n , 1/n) = 1.
Plus généralement, pour tout vecteur e = (a, b) (0, 0), f(a, b) = 2ab 2ab quand 0.
a²b²
a²b²
Une autre façon de présenter cela est de passer en polaires : f(r.cos , r.sin ) = sin(2) sin(2)
quand r 0+. f est constante sur chaque droite issue de O.
Ses valeurs d’adhérence en (0, 0) sont tous les réels [1, +1].
Géométriquement, la surface d’équation z = f(x, y) est une réunion de droites horizontales pivotant
autour du segment vertical {(0, 0, z) ; 1 z +1}. C’est une surface réglée, appelée conoïde de
Plücker, que l’on peut représenter avec Maple.
2) Soit f(x, y) = 1 si (y 1)2 + x2 1 ou (y + 1)2 + x2 1 ou y = 0, f(x, y) = 0 sinon.
En quels points f est-elle continue ? discontinue ? f est-elle continue en O ? Montrer cependant que,
pour tout vecteur e = (a, b) (0, 0), f(a, b) est continue en 0.
Exercice 1 : Soient I et J deux intervalles de R, f : I R et g : J R, F(x, y) = f(x) + g(y).
A quelle condition F est-elle continue en (a, b)IJ ?
Exercice 2 : Soit (A, B) une partition de R2, f la fonction indicatrice de A. En quels points f de R2
est-elle continue ?
2
Exercice 3 : Soit f(x, y) = x2 si |x| |y|, f(x, y) = y2 si |y| |x|. f est-elle continue ?
Exercice 4 : Soit f(x, y) =
e y e x
si x y, f(x, x) = ex . Montrer que f est continue sur R2.
y x
Exercice 5 : Généralisation. Soit : I R une fonction de classe C1 sur l’intervalle I.
(y)(x)
Montrer que (x, y) =
y x
si x y, (x, x) = ’(x), est continue sur II.
Exercice 6 : Généralisation. Soit : I R une fonction définie sur l’intervalle I, a un point de I.
1) Montrer que, pour que soit dérivable en a, il faut et il suffit que (x, y) =
(y)(x)
y x
ait une
limite quand (x, y) (a, a) de façon que x a y, et x < y. Interprétation géométrique ?
2) est dite strictement dérivable en a, si (x, y) =
(y)(x)
y x
a une limite quand (x, y) (a, a)
de façon que x y. Cette limite est appelée dérivée stricte de en a. Interprétation ?
a) Montrer que si est strictement dérivable en a, est dérivable en a.
b) Examiner la réciproque, en considérant (x) = x2.sin 1 si x 0 , (0) = 0.
x
c) On suppose dérivable dans I. Montrer que est strictement dérivable en a ssi ’ est
continue en a.
Exercice 7 : Soit f : Rn Rn une fonction continue.
Montrer que la fonction qui à r 0 associe M(r) = sup{||f(x)|| ; ||x|| r} est continue.
Exercice 8 : Soient I = [a, b], J = [c, d], f : (x, y)IJ f(x, y)R une fonction continue.
1) Montrer que la fonction (x) = max yJ f(x, y) est définie et continue sur I.
2) Montrer que max yJ min xI f(x, y) min xI max yJ f(x, y).
3) Soient I = [0, 2] , J = [0, 4] , f(x, y) = [1 (x y + 1)]2. Vérifier les résultats précédents.
4) On suppose (x, y) f(x, y) > 0. Montrer que :
b
d
a
c
a) limn ( ( (
b d
b) limn (
a c
1/ n
f(x, y)n.dy)1.dx)
= min xI max yJ f(x, y).
1/ n
f(x, y)n.dx.dy)
= max (x,y)IJ f(x, y).
Exercice 9 : Soient n 2, et f : Rn R une fonction continue telle que, pour tout réel a, f1({a}) est
compact. Montrer que f admet un extremum global.
2. Dérivabilité.
Comment généraliser aux applications de Rn dans Rp la bonne vieille dérivée
f’(a) = limh0
f(a h) f(a)
h
des fonctions réelles de variable réelle ?
La variable est maintenant un vecteur de Rn : plus question de diviser par h ! Il faut donc modifier la
définition. Cela peut se faire de deux façons : soit l’on garde la variable vectorielle, et c’est le point
de vue le plus fécond ; soit l’on se ramène à la variable réelle, et l’on est conduit aux dérivées
partielles et directionnelles. Le lien entre les deux approches sera élucidé ensuite.
3
2.1. Dérivabilité.
Définition (Stolz, 1887, Fréchet, 1906)1 : Soient E et F deux espaces normés de dimensions finies, U
un ouvert de E, a un point de U. L’application f : U F est dite dérivable ou différentiable en a
s’il existe une application linéaire LL(E, F) telle que :
(D1) f(a + h) = f(a) + L(h) + R(h) , où le reste R(h) est un o(||h||) lorsque h tend vers 0 dans E.
Rappelons que, U étant ouvert, est un voisinage de a, donc a + hU pour ||h|| assez petit.
La condition (D1) équivaut encore à l’une des conditions :
(D2) limh0
f(ah) f(a) L(h)
=0.
h
(D3) ( > 0) ( > 0) hE ||h|| a + h U et ||f(a + h) f(a) L(h)|| .||h|| .
Enfin, f est dite dérivable ou différentiable dans U si elle est dérivable en tout point de U.
En termes imagés, une fonction f est différentiable en a si, au voisinage de a, elle se comporte à peu
près comme une application affine, à savoir x f(a) + L(x a).
Proposition 1 : Si f est dérivable en a, l’application L est unique.
On la nomme dérivée ou différentielle de f en a, et on la note f’(a), df(a) ou Df(a).
On note f’(a).h , plutôt que [f’(a)](h), l’image de h par f’(a).
Dans le cas particulier où F = R et où E est euclidien, f’(a) est une forme linéaire sur E, donc il existe
un vecteur, appelé gradient de f en a et noté grad f(a) ou f(a), tel que :
(hE) f’(a).h = ( grad f(a) | h ) .
Remarque : Il importe d’observer que f(a) et f’(a) n’appartiennent pas aux mêmes espaces : f’(a)
n’est pas un vecteur de F, mais un élément de L(E, F). Lorsque E = F = R, ou lorsque E = R, cette
distinction s’efface : f’(a) une homothétie de R, que l’on confond avec son rapport d’homothétie h
f‘(a).h ; de même, L(R, F) s’identifie naturellement à F.
Proposition 2 : Si f est dérivable en a, f est continue en a.
Remarque : La dérivabilité s’étend aux espaces normés de dimensions quelconques, mais il faut alors
supposer L continue de E dans F. La propriété précédente est alors préservée.
Proposition 3 : Soient U un ouvert de E, a un point de U.
1) Si f et g : U F sont dérivables en a, f + g l’est aussi, et ( f + g)’(a) = f’(a) + g’(a) .
2) Si f : U F et g : U G sont dérivables en a, et si B est une forme bilinéaire de FG dans H,
alors h : x B(f(x), g(x)) est dérivable en a, et :
h’(a) : u B(f’(a).u, g(a)) + B(f(a), g’(a).u) .
Preuve de 2) : h(a + u) = B(f(a + u), g(a + u)) = B(f(a) + f’(a).u + o(||u||) , g(a) + g’(a).u + o(||u||))
= B(f(a), g(a)) + B(f’(a).u, g(a)) + B(f(a), g’(a).u) + o(||u||),
car les 6 termes restants sont o(||u||) en vertu de la continuité de B (en dimension finie), et de
l’existence d’une constante K telle que (x, y) ||B(x, y)|| K||x||.||y||.
Proposition 4 : Soient E, F, G trois evn de dim finie, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f : U V
et g : V G. Si f est dérivable en a, et g dérivable en b = f(a), h = g o f est dérivable en a, et :
(g o f)’(a) = g’(f(a)) o f’(a) .
Preuve : Cela se démontre par composition des développements limités.
On a :
f(a + h) = f(a) + f’(a).h + o(||h||)
La différence des dates souligne cruellement l’écart entre les mathématiques françaises et allemandes à la fin
du XIXème siècle.
1
4
g(b + k) = g(b) + g’(b).k + o(||k||)
(g o f)(a + h) = g(f(a) + f’(a).h + o(||h||)) = g(b + k) , où k = f’(a).h + o(||h||).
= g(b) + g’(b).[ f’(a).h + o(||h||) ] + o(||k||) .
Or ||k|| = O(||h||), donc (g o f)(a + h) = g(b) + [g’(b) o f’(a)].h + o(||h||)]. Cqfd.
D’où
La prop 3, 2) découle de ce résultat, car B(f, g) est composée de x (f(x), g(x)) par B.
Il découle de ce résultat que les ouverts d’espaces normés de dimension finie sont les objets d’une
catégorie dont les flèches sont les applications différentiables f : U V.
Exemples d’applications dérivables.
1) Soit f une application affine : E F ; f est dérivable en tout point a, et f’(a) est constante et
égale à L, partie linéaire de f.
2) Soit q une forme quadratique : E R, de forme polaire B. On a :
q(a + h) = q(a) + 2.B(a, h) + q(h) ; comme q(h) = O(||h||2), on a q’(a) : h 2.B(a, h).
3) Soient E un espace euclidien, f : x ||x|| la norme euclidienne. f est différentiable sauf en 0, et
pour tout x 0, grad f(x) = x .
x
4) Soit f l’application : M M2 de Mn(R) dans lui-même. On a (A + H)2 = A2 + A.H + H.A + H2;
comme H A.H + H.A est linéaire et H2 = o(||H||), on a f’(A) : H A.H + H.A.
Exercice 1 : Soient c un vecteur de E, L une forme linéaire, B une forme bilinéaire symétrique, T une
forme trilinéaire symétrique sur E. Etudier la fonction f(x) = x + L(x) + B(x, x) + T(x, x, x).
Généraliser.
Exercice 2 : Etudier les applications M Mk de Mn(R) dans lui-même.
Exercice 3 : Montrer que l’application A det A est différentiable de Mn(R) dans R.
Quelle est sa différentielle en I ? en A ?
Exercice 4 : Montrer que l’application A A1 est différentiable de Gln(R) dans Mn(R).
Quelle est sa différentielle en I ? en A ?
Exercice 5 : Montrer que l’application A com A est différentiable de Mn(R) dans Mn(R).
Quelle est sa différentielle en I ? Montrer qu’elle est inversible.
Exercice 6 : Montrer que l’application A exp A est différentiable de Mn(R) dans Mn(R).
Quelle est sa différentielle en O ? En A ?
Exercice 7 : Montrer que l’application (A, B) A.B est différentiable Rm[X]Rn[X] Rm+n[X].
Matrice jacobienne ?
3. Dérivées partielles.
3.1. Dérivées partielles, dérivées directionnelles.
Définition : Soient U un ouvert de E, a un point de U, v un vecteur 0. On dit que la fonction f : U
F a une dérivée en a selon le vecteur v si la fonction de variable réelle t f(a + t. v ) est
dérivable en 0, autrement dit si limt0
f(at.v) f(a)
existe. On la note Dvf(a).
t
En particulier, si E = Rn, les dérivées de f dans la direction des vecteurs de la base canonique
s’appellent, si elles existent, dérivées partielles de f :
5
f(a1 ,...,ai t ,...,an) f(a1 ,...,ai ,...,an)
f
(a1, …, an) i f(a1, …, an) Di f(a1, …, an) = limt0
t
xi
Les dérivées partielles sont les dérivées des applications partielles associées à f. Pour les calculer, il
suffit de fixer toutes les variables sauf une et de dériver f par rapport celle-ci.
Dérivées directionnelles et dérivées partielles possèdent des propriétés de linéarité et de produit
faciles à énoncer et à établir.
f
f
, d’usage courant, présente des inconvénients. Tout d’abord,
n’est pas
xi
xi
f
un quotient. De plus, que signifie
(y, x) ? Est-ce la dérivée partielle de f par rapport à sa
y
Attention, la notation
première variable, que, par fantaisie, l’on note y, ou la dérivée partielle de f par rapport à sa seconde
variable, dans laquelle on a échangé ensuite y et x ? Les notations i f(a1, …, an) et Di f(a1, …, an)
n’ont pas ces inconvénients : D2 f (y, x) D1 f (y, x).
3.2. Dérivabilité et dérivées partielles.
Proposition : Si f est dérivable en a, f a toutes ses dérivées directionnelles, données par :
v 0 Dv f(a) = Df(a)( v ) = f’(a). v ,
et en particulier toutes ses dérivées partielles.
Preuve : Il suffit d’écrire : f(a + t. v ) = f(a) + f’(a).(t. v ) + o(||t v ||) = f(a) + t.f’(a). v + o(t).
Traductions :
1) Cas d’une fonction à valeurs réelles.
Soit U un ouvert de Rn et a = (a1, …, an)U, si f : U R est différentiable en a, alors
f
(a1, …, an), pour 1 i n, et :
xi
f
f
(hRn) f’(a).h =
(a1, …, an).h1 + … +
(a1, …, an).hn .
x1
xn
f
f
Si Rn est muni de sa structure euclidienne standard, grad f(a) = (
,…,
)(a1, …, an).
x1
xn
f a en a toutes ses dérivées partielles
2) Cas d’une fonction vectorielle.
Soit U un ouvert de Rn et a = (a1, …, an)U, f : U Rp donnée par :
f(x1, …, xn) = (f1(x1, … , xn), … , fp(x1, …, an))
f est différentiable en a ssi chaque fi l’est, et alors :
f1
f1
x (a)...xn (a)
1
f’(a) est l’application linéaire Rn Rp de matrice : Jf(a) = ... ... ... .
f p
f p
(a)... (a)
xn
x1
Cette matrice est appelée matrice jacobienne de f en a.
La réciproque de la proposition précédente est fausse, comme le montrent les exemples suivants :
f(x, y) =
2xy
si (x, y) (0, 0), 0 sinon.
x² y²
f(x, y) = 1 si x2 + (y 1)2 1, 0 sinon.
Ces exemples montrent que les implications :
6
f dérivable en a f a une dérivée en a selon tout vecteur f a ses dérivées partielles en a
f continue en a f est continue en a dans toute direction f est séparément continue en a
sont sans réciproque.
3.3. Comment montrer qu’une fonction f est différentiable en a ?
Si l’on est en un point litigieux, on examinera d’abord si f est continue, et admet toutes ses
dérivées partielles en a.
Ensuite, on pourra se demander si f admet des dérivées dans toutes les directions : si ce n’est pas le
cas, ou si l’application v Dv f (a) n’est pas linéaire, f n’est pas différentiable.
Mais mieux vaut se demander si on a, quand h tend vers 0 :
f(a1 + h1 , … , an + hn) = f(a1 , … , an)
+
f
f
(a1, …, an).h1 + … +
(a1, …, an).hn + o(||(h1, …, hn)||
x1
xi
Toutes les normes étant équivalentes, on choisira la plus adaptée au problème. Si oui, alors f est
différentiable, sinon, elle ne l’est pas.
Si l’on est en un point ordinaire, on fera apparaître f comme somme, produit, composée de
fonctions différentiables, ou on aura recours au critère suivant :
Théorème : Si f : U Rp a toutes ses dérivées partielles
f
(x1, …, xn), pour 1 i n, en tout
xi
point x de U, et si ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est différentiable en a.
Démonstration : Supposons p = 1. Le cas général s’y ramène aussitôt.
Si n = 2, écrivons f(a + h, b + k) f(a, b) = f(a + h, b + k) f(a, b + k) + f(a, b + k) f(a, b)
=h
f
f
(a + .h, b + k) + k
(a, b + ’.k),
x
y
où et ’[0, 1], en vertu du théorème des accroissements finis. Par continuité, on a :
f(a + h, b + k) f(a, b) = h [
f
f
(a, b) + (h, k)] + k [
(a, b) + ’(h, k)] . cqfd.
x
y
Si n est quelconque, écrivons de même :
f(a1 + h1, …,an + hn) f(a1, …, an) =
n 1
f(a ,...,a
i 1
1
,ai hi ,...,an hn ) f(a1 ,...,ai ,ai 1hi 1,...,an hn )
i 1
Appliquons la formule des accroissements finis à chacune des fonctions d’une variable :
x f(a1, …, ai1, x, ai+1 + hi+1, …,an+hn). Il vient :
i[0, 1] f(a1, …, ai1, ai + hi, …,an + hn) f(a1, …, ai, ai+1 + hi+1, …,an + hn) =
hi
f
(a1, …, ai1 , ai + i.hi , ai +1 + hi+1 , … ,an + hn) .
xi
Les dérivées partielles sont continues en a. On peut donc écrire :
f
f
(a1, …, ai1 , ai + i.hi , ai +1 + hi+1 , …, an + hn) =
(a, …, an) + i(h).
xi
xi
n
n
f
Par suite, f(a + h) = f(a) +
(a).hi + i (h).hi . Cqfd.
i 1 xi
i 1
Remarque : Ceci n’est qu’une condition suffisante, comme le montre la fonction f(x, y) = x2 + y2 si
(x, y)A, 0 si (x, y)B, où A et B sont deux parties complémentaires denses de R2.
7
f est différentiable en (0, 0), de différentielle nulle, car f(x, y) = o(||(x, y)||) mais ses dérivées
partielles n’existent pas ailleurs.
Au fond, ce théorème est l’analogue du théorème de la limite de la dérivée.
Exemple : étudions la différentiabilité de f(x, y) =
x3 y3
si (x, y) (0, 0) , f(0, 0) = 0.
x² y²
f a des dérivées partielles définies et continues en tout (x, y) (0, 0).
En anticipant un peu, f est même C sur R2 {(0, 0)}, car rationnelle.
f est continue en (0, 0), car si l’on passe en polaires |f(r cos , r sin )| = |r (cos3 sin3)| 2r.
f(x, 0) = x, f(0, y) = y, de sorte que
f
f
(0, 0) = 1,
(0, 0) = 1.
x
y
f a même des dérivées selon tout vecteur.
Si f était différentiable en (0, 0), on aurait au V(0, 0) :
f(h, k) = f(0, 0) +
f
f
(0, 0).h +
(0, 0).k + o(||(h, k)||) , c’est-à-dire f(h, k) = h k + o(||(h, k)||).
x
y
Prenons la norme euclidienne : a-t-on f(h, k) h + k = r.cos.sin.(cos sin) = o(r) quand r 0 ?
Non, car cos.sin.(cos sin) ne tend pas vers 0 quand r tend vers 0.
Exercice : Soit P un polynôme à deux variables, f(x, y) =
P(x, y)
si (x, y) ) (0, 0) , f(0, 0) = 0.
x² y²
Etudier f en (0, 0), en discutant : continuité séparée, continuité, dérivées partielles, dérivabilité.
Exercice : Etudier les propriétés en (0, 0) des fonctions :
f(x, y) =
y²
si x 0, 0 sinon
x
Exercice : Soit f(x, y) =
;
f(x, y) =
x5
si (x, y) (0, 0), 0 sinon.
(y x²)² x6
2xy
si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, n (an, bn) une bijection de N sur Q2.
x² y²
Etudier la fonction F(x, y) =
21 .f(xa , yb ) : définition, continuités globale et séparée, dérivées
n 0
n
n
n
partielles et différentiabilité.
3.3. Règle de la chaîne et applications.
Comment se traduit la formule (g o f)’(a) = g’(f(a)) o f’(a) en termes de dérivées partielles ?
1) Soit I un intervalle de R, U un ouvert de Rn, t g(t) = (x1(t), …, xn(t)) une fonction dérivable
de I dans U, et f : U R une fonction dérivable.
Alors h : t (fog)(t) = f(x1(t), …, xn(t)) est dérivable de I dans R, et :
d h(t) d f(x1(t), …, xn(t)) = f (x1(t), …, xn(t)). dx1 (t) + … + f (x1(t), …, xn(t)). dxn (t)
dt
dt
dt
dt
x1
xn
C’est la règle de la chaîne.
Avec des notations géométriques et euclidiennes :
d f(M(t))) = ( grad f (M(t)) | dM )
dt
dt
2) Soient U un ouvert de Rn, f : U Rp une fonction dérivable, notée f(x) = (f1(x), …, fp(x)),
I un intervalle de R, t g(t) = (x1(t), …, xn(t)) une fonction dérivable de I dans U.
Alors h : t (f o g)(t) = f(x1(t), …, xn(t)) = (h1(t), …, hp(t)) est dérivable de I dans R, et :
d h(t) = Jf(x1(t), …, xn(t)).t( dx1 (t) , … , dxn (t) )
dt
dt
dt
8
dh1 (t)
dt
... =
dhp(t)
dt
ou encore
f1
dx (t)
f1
x (x(t))...xn (x(t)) 1
1 ... ... ... . dt
...
f p
dx p(t)
f p
(x(t))... (x(t)) dt
xn
x1
3) Soient U un ouvert de Rp, f : U Rq une fonction dérivable, notée f(y) = (f1(y), …, fq(y)),
V un ouvert de Rn, g : V Rp une fonction dérivable, notée g(x) = (g1(x), …, gp(x)),
On suppose f(U) V, et on note h = f o g : xU (h1(x), …, hq(x)) Rq . Si g(a) = b, on a :
g1
f1
g1
h1
h1 f1
x1 (a)...xn (a) y1 (b)...y p (b) x1 (a)... xn (a)
... ... ... = ... ... ... . ... ... ...
g p
hq
f q
hq f q
g p
(a)... (a)
x (a)...x (a) y (b)...y (b)
n
xn
p
x1
1
1
Application aux courbes et aux surfaces.
1) Soit U un ouvert de R2, F une fonction dérivable U R. C = {(x, y)U ; F(x, y) = c} une
courbe de niveau de F. Supposons qu’un arc paramétré dérivable tI (x(t), y(t))U soit tracé dans
C. On a (tI) F(x(t), y(t)) = c. Dérivons :
d F(x(t), y(t)) = F (x(t), y(t)). dx (t) + F (x(t), y(t)). dy (t) = 0
y
dt
x
dt
dt
Le vecteur tangent à l’arc est normal, en chacun de ses points, au gradient de F.
2) Soit U un ouvert de R3, F une fonction dérivable U R. S = {(x, y, z)U ; F(x, y, z) = c} une
surface de niveau de F. Supposons qu’un arc paramétré dérivable tI (x(t), y(t), z(t))U soit tracé
dans C. On a (tI) F(x(t), y(t), z(t)) = c. Dérivons :
d F(x(t), y(t), z(t)) =
dt
F (x(t), y(t), z(t)). dx (t) + F (x(t), y(t), z(t)). dy (t) + F (x(t), y(t), z(t)). dz (t) = 0.
y
dt
x
z
dt
dt
Le vecteur tangent à l’arc est normal, en chacun de ses points, au gradient de F.
3) Soit U un ouvert de R2, M : (x, y)U M(x, y) = (X, Y)R2 une application dérivable,
donnée par X = f(x, y), Y = g(x, y).
Pour visualiser cette application, il pourra être utile de quadriller U par les verticales x = cte, et les
horizontales y = cte, puis dessiner l’ensemble image et le quadriller par les arcs paramétrés
X = f(x0, y), Y = g(x0, y) et X = f(x, y0), Y = g(x, y0).
f
g
(x , y),
(x , y)).
y 0
y 0
f
g
Le vecteur tangent au second arc est (
(x, y0),
(x, y0)).
x
x
Le vecteur tangent au premier arc est (
Si I est un intervalle de R, tI (x(t), y(t))U une fonction dérivable. On a :
(tI)
dM (x(t), y(t)) = M (x(t), y(t)). dx + M (x(t), y(t)). dy .
dt
y
dt
dt
x
Exemple : Etudions M : (x, y) M(x, y) = (X, Y), où X = ex.cos y , Y = ex.sin y .
Les verticales x = cte sont envoyées sur les cercles r = ex .
Les horizontales y = cte sont envoyées sur les demi-droites d’origine O.
9
Au fond, OM = ex. u (y) ; et M = OM , M = ex. v (y) .
y
x
Exercice 1 : Etudier M : (x, y) M(x, y) = (X, Y), où X = x2 y2 , Y = 2xy.
Exercice 2 : Etudier M : (x, y) M(x, y) = (X, Y), où X = x 2 + sin(x + y), Y = y 2 + cos(x y).
4) Soit U un ouvert de R2, M : (u, v)U M(u, v)R3 une application dérivable, I un intervalle
de R, tI (u(t), v(t))U une fonction dérivable. On a :
(tI)
dM (u(t), v(t)) = M (u(t), v(t)). du + M (u(t), v(t)). dv .
dt
dt
dt
u
v
Géométriquement, l’arc paramétré t M(u(t), v(t)) est tracé sur la surface ou nappe paramétrée =
(U, M, S), où S = M(U). Son vecteur tangent est combinaison linéaire des vecteurs M et M . Si
u
v
ces vecteurs sont indépendants, le plan affine M + Vect( M , M ) est appelé plan tangent à la
u
surface en M.
v
Exercice : Soient X et I deux intervalles de R, f : XI E une fonction continue admettant une
dérivée partielle en x continue. Si et sont de classe C1 : X I , alors :
F(x) =
(x)
(x)
f(x,t).dt est C1 et F’(x) =
(x)
(x)
f
(x,t).dt + ’(x).f(x, (x)) ’(x).f(x, (x)).
x
[ Indication : Considérer la fonction de trois variables (u, v, x) =
v
u
f(x,t).dt . ]
Une remarque importante pour finir : en l’absence d’une hypothèse de différentiabilité, les dérivées
partielles ne se composent pas en général. Autrement dit, la règle de la chaîne est une conséquence
de la différentiabiltié, et non de la seule existence de dérivées partielles.
Par exemple, soient f(x, y) = (x2 + y2 , x2 + y2) et g(u, v) = 0 si u.v = 0, 1 sinon.
f(0, 0) = (0, 0), et f et g ont leurs dérivées partielles en (0, 0).
Mais (g o f)(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) , 1 sinon ; g o f n’est même pas séparément continue en (0, 0) !
Cela signifie que la définition de la différentiabilité de Stolz-Fréchet est pertinente.
4. Fonctions de classe C1.
Définition : Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert de E. L’application f : U F est dite
de classe C1 si f est différentiable dans U et si l’application f’ : xU f’(x) L(E, F) est continue.
Proposition : Lorsque E = Rn et F = Rp, f est de classe C1 ssi f a toutes ses dérivées partielles
f
(x1, …, xn), 1 i n, définies et continues dans U.
xi
Preuve : Si f est C1, x f’(x) est continue de U dans L(E, F), donc x Jf(x) est continue de U dans
f
MR(p, n). Par suite, chaque fonction i est continue. Réciproquement, si f a des dérivées partielles
x j
continues dans U, f est dérivable dans U (th précédent) et x Jf(x) est continue, x f’(x) aussi.
Propriétés des fonctions de classe C1.
1) On a les inclusions d’espaces vectoriels : C1(U, F) D(U, F) C(U, F).
2) Si F = F1…Fp , f : xU f(x) = (f1(x),…, fp(x))F est C1 ssi chaque fi l’est.
3) Si B : F1F2 G est bilinéaire (continue) et si fiC1(U, Fi), alors B(f1, f2)C1(U, G)
10
4) Une composée de fonctions de classe C1 est de classe C1.
Définition : Un C1-difféomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de F est une bijection de
classe C1 ainsi que sa réciproque.
Exercice : Montrer que F(x, y) =
n1².exp( n(x² y²)) est définie et de classe C1 sur R².
n 1
Exercice : Soit F(x, y) =
xn
1 y
n 0
2n
. Domaine de définition et propriétés de F.
Remarque sur les fonctions de variable complexe.
Soit U un ouvert de C, f : U C une fonction de variable complexe.
f(z u) f(z)
existe, où u
u
Nous dirons que f est C1-holomorphe si, pour tout zU, f’(z) = limu0
tend vers 0 par valeurs complexes, et si la fonction f’(z) est continue dans U.
Etudions le lien entre cette notion et les notions précédentes. Si l‘on identifie C et R2, et si l’on
pose z = x + iy = (x, y) et f(z) = P(x, y) + i.Q(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), f devient une fonction d’un
ouvert U de R2, à valeurs dans R2.
La formule : f(z + u) = f(z) + f’(z).u + o(u)
s’écrit aussi, en posant u = h + ik , et f’(z) = a + ib :
P(x + h, y + k) = P(x, y) + a.h b.k + o(||(h, k)||)
Q(x + h, y + k) = Q(x, y) + b.h + a.k + o(||(h, k)||)
P
x
a
b
Cela montre que f est R-différentiable, et même de classe C , de jacobienne
=
b a Q
x
Q
Q
On en déduit les formules de Cauchy-Riemann : P =
et P =
.
x
y
y
x
1
P
y
Q .
y
Vues sous cet angle, les fonctions C1-holomorphes sont des fonctions C1 particulières.
Exercice : 1) On conserve les notations précédentes, montrer l’équivalence :
a) f est C1-holomorphe dans U ;
Q
Q
b) f est C1 dans U et vérifie les conditions de Cauchy-Riemann P =
et P =
.
x
y
y
x
1
2) On suppose f de classe C dans U, et de matrices jacobiennes inversibles en tout point.
Montrer l’équivalence :
a) f est C1-holomorphe ;
b) f est conforme, i.e. conserve les angles orientés des courbes : si deux arcs réguliers de classe
1
C sont tracés dans U et se coupent sous l’angle , leurs images par f également.
5. Inégalités des accroissements finis.
Les inégalités des accroissements finis forment un vaste sujet. Pour des raisons d’exhaustivité, nous
avons traité le sujet sous trois aspects différents. Les résultats du § 5.3. découlent de ceux du § 5.2.
mais sont établis par des méthodes intégrales, tandis que ceux du § 5.2. sont établis par des méthodes
différentielles (davantage dans l’esprit du chapitre, mais hors programme de taupe). Aussi, le lecteur
pressé d’arriver à l’essentiel étudiera les § 5.1 et 5.3.
On prendra soin de ne pas confondre les hypothèses de convexité et connexité.
11
Théorème : Soit E un evn, U un ouvert de E ; les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) U est connexe ;
ii) U est connexe par arcs ;
iii) Deux points a et b de U peuvent être joints par une ligne polygonale ;
iv) (Si E est de dim finie rapporté à des axes) Deux points a et b de U peuvent être joints par une
ligne brisée formée de segments parallèles aux axes.
v) Deux points a et b de U peuvent être joints par un arc de classe C1 ;
vi) Deux points a et b de U peuvent être joints par un arc de classe C .
5.1. Cas des fonctions à valeurs numériques.
Proposition 1 : Soit U un ouvert convexe de E, f différentiable U R. Si (a, b)U2 , b = a + h,
alors :
]0, 1[ f(a + h) f(a) = f’(a + .h).h =
n
f
x (a. h ).h
i
i 1
i
.
i
Le même résultat subsiste dès que le segment [a, b] est inclus dans U.
Corollaire 1 : On a : | f(b) f(a) | ||b a||.supx[a,b] |||f’(x)||| ,
||.|| étant une norme choisie sur E et |||.||| la norme associée sur son dual.
Corollaire 2 : Soit U un ouvert convexe, f différentiable U R.
Si (xU) |||f’(x)||| k, alors f est k-lipschitzienne. En particulier, si f’ = 0, f est constante.
Corollaire 3 : Soit U un ouvert de E, f : U R une application de classe C1 ; f est localement
lipschitzienne.
Proposition 2 : Soit U un ouvert connexe, f : U R. Les propositions suivantes sont équivalentes :
i) f admet dans U des dérivées partielles nulles : (i) (xU)
f
(x) = 0 ;
xi
ii) f est différentiable de différentielle nulle : (xU) f’(x) = 0 ;
iii) f est constante.
5.2. Cas des fonctions à valeurs vectorielles.
La prop. 1 ne s’étend pas, car le dépend de chaque fonction coordonnée fi (1 i p) de f .
Théorème 3 : Soient I = [a, b] un segment de R, F un espace de Banach, f : I F une fonction
vectorielle et g : I R une fonction numérique, continues dans I, dérivables dans ]a, b[, et telles
que (xI) ||f'(x)|| g'(x). Alors : ||f(b) f(a)|| g(b) g(a).
Indication de preuve : Pour tout > 0, soit J = {xI ; t[a, x] ||f(t) f(a)|| g(t) g(a) + .(t a)}
Montrer que c’est un ouvert-et-fermé de I. On pourra aussi montrer que :
K = {xI ; ||f(x) f(a)|| g(x) g(a) + .(x a)} a pour borne supérieure b.
L’idée est que la majoration ||f(t) f(a)|| g(t) g(a) + .(t a) se propage de a à b.
Corollaire 1 : Si f est continue dans I, dérivable dans ]a, b[ et telle que x]a, b[ ||f'(x)|| M .
Alors ||f(b) f(a)|| M.(b a).
Corollaire 2 : Si f est continue dans I, dérivable dans ]a, b[ et si f' = 0, alors f est constante.
Théorème 4 : Soit U un ouvert convexe de E, f différentiable U F.
Si (a, b)U2, alors :
|| f(b) f(a) || ||b a||.supx[a,b] |||f’(x)||| ,
|| . || étant une norme choisie sur E et ||| . ||| la norme subordonnée dans L(E, F).
Corollaire : Soit U un ouvert convexe, f différentiable U F.
Si (xU) |||f’(x)||| k, alors f est k-lipschitzienne.
En particulier, si f’ = 0, f est constante.
12
Proposition 5 : Soit U un ouvert connexe, f différentiable U F. Si f’ = 0, f est constante.
Exercice : Soient E un espace normé, U un ouvert connexe de E, d la distance induite sur U.
On appelle longueur d’une ligne brisée de E la somme des longueurs des segments qui la composent.
Si a et b sont deux points de U, on note dU(a, b) la borne inférieure des longueurs des lignes brisées
d’origine a et d’extrémité b contenues dans U.
1) Montrer que dU est une distance dans U, dite distance géodésique, équivalente à d.
2) Soit f : U F une application différentiable telle que (xU) |||f’(x)||| k. Montrer qu’alors :
(a, b)U2 ||f(b) f(a) || k.dU(a, b).
5.3. Cas des fonctions de classe C1.
Dans les énoncés svts, on suppose f de classe C1 afin de pouvoir utiliser des méthodes intégrales.
Théorème 5 : Soit U un ouvert convexe de E, f de classe C1 : U F (dim E = n, dim F = p).
Ayant choisi des normes sur E et F, si l’on munit L(E, F) de la norme subordonnée, on a :
|| f(b) f(a) || ||b a||.supx[a,b] |||f’(x)||| .
Preuve : Considérons la fonction : t[0, 1] (t) = f((1 t).a + t.b)F.
Elle est de classe C1, et vérifie ’(t) = f’((1 t).a + t.b).(b a).
D’où :
f(b) f(a) = (1) (0) =
1
1
0
0
'(t).dt = f'((1t).at.b).(ba).dt .
Il reste à prendre la norme et majorer.
Corollaire 1 : Soit U un ouvert convexe, f de classe C1 : U F.
Si xU |||f’(x)||| k, alors f est k-lipschitzienne. En particulier, si f’ = 0, f est constante.
Corollaire 2 : Soit U un ouvert de E . Toute application f : U F de classe C1 est localement
lipschitzienne.
Proposition 6 : Soit U un ouvert connexe, f de classe C1 : U F. Les prop svtes sont équivalentes :
i) f admet dans U des dérivées partielles nulles : (i) (xU)
f
(x) = 0 ;
xi
ii) f est différentiable de différentielle nulle : (xU) f’(x) = 0 ;
iii) f est constante.
Le résultat suivant, laissé en exercice, généralise le théorème 5 :
Théorème 7 : Soit U un ouvert de E, f : U F une fonction de classe C1, : [0, 1] U un arc de
classe C1, de longueur L() =
1
'(t) .dt , reliant a = (0) à b = (1) . Alors :
0
|| f(b) f(a) || L().supx([0,1]) ||| f’(x) ||| .
__________
Exercices et problèmes
Exercice 1 : Mn,p(R) est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire (M | N) = tr(tM.N).
Soit BSp(R). On définit f , g : Mn,p(R) R par f(A) = tr(A.B.tA) et g(A) = det(A.B.tA) .
Déterminer les différentielles et les gradients de f et de g en tout AMn,p(R).
Exercice 2 : Soit C un convexe fermé de l’espace euclidien standard Rn.
13
1) Montrer que f(x) = d(x, C)2 est une fonction de classe C1 sur Rn et que f(x) = 2 (x pC(x)), où
pC(x) est la projection convexe de x sur C.
[ Indication : Noter que f(x + h) f(x) ||h||2 + 2.(x pC(x + h) | h). ]
2) Quel est le gradient de g(x) = 1 [ ||x||2 d(x, C)2 ] ?
2
Exercice 3 : Deux réciproques.
Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert de E, a un point de U, f une fonction U F.
1) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
i) f est continue en a ;
ii) Pour tout intervalle I contenant 0 et toute fonction : I U continue en 0 et telle que (0) = a,
f o est continue en 0.
2) On suppose f continue et l’on se donne LL(E, F) ; montrer l’équivalence des propriétés
suivantes :
i) f est dérivable en a et f’(a) = L ;
ii) Pour tout intervalle I contenant 0 et toute fonction continue : I U dérivable en 0 et telle
que (0) = a, f o est dérivable en 0 et (f o )’(0) = L(’(0)) .
[ Indications : Pour ii) i), on raisonnera par l’absurde, et l’on montrera qu’alors ( > 0) (n) hn
||hn|| 1/n et ||f(a + hn) f(a) L(hn)|| > ||hn||. On montrera qu’on peut extraire de (hn) une suite
(h(n)) telle que ||h(n)|| soit strictement décroissante et h(n)/||h(n)|| u. On définira alors un
chemin tel que (0) = a, (||h(n)||) = a + h(n) (n) , et que (f o )’(0) L(’(0)). ]
Exercice 4 : Différentiabilité au sens de Gâteaux. 2
Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert de E, a un point de U. L’application f : U F est
dite différentiable au sens de Gâteaux en a (en abrégé G-différentiable) si :
(DG) Il existe LL(E, F) telle que (hE) limt0
f(ath) f(a)
= L(h).
t
f est dite G-différentiable dans U si elle l’est en tout point de U.
1) Si f est G-différentiable en a, montrer que L est unique ; on la note f’G(a).
2) Montrer les implications :
f est différentiable en a f est G-différentiable en a f a des dérivées en a dans toute direction.
Que dire des réciproques ? La G-différentiabilité en a implique-t-elle la continuité en a ?
3) On suppose U convexe, f G-différentiable dans U. Soient (a, b)U2 ; si t f’G(t.a + (1t).b) est
continue de [0, 1] dans L(E, F) , montrer que || f(b) f(a) || ||b a||.supx[a,b] |||f’G(x)||| .
4) Si f est continue, G-différentiable dans U et si f’G est continue sur U, montrer que f est de classe
C dans U.
1
Exercice 5 : Soit E et F deux evn de dimension finie, U un ouvert de E, f : U F.
Soit LL(E, F). Quelles sont les fonctions dérivables dans U telles que (xU) f’(x) = L.
Exercice 6 : Interprétation du gradient.
2
René Eugène GÂTEAUX (1889-1914), jeune et talentueux mathématicien français, tué au front en 1914. Ses
travaux portent sur l’analyse fonctionnelle et le calcul différentiel. Ses papiers inédits, déposés à l’Académie
des sciences, furent publiés en 1919 par Paul Lévy dans le Bulletin de la SMF. Certains d’entre eux, consacrés
au mouvement brownien, anticipent les travaux de Norbert Wiener.
14
Soit E un espace euclidien de dim n, f : E R une fonction de classe C1 ; pour R on note S la
surface de niveau d’équation f(x) = . Soient aE tel que grad f(a) 0, et un arc paramétré de
classe C1 avec (0) = a, ||’(t)|| = 1 pour tout t.
1) Montrer que le vecteur grad f(a) donne la direction « de plus grand pente » de f en a : on
observera, selon le choix de , les variations de la fonction f o au voisinage de t = 0.
2) On suppose ’(0) colinéaire à grad f(a) et de même sens. Montrer que, pour suffisamment
proche de = f(a), il existe un unique t voisin de tel que le point (t) = x appartienne à S. Donner
un équivalent de ||x a|| lorsque tend vers 0. 3
Exercice 7 : Interprétation du déterminant jacobien.
L’espace Rn est muni d’une norme quelconque ; on note Br la boule ||x|| r. Soient U et V deux
ouverts de contenant 0, f un C1-difféomorphisme U V tel que f(0) = 0 (pour simplifier).
1) Pour ]0, 1[, montrer qu’il existe R > 0 tel que, pour tout xBR ||f’(0)1(f(x)) x|| .||x||.
2) Montrer qu’il existe R’ > 0 tel que, pour 0 r R’, (1 ).f’(0)(Br) f(Br) (1 + )f’(0)(Br).
3) Soit m la mesure de Lebesgue (volume) de Rn. On rappelle que si X est une partie fermée de Rn
et A une application linéaire, m(A(X)) = |det A|.m(X).
Montrer que :
|Det f’(0)| = lim r0
m(f(Br ))
.
m(Br )
Exercice 8 : Limites d’applications de classe C1.
1) Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert connexe de E, (fn) une suite de fonctions de
classe C1 : U F telles que :
a) Il existe aU tel que la suite (fn(a)) converge ;
b) La suite (f’n) : U L(E, F) converge uniformément sur chaque borné de U vers g : U L(E, F).
Alors la suite (fn) converge simplement dans U, et uniformément sur chaque partie convexe bornée
de U, vers une fonction f : U F de classe C1, telle que f’ = g.
On pourra appliquer l’inégalité des accroissements finis à fp fq sur [a, a + h].
2) Application : Montrer que A exp A est de classe C1 dans Mn(R).
Exercice 9 : Soit f : Rk R une application de classe C1 et minorée.
Montrer qu’il existe une suite (xn) d’éléments de telle que lim grad f(xn) = 0.
[ Indication : Pour tout > 0, soit g(x) = f(x) + .||x|| ; montrer que g atteint son minimum en un
point x ; en déduire f(x) f(x) + .|| x x || pour tout x, puis ( grad f(x) | d) .||d|| pour tout
vecteur d ; et conclure. ]
Exercice 10 : Lois de groupe de classe C1 sur R.
3
Cet exercice fait le lien entre le gradient des mathématiciens et le gradient des géographes ou des météorologues : sa direction, orthogonale aux courbes de niveau, est celle dans laquelle la fonction (altitude,
pression, etc.) augmente le plus vite lorsqu’on voyage à vitesse donnée (prise égale à 1 ici), et sa norme est
inversement proportionnelle à l’écartement des courbes de niveau. Ces résultats sont le point de départ des
méthodes de gradient à pas constant et pas optimal esquissées en § B.6. Laissons le dernier mot à André Gide :
« Il est bon de suivre sa pente, pourvu que ce soit en montant. » (Les Faux-Monnayeurs, p. 1215)
15
Soit f : (x, y)R2 x yR une loi de groupe de classe C1 sur R, d’élément neutre e.
On note 1 f et 2 f ses deux dérivées partielles.
1) Montrer que : (x, y)R2 2 f (x y, e) = 2 f(x, y). 2 f(y, e). En déduire 2 f (y, e) > 0 .
2) Montrer qu’il existe un C1-difféomorphisme : R R tel que :
(x, y)R2 (x y) = (x) + (y).
[ Indication : Supposant le problème résolu, montrer qu’on a nécessairement (x) = a
x
e
dt , où
2 f(t,e)
a est une constante 0 ; examiner la réciproque.]
Ainsi, l’addition est, à difféomorphisme près, la seule loi de groupe de classe C 1 sur R ; en
particulier, une telle loi est nécessairement commutative. Ce serait faux pour R2, etc. comme le
montre l’exemple : (x, y) (x’, y’) = (x + x’, y + ex .y’).
Exercice 11 : Une excursion en dimension infinie.
Soit I = [0, 1] ; F = C(I, R) est muni de la norme uniforme ||f||, et E = {fC1(I, R) ; f(0) = 0} de la
norme || f ||1 = sup |f’(t)|. Montrer que l’application : E F définie par (f) = f’ + f2 est de classe
C1 sur E et calculer sa différentielle en tout point.
__________
B. Dérivées d’ordre supérieur à 2
1. Dérivées partielles d’ordre 2, fonctions de classe Ck.
Soit U un ouvert de E, f : U F. Les dérivées successives f’(a), f’’(a), f’’’(a), … de f en a sont
éléments de L(E, F), L(E, L(E, F)), L(E, L(E, L(E, F))), etc. Leur interprétation n’est pas facile.
Aussi, pour des raisons pédagogiques, nous préférons commencer par les dérivées partielles.
1.1. Fonctions de classe Ck.
Soit E = Rn, ou un evn de dimension n rapporté à un repère (e1, …, en), U un ouvert de E, f : U F.
Supposons que f admette une dérivée partielle en xi dans U :
Di f(x) =
Si en a,
f(xh.ei ) f(x)
f
(x) = i f(x) = limh0
.
h
xi
f
admet une dérivée partielle en xj, i.e. dans la direction de ej, on note cette dérivée :
xi
f
f
(ah.e j ) (a)
²f
x
xi
Dji f(a) = Dj(Dif)(a) =
.
(a) = limh0 i
h
x j xi
[Pour calculer ce taux d’accroissement, il faut au moins supposer
f
définie sur un intervalle [a
xi
.ej, a + .ej] ( > 0) inclus dans U. Ici, on a supposé qu’elle est définie dans U.]
Il y a au plus n2 dérivées partielles secondes en a. Plus généralement, on définit de proche en proche
des dérivées partielles d’ordre p selon (i1, …, ip) :
p f
f
)...)
Dip…i1f =
= (...(
xi1
xip...xi1 xip
Il y a au plus np dérivées partielles d’ordre p en un point de U.
16
Définition : La fonction f est dite de classe Cp dans l’ouvert U de E si elle admet toutes ses dérivées
partielles d’ordre k p, et si ces dérivées sont continues. Elle est dite de classe Cp dans la partie A de
E si elle est la restriction à A d’une fonction de classe Cp définie dans un ouvert contenant A.
Exemple : La fonction f(x, y) =
P(x, y)
, P polynôme, est de classe C sur R² car rationnelle.
x² y²
Il en est de même pour l’application A A1 de Gln(R) dans Mn(R).
Exercice 1 : Soient I un intervalle ouvert de R, : I R une fonction de classe C. Montrer que la
(y)(x)
fonction définie par : (x, y) =
y x
si y x , (x, x) = ’(x) , est de classe C sur II.
pq
Calculer
(x, x) . Si (x) = sin x, tracer la courbe d’équation (x, y) = 0 ; extremums de .
x py q
Exercice 2 : Soit f : R2 R définie par : f(x, y) = exp( x²)exp( y) si y x2, f(x, y) = ey si y = x2.
x² y
Montrer que f est de classe C.
Exercice 3 : fonctions dse de variable réelle.
1) Soit (amn) une suite double de complexes. On considère la fonction f(x, y) =
a
.xm.y n .
mn
m 0 n 0
m
n
On suppose la suite (|amn|.R .R’ ) bornée pour R > 0 et R’ > 0.
Montrer que f est définie, continue, et de classe C dans l’ouvert ]R, R[]R’, R’[
2) Applications : a) Soit f(x) =
a .x
m
m
une série entière de rayon de convergence R.
m 0
Que dire de la fonction f(x, y) =
(y)(x)
y x
b) Que dire de la fonction f(x, y) =
sur ]R, R[]R, R[ ?
1
?
1 x y xy
1 si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. Montrer que f est C dans R².
x² y²
1
2) Montrer que g(x, y) = exp
si x2 + y2 < 1, g(x, y) = 0 si x2 + y2 1, est C dans R².
x² y²1
Exercice 4 : 1) Soit f(x, y) = exp
Exercice 5 : Soit f(x, y) = 0 si x.y = 0 , f(x, y) =
exp( 1 )
x².y²
si x.y 0. Montrer que f est C
exp( 14 )exp( 14 )
x
y
dans R2 {(0, 0)}, admet toutes ses dérivées partielles nulles en (0, 0), mais est discontinue en (0, 0).
Cet exemple montre que le bon concept n’est pas celui de fonction dérivable à l’ordre p, c’est-àdire admettant des dérivées partielles jusqu’à l’ordre p, mais celui de fonction de classe Cp.
Propriétés des fonctions de classe Cp.
1) L’ensemble Cp(U, F) des fonctions de classe Cp de U dans F est un espace vectoriel.
2) On a les inclusions C(U, F) C1(U, F) … Cp(U, F) … C(U, F).
3) Si F = Rp et f = (f1, …. fp), f est de classe Cp ssi chaque fi l’est.
4) f est de classe Cp+q ssi f est de classe Cp et si ses np dérivées partielles sont de classe Cq.
5) Si fCp(U, F) , gCp(U, G), et B : FG H est bilinéaire, h = B(f, g)Cp(U, H).
17
6) Si fCp(U, F), gCp(V, G), U ouvert de E, V ouvert de F, f(U) V, gofCp(U, G)
1.2. Interversion des dérivations.
« Or il est facile de voir que les différentielles de cette espèce conservent les mêmes valeurs quand
on intervertit l’ordre suivant lequel les différentiations relatives aux diverses variables doivent être
effectuées », affirme Cauchy dans son Résumé de Cours de 1823. Cette propriété constatée et admise
depuis longtemps, ne fut démontrée qu’en 1873 par l’allemand H. A. Schwarz, qui en précisa les
hypothèses.
Théorème de Schwarz4 (1873) : Soit U un ouvert de R2, f : U F vérifiant :
i) Les dérivées partielles
f f ²f
²f
,
,
et
existent dans U ;
x y xy
yx
²f
²f
et
sont continues en (a, b).
xy
yx
²f
²f
Alors :
(a, b) =
(a, b).
xy
yx
ii)
Preuve 5 : Posons (h, k) = f(a + h, b + k) f(a, b + k) f(a + h, b) + f(a, b).
On a (h, k) = k(a + h) k(a) , où k(x) = f(x, b + k) f(x, b).
En vertu du théorème des accroissements finis,
(h, k)]0, 1[
f
f
(a + .h, b + k)
(a + .h, b) ]
x
x
²f
²f
=hk
(a + h, b + k) = h k [
(a, b) + ’] ,
yx
yx
(h, k) = h ’k(a + .h) = h [
(h, k)]0, 1[
²f
en (a, b).
yx
²f
De même, en échangeant les rôles de x et y, (h, k) = h k [
(a, b) + ’’] .
yx
²f
²f
Supposons h et k 0. Il vient, après simplification |
(a, b)
(a, b)| 2. Cqfd.
xy
yx
où |’| pour |h| et |k| , par continuité de
On trouvera en exercice le premier contre-exemple, donné par Schwarz lui-même. Un contreexemple plus simple fut donné par Peano en 1884. En voici le schéma :
Soit f une fonction de la forme f(x, y) = x y g(x, y), où g(x, y) est bornée (mais pas nécessairement
continue) dans un voisinage de (0, 0).
f
f(x, y) f(0, y)
(0, y) = limx0
= limx0 y g(x, y).
x
x
²f
La dérivée de cette expression par rapport à y est
(0, 0) = limy0 limx0 g(x, y) ,
yx
²f
à condition que cette limite existe. De même on aura :
(0, 0) = limx0 limy0 g(x, y) .
xy
Pour cette fonction, on a :
Si l’on choisit une fonction g(x, y) telle que limy0 limx0 g(x, y) limy0 limx0 g(x, y) ,
alors , on aura
²f
²f
(0, 0)
(0, 0).
xy
yx
4
Après avoir enseigné à Halle, Zurich et Göttingen, Hermann Amandus SCHWARZ (Silésie, 184 3 - Berlin,
1921) succéda en 1892 à Karl Weierstrass à l’université de Berlin. Il a fait des travaux sur les fonctions
analytiques et les applications conformes, les équations aux dérivées partielles, la théorie du potentiel et les
surfaces. Contrairement à Weierstrass, Schwarz s’opposa à Cantor.
5
Cette preuve est piochée dans Valiron. Il paraît qu’elle heurte les puristes d’aujourd’hui. Je m’en fous !
18
x² y²
pour (x, y) (0, 0) g(0, 0) = 0.
x² y²
C’est le cas de la fonction g(x, y) =
On a limx0 g(x, y) = 1 pour tout y 0 , et limy0 g(x, y) = 1 pour tout x 0, de sorte que :
²f
²f
(0, 0) = 1
(0, 0) = 1.
yx
xy
Exercice : représenter graphiquement la surface z = f(x, y).
Exercice : contre-exemple de H. A. Schwarz (1873).
Soit f la fonction définie par : f(x, y) = x2.Arctan
y
y2.Arctan x si xy 0 , 0 si xy = 0.
x
y
²f
²f
(0, 0)
(0, 0).
xy
yx
²f
²f
Exercice : Montrer qu’on a encore
(0, 0)
(0, 0) pour les deux fonctions suivantes :
xy
yx
x y
f(x, y) = y2 sin x si y 0, f(x, y) = 0 si y = 0 ; f(x, y) = x y sin( .
) si x y, 0 si x = y.
y
2 x y
Montrer que
Remarque : de Schwarz à Schwartz… Les distributions de Schwartz ne présentent pas ces
inconvénients : elles sont indéfiniment dérivables, et toutes les dérivées partielles commutent !
Conséquences du théorème de Schwarz.
Soit U un ouvert de Rn, fCp(U, F). f a n dérivées partielles d’ordre 1, n2 dérivées partielles
d’ordre 2, …, np dérivées partielles d’ordre p.
Mais, par applications répétées du théorème de Schwarz, on peut permuter les dérivées partielles :
les opérateurs Di =
xi
se composent jusqu’à l’ordre p, et commutent, de sorte qu’il suffit de dire
combien de fois on dérive par rapport à chacune des variables x1, x2, …, xn :
p f
, où k1 +…+ kn = p.
x1k1...xnkn
n(n1)
²f
Il y a
dérivées partielles d’ordre 2 :
(i j) , et plus généralement
2
xi .x j
card{(k1, …, kn) ; k1 + … + kn = p} = Cnn1p 1 dérivées partielles d’ordre p au lieu de np.
En particulier les dérivées partielles Di =
sont des endomorphismes de C(U, F), qui comxi
mutent, et leurs composées engendrent une sous-algèbre commutative de L(C(U, F)).
Définition : On appelle opérateur différentiel un endomorphisme de C(U, F), ou une application
linéaire Cp+q(U, F) Cp(U, F), qui est combinaison linéaire de composées de dérivées partielles.
Exemples d’opérateurs différentiels.
1) L’opérateur d’Euler E f =
f
n
x .x
i
i 1
2) L’opérateur de Riemann R f =
, qui sert à étudier les fonctions homogènes.
i
f
f
+ i.
, qui sert à étudier les fonctions holomorphes.
x
y
²f ²f
+
est un opérateur de C(U, R), ou Cp+2(U, R) Cp(U, R) (U
x² y²
²f
²f
ouvert de R2). Plus généralement si U est ouvert de Rn, le laplacien de f est f =
+…+ 2 .
2
xn
x1
3) Le laplacien f =
19
Les fonctions à laplacien nul sont appelées harmoniques.
Exercice : Soit f(z) =
a .z
n
un polynôme ou une série entière de rayon de convergence R. Si l’on
n
n0
considère f comme une fonction d’un ouvert de R2 dans R2, montrer que f est harmonique.
4) Le dalembertien f =
² f
² f
² f
²f
²f
, f=
( 2 + … + 2 ),
x ²
xn
t ²
t ²
x1
L’équation f = 0 s’appelle équation des ondes.
5) L’opérateur de la chaleur, ou de diffusion F f =
² f
f
f
²f
²f
, Ff=
( 2 + … + 2 ).
x ²
t
t
xn
x1
L’équation F f = 0 s’appelle équation de la chaleur.
1.3. Dérivées d’ordre 2.
Soit U un ouvert de E = Rn, f : U F = Rp, une fonction de classe Ck. Les dérivées successives
de f, f’, f’’, f’’’, … sont des fonctions de U dans L(E, F), L(E, L(E, F)), L(E, L(E, L(E, F))), etc. Ce
sont donc des objets abstraits, que les considérations précédentes vont permettre d’interpréter
facilement.
Proposition : Notons Lk(E, F) l’espace des applications k-linéaire de Ek = E…E dans F. Alors,
L(E, L(E, F)) est canoniquement isomorphe à l’espace L2(E, F) ,
L(E, L(E, L(E, F))) est canoniquement isomorphe à L3(E, F) , etc.
Preuve : Soit L(E, L(E, F)). Pour tout xE, (x)L(E, F). Pour tout yE, notons B(x, y) =
(x)(y). B est une application bilinéaire de EE dans F. La bilinéarité en y découle de ce que (x)
est linéaire, la bilinéarité en x découle de ce que est linéaire.
Réciproquement, si B est bilinéaire de EE dans F, notons, pour tout x de E, (x) = B(x, .).
(x) est élément de L(E, F) et est linéaire de E dans L(E, F).
Se donner un élément de L(E, L(E, F)) équivaut donc à se donner un élément de L2(E, F). La
correspondance B est bijective, et elle-même linéaire. Généralisation immédiate.
Revenons à f, et limitons-nous pour simplifier au cas où F = R. Le cas général s’y ramène aussitôt,
en prenant les composantes de f. Pour tout x de U :
f’(x) est une forme linéaire sur E, à savoir f’(x) : h
f
n
x (x).h
.
i
i 1
i
f’’(x) est élément de L(E, L(E, R)). C’est donc une forme bilinéaire sur E.
Je dis que cette forme bilinéaire est f’’(x) : (h, k)
²f
n
x x (x).h .k
i
i, j 1
i
j
.
j
Elle est symétrique, en vertu du théorème de Schwarz, et on la confond avec la forme quadratique
associée : f’’(x) : (h, h)
n
²f
x x (x).h .h
i
i, j 1
i
j
.
j
La matrice de cette forme quadratique s’appelle matrice hessienne de f en x : Hf(x) = [
²f
(x) ]
xi x j
f’’’(x) est élément de L(E, L(E, L(E, R)). C’est donc une forme trilinéaire sur E.
Je dis que cette forme trilinéaire est f’’’(x) : (h, k, l)
n
3 f
(x).h.k.l .
x x x
, , 1
20
Elle est symétrique en vertu du théorème de Schwarz, et on la confond avec la forme ternaire
associée f’’’(x) : (h, h, h)
3 f
(x).h.h.h .
, , 1 x x x
n
Justifions les formules concernant f’’(x). Notons (f’’(x).h).k = f’’(x).(h, k).
f’(x + h).k = (f’(x) + f’’(x).h + o(||h||)).k = f’(x).k + f’’(x).(h, k) + o(||(h, k)||2).
f
(xh).k j =
j 1 x j
n
=
n
(
j 1
n
f
²f
(x).k j
(x).hi .k j o( (h,k) ²))
x j
i 1 xi x j
Il reste à identifier les parties linéaires.
Notation symbolique : Si l’on note T l’opérateur différentiel Tf =
f
n
h .x
i
i 1
, alors :
i
f’(x).h = Tf(x) , f’’(x).(h, h) = T2f(x) , f’’’(x).(h, h, h) = T3f(x), etc.
Exemples de dérivées secondes
De même qu’on peut calculer les dérivées f’(x) en faisant des développements limités vectoriels
d’ordre 1, sans passer par les dérivées partielles, on peut calculer les dérivées secondes par des
développements à deux termes.
Exercice : Soit E un espace euclidien, de produit scalaire (x | y) et de norme ||x||.
Trouver les dérivées secondes des applications suivantes : f(x) = (x | x) = ||x||2
q(x) = (u(x) | x), où u est un endomorphisme autoadjoint de E
h(x) = ||x|| si x 0.
2. Fonctions polynomiales, développements limités.
2.1. Fonctions polynomiales.
Définition 1 : Une fonction polynomiale de Rn dans R est une fonction de la forme :
P(x1, …, xn) =
...a
i1
i2
in
i1 ... in
.x1i1 .x2i2 ...xnin
où (ai1, …, a in) est une famille de réels indexée par Nn, à support fini.
Enonçons sans démonstration quelques propriétés simples de ces fonctions :
1) L’ensemble P(Rn, R) des fonctions polynomiales est une sous-algèbre intègre de F(Rn, R) et les
monômes x1k1 .x2k2 ...xnkn en forment une base.
2) On peut présenter ces polynômes comme des polynômes en xn, dont les coefficients sont des
polynômes en (x1, …, xn1).
3) Plus symétriquement, on a la somme directe P(Rn, R) = d 0 Hd(Rn, R),
où Hd(Rn, R) est l’espace des polynômes homogènes de degré d, i. e. vérifiant :
P(t.x1, …, t.xn) = td.P(x1, …, xn) .
Autrement dit, P(x1, …, xn) s’écrit de manière unique :
P(x1, …, xn) = P0(x1, …, xn) + P1(x1, …, xn) + P2(x1, …, xn) + etc. (somme à support fini)
cij.xi .x j + etc.
= a + b1.x1 + … + bn.xn +
i j
H0 est l’espace des constantes, H1 l’espace des formes linéaires sur Rn, H2 l’espace des formes
quadratiques sur Rn, H3 l’espace des formes ternaires, etc.
21
Hd(Rn, R) est de dimension Cnn11d et a pour base les monômes x1k1 .x2k2 ...xnkn tels que
k
i
= d.
Définition 2 : Une fonction f : Rn Rp est dite polynomiale si chacune de ses composantes l’est.
Si E et F sont deux R-ev de dim finie, une fonction f : E F est dite polynomiale s’il existe une
base (a1, …, an) de E et une base (b1, …, bp) de F telles que x =
n
p
i 1
j 1
xi .ai , f(x) = Pj (x1 ,...,xn).bj ,
n
où chaque Pj est une fonction polynomiale : R R.
Un changement de base conserve le caractère polynomial, ainsi que le degré. Ainsi, cette notion est
intrinsèque, et l’on écrira avec d’évidentes notations P(E, F) = d 0 Hd(E, F).
Les fonctions polynomiales sont bien sûr de classe C.
Exemples : Les applications suivantes sont toutes polynomiales homogènes :
a) Les applications M Mk de Mn(R) dans lui-même, ainsi que M com M.
b) L’application A det A de Mn(R) dans R .
c) L’application (A, B)Rm[X]Rn[X] A.BRm+n[X].
2.2. Développements limités.
Définition 3 : Soit U un voisinage ouvert de O dans E, f : U F.
On dit que f(x) = O(||x||N) au V(O) si r > 0 k > 0 xU ||x|| < r ||f(x)|| k.||x||N .
On dit que f(x) = o(||x||N) au V(O) si > 0 r > 0 xU ||x|| < r ||f(x)|| .||x||N .
Ces notions sont indépendantes des normes choisies sur E et F (en dim. finie).
Exemple : Si P est polynomiale homogène de degré d, P(x) = O(||x||d) et P(x) = d(||x||d1) au V(O).
Définition 4 : Soit aU, ouvert de E, f : U F. On dit que f admet en a un dlN s’il existe une
fonction polynomiale PN : E F de degré N telle que f(a + u) = PN(u) + o(||u||N) quand u 0.
Propriétés des développements limités :
a) Il y a unicité du dlN(a) s’il existe ;
b) Si f et g ont un dlN(a), .f + .g aussi ;
c) Si f et g ont un dlN(a), [f, g] aussi pour tout produit bilinéaire continu [ , ] ;
d) Si f a un dlN(a) et g un dlN(b), où b = f(a), gof aura un dlN(a).
e) S’il est facile de souligner la parenté entre développements limités d’une et de plusieurs
variables, il importe de souligner une différence essentielle, que voici :
dans un dlN d’une fonction d’une variable f(a + h) = a0 + a1.h + … + aN.hN + o(hN),
chacun des termes est négligeable devant le précédent ;
dans un dlN d’une fonction de plusieurs variables : f(a + h) = P0(h) + P1(h) + … + PN(h)+ o(||h||N),
les termes successifs sont resp. O(1), O(||h||), …, O(||h||N), mais ne sont pas comparables entre eux
directement. Ainsi, f(x, y) = 1 + x + y2 + (x + y)3 + (x +
y 4
) est son propre développement limité en
2
(0, 0), mais aucun terme n’est négligeable devant le précédent.
2.3. Exemples.
Exemple 1 : DL3(0, 0) et DL2( , ) de f(x, y) = sin x + sin y + cos(x + y).
6
f(x, y) = x
6
3
x
y3
(x y)2
+ o(x3) + y
+ o(y3) + 1
+ o((x + y)3)
3!
3!
2!
22
= 1 + x + y 1 (x2 + 2.x.y + y2) 1 (x3 + y3) + o(||(x, y)||3).
2
6
f( + h, + k) = 1.cos(h) + 3 .sin( h) + 3 .sin( k) + 1.cos(k) + 1.cos(hk) 3 .sin( hk)
2
6
6
2
2
2
2
2
= 3 1 (h2 + h.k + k2) + o(||(h, k)||2).
2 2
Exemple 2 : DL4(0, 0) de g(x, y) = exp(x.sin y).
x.y 3
On trouve g(x, y) = 1 + x.y + 1 (x2.y2
) + o(||(x, y)||4).
3
2
Avec Maple :
> f:=(x,y)->ln(1+sin(x+y)):mtaylor(f(x,y),[x,y],4);
1
1
1
1
1
1
xy x2y x y2 x3 y x2 y2 x y3
2
2
6
2
2
6
> g:=(x,y)->sin(x)+sin(y)+cos(x+y):
> mtaylor(g(x,y),[x,y],4);
1
1
1
1
1xy x2y x y2 x3 y3
2
2
6
6
> mtaylor(g(Pi/6+h,Pi/6+k),[h,k],4);
3 1 2 1
1
1
1
h k h k2 3 k h 2 3 k2 h
2 2
2
2
4
4
3. Formule de Taylor.
Soit U un ouvert de E = Rn, f une application U F = Rp, de classe Ck+1.
Soient a et b = a + h deux points de U tels que le segment [a, b] soit inclus dans U.
La fonction : t[0, 1] (t) = f(a + t.h)F est de classe Ck+1 , et vérifie :
’(t) = f’(a + t.h).h =
n
f
x (ath).h
i
i 1
i
n
’’(t) = f’’(a + t.h).(h, h) =
²f
x x (ath).h .h
i
i, j 1
’’’(t) = f’’’(a + t.h).(h, h, h) =
i
j
j
3 f
(ath).h.h .h , etc.
, , 1 x x x
n
Appliquons-lui la formule de Taylor avec reste intégral :
(1) = (0) + 1 ’(0) + 1 ’’(0) + … + 1 (k)(0) +
1!
2!
k!
(1t)k (k 1)
0 k! (t).dt . Cela s’écrit :
1
1(1t)k
f (k 1)(ath).(h,...,h).dt
f(a + h) = f(a) + f’(a).h + 1 f’’(a).(h, h) + … + 1 f(k)(a).(h, …, h) +
2!
k!
0
k!
En d’autres termes :
f(a1 + h1, …, an + hn) = f(a1, …, an) +
f
(a1 ,...,an).hi + 1
2
x
i
i 1
n
n
3 f
+ 1
(ath).h.h .h + … +
3! , , 1 x x x
n
²f
i, j 1
i
x x (a ,...,a ).h .h
1
n
i
j
j
(1t)k (k 1)
0 k! f (ath).(h,...,h).dt .
1
23
En pratique, on ne calcule pas les dérivées partielles, on fait un développement limité de f à l’ordre
voulu à l’aide des méthodes esquissées dans le § précédent. Et, sous les hypothèses précédentes, ce
développement est taylorien.
Problème : formules de Taylor « sans reste ».
Soit E = Rn, U un ouvert de E, convexe ou du moins étoilé en a = (a1, … , an). Montrer que :
1) Pour toute fonction fCk(U, R), il existe n fonctions g1, … , gnCk1(U, R) telles que :
n
(xU) f(x) = f(a) +
(x a ).g (x) .
i
i
i
Elles vérifient (i) gi(a) =
i 1
f
(a) .
xi
k
2) Pour toute fonction fC (U, R), il existe n2 fonctions gijCk2(U, R) telles que :
n
f
(x) + 1 (xi ai ).(x j a j ).gij(x) .
2 i, j 1
xi
i 1
²f
Ces fonctions vérifient : (i, j) gij(a) =
(a) .
xi x j
n
(xU) f(x) = f(a) +
(xi ai ).
3) Plus généralement, pour toute fonction fCk(U, R), il existe des fonctions gCkr(U, R), avec
= (1, …, n), i = k et :
r 1
(xU) f(x) = f(a) +
h1!P
h 1
h, f, a
r! (x a )1...(xn an)n.g (x) ,
(xa) + 1
r! 1... n r 1!... n! 1 1
où Ph,f,a(x a) est le h-ème polynôme de Taylor de f en a.
Ces fonctions vérifient : () g(a) =
r f
(a) .
x11...xnn
4. Extrema locaux, points critiques.
4.1. Définitions, condition nécessaire du premier ordre.
Définition 1 : Soient E un evn, A une partie de E, f une fonction numérique A R, aA.
On dit que f admet en a :
un maximum global si xA f(x) f(a) ;
un maximum global strict si xA x a f(x) < f(a) ;
un maximum local s’il existe un voisinage V de a tel que xV A f(x) f(a) ;
un maximum local strict s’il existe un voisinage V de a tel que xVA x a f(x) < f(a).
Mêmes définitions pour les minima.
Définition 2 : Soient E un evn de dim finie, U un ouvert de E, f une fonction différentiable U R.
On appelle point critique tout aU tel que f’(a) = 0, lieu critique l’ensemble des points critiques,
valeurs critiques les f(a) où a est point critique de f.
Théorème 1 : Soit E un evn de dim finie, U un ouvert de E, f une fonction différentiable U R.
Si f admet en a un extremum local, f’(a) = 0.
Autrement dit, les extrema locaux sont à chercher parmi les points critiques de f.
Preuve : Soit u un vecteur 0 de E. La fonction de variable réelle : t f(a + t u ) est définie dans
un voisinage de 0, dérivable, et admet en 0 un extremum local. Par suite, ’(0) = f’(a). u = 0. cqfd.
En pratique, si E = Rn, l’application f s’écrit f(x) = f(x1, … , xn), les points critiques s’obtiennent en
résolvant le système :
f
f
(a1, …, an) = … =
(a1, …, an) = 0 .
x1
xn
24
Comme pour les fonctions d’une variable, le théorème ne s’applique que si f est différentiable dans
tout U. Enfin, la condition f’(a) = 0 est nécessaire et non suffisante : penser à x x3 dans R.
Le théorème 1 est d’un maniement délicat lorsque f est définie sur un domaine non ouvert, ou
lorsqu’on cherche ses extrema globaux et non locaux. On combinera alors le théorème 1 avec des
arguments topologiques (compacité, convexité, etc.), ou on évitera carrément de l’utiliser si l’on a
affaire à un problème de moindres carrés (voir chapitre Espaces euclidiens).
Exercice : Soit P un polygone convexe compact plan. Maximiser f(x, y) = a.x + b.y + c dans P .
4.2. Conditions du second ordre.
Rappelons que si f est une fonction réelle de classe C2 sur un ouvert U contenant a,
f
f
(a1, …, an).h1 + … +
(a1, …, an).hn ,
x1
xn
²f
f’’(a) désigne la forme quadratique h
(a).hi.hj
x
1 i, j n
i x j
f’(a) désigne la forme linéaire h
Théorème 2 (Lagrange, 1759) : Soient U un ouvert de E , f : U R une fonction de classe C2, a un
point de U.
i) Conditions nécessaires.
Si f admet en a un minimum local, alors f’(a) = 0 et la forme quadratique f’’(a) est positive ;
Si f admet en a un maximum local, alors f’(a) = 0 et la forme quadratique f’’(a) est négative.
ii) Conditions suffisantes. Réciproquement, si f’(a) = 0 et :
si f’’(a) est définie positive, alors f admet en a un minimum local strict ;
si f’’(a) est définie négative, alors f admet en a un maximum local strict ;
si f’’(a) prend des valeurs > 0 et < 0, a n’est pas extremum local de f ;
les cas où f’’(a) est positive ou négative sans être « définie » sont indéterminés.
Preuve : i) Supposons que a soit un minimum local de f. Soit h un vecteur 0 de E.
La fonction de variable réelle : t f(a + t.h) est définie dans un voisinage de 0, de classe C² et
admet en 0 un extremum local. Par suite, ’(0) = f’(a).h = 0 et ’’(0) = f’’(a).(h, h) 0.
Cela découle du dl taylorien (t) = (0) + ’(0).t + ’’(0). t² + o(t2) ; idem si a est max local.
2
ii) Supposons f’(a) = 0 et f’’(a) définie positive. Alors q = f’’(a) est un produit scalaire : la norme
euclidienne associée est équivalente à la norme de Rn :
, > 0 hE .||h||2 q(h) .||h||2
Alors
f(a + h) = f(a) + f’(a).h + 1 .f’’(a).(h, h) + ||h||2.(h)
2
= f(a) + 1 .f’’(a).(h, h) + ||h||2.(h) f(a) + ||h||2.( + (h))
2
r > 0 ||h|| r |(h)| . Alors f(a + h) > f(a) pour 0 < ||h|| r.
2
4
iii) Supposons que f’’(a).(h, h) > 0 et f’’(a).(k, k) < 0.
Le raisonnement de i) appliqué aux fonctions de variable réelle : t f(a+t.h) et : t f(a+t.k)
montre que f(a) est un minimum local strict dans la direction a + R.h, et un maximum local strict
dans la direction a + R.k.
Remarques : 1) En ii), si l’on munit Rn du produit scalaire standard, les constantes et sont resp.
la plus petite et la plus grande valeur propre de l’endomorphisme auto-adjoint positif u tel que q(h) =
(u(h) | h).
2) Attention ! dans la preuve donnée en ii), il ne suffirait pas de vérifier que f(a) est minimum de f
dans toutes les directions, comme l’a montré Peano (cf. exercice final).
25
3) Ce théorème donne une condition nécessaire de minimum local, et une condition suffisante de
minimum local strict. Les hypothèses de la condition suffisante sont plus fortes que la conclusion de
la condition nécessaire. Un peu de réflexion montre qu’il ne peut en être autrement : il n’y a aucune
raison pour que l’examen des parties linéaire et quadratique suffise dans tous les cas.
En pratique, si n = 2, on a, avec les notations de Monge :
f’(a, b).(h, k) = p.h + q.k et f’’(a, b).(h, k) = r.h2 + 2.s.h.k + t.k2 .
où : p =
Si
Si
Si
Si
f
² f
f
²f
²f
(a, b) = 0 , q =
(a, b) = 0 , r =
(a, b) , s =
(a, b) , t =
(a, b) .
x
x ²
y
xy
y²
r > 0 et r.t s2 > 0 , (a, b) est un minimum local strict ;
r < 0 et r.t s2 > 0 , (a, b) est un maximum local strict ;
r.t s2 < 0 , (a, b) est un point col ;
r.t s2 = 0 , on ne peut conclure.
Les cas d’indétermination recouvrent des situations fort diverses, qu’on peut préciser en visualisant
les courbes de niveau de f :
f(x, y) = x2 + y4
(0, 0) min local strict
2
4
f(x, y) = x y
(0, 0) min local strict
2
f(x, y) = x
(0, 0) min local large
auge de cochon
2 2
f(x, y) = x .y
(0, 0) min local large
auge de cochon en croix
2
2
f(x, y) = x.(x 3.y )
(0, 0) point col
selle de singe
2
4
f(x, y) = x y
(0, 0) point col
Gabrielle d’Estrées
2
3
f(x, y) = x + y
f(x, y) = exp(
1 ).sin 1
x² y²
x² y²
ondulations
Exercice : Déterminer la nature des points critiques, et les extrema locaux des fonctions :
f(x, y) = 2.x3 + 3.exp(2.y) 6.x.exp(y) ;
f(x, y) = x3.y3.(1 x y) ;
f(x, y) = x² cos y. 4 x² ;
2
f(x, y) =
1 x y
;
1 x² y²
f(x, y) = x4 + y4 4.(x y)2 ;
f(x, y) = sin x + sin y + cos(x + y) ;
f(x, y) = exp(x + y) + exp(3 x) + exp(3 y) ;
f(x, y, z) = x² + x.y.z y + z ;
2
f(x, y, z) = x.exp y + y.exp z + z.exp x .
N
Exercice : Soient (xi, yi)1iN N points du plan. Minimiser f(a, b) =
(y a.x b)² .
i
i
i 1
Exercice : Dans le plan affine euclidien, on considère un triangle ABC. Un point M du plan se
projette resp. en P, Q, R sur les côtés BC, CA, AB du triangle.
On note f(M) = MP2 + MQ2 + MR2 , g(M) = MP + MQ + MR , h(M) = MP.MQ.MR.
Minimiser et maximiser f, g et h dans le plan et sur la plaque triangulaire ABC.
Exercice : Extrema locaux et globaux dans R*+2 des fonctions :
f(x, y) =
x.y
(1 x).(1 y).(x y)
f(x, y) = x.ln y y.ln x
f(x, y) = 1 + 1 + x.y
x
y
f(x, y) = x + y ln x ln y
Exercice : Soit q une forme quadratique définie positive sur Rn euclidien standard.
26
Déterminer les extrema absolus sur Rn de f(x) = q(x).exp(||x||2). Calculer Rn f(x).dx.
n
n
x1 ).(1 x ) dans (R*+)n.
Exercice : Soit n 2 ; extrema globaux de f(x1, …, xn) = (
i
i 1
i
i 1
Exercice : Déterminer les extrema globaux suivants :
max et min de |sin z| sur |z| 1 ;
max et min de f(x, y) = 2x3 x2 y2 + 5 sur la plaque rectangulaire ABCD, où :
A(0, 1) , B(1, 1) , C(1, 1) , D(0, 1) ;
max et min de f(x, y) = x2/2 + y2/2 2.x.y x 2.y sur K = {x 0 , y 0 , x + y 1} ;
max et min de f(x , y) = x3 + y2 sur x2 + y2 9 ;
max et min de f(x , y) = x4 + y4 2.(x y)2 sur x2 + y2 4 ;
max et min de f(x, y) = x2 + xy + y2 3x 3y + 1 sur [0, 3]2 ;
max et min de f(x, y) = x y + x3 + y3 sur [0, 1]2 ; généraliser ;
max et min de f(x, y) = (y x)2 + 6.x.y sur 1 x y 1 ; commentaires ?
Exercice : Le chameau sans selle (R. Davies, 1988).
Montrer que la fonction f(x, y) = (x2y x 1)2 (x2 1)2 a deux maxima locaux stricts, et
aucun autre point critique. Représenter la surface z = f(x, y) avec Maple.
Exercice : D’autres fonctions bizarres.
1) Montrer que la fonction f(x, y) = 2x2 + 3 e2y 6 x ey est C1, possède un unique point critique,
celui-ci étant un minimum local strict, mais n’a pas de minimum global. Essayer de représenter cette
fonction. Cette situation peut-elle arriver pour les fonctions d’une variable ?
2) Dans le même ordre d’idées, étudier la fonction g(x, y) = x2.(1 + y)3 + y4 .
Exercice : Soit f(x, y) = x.(1 y) si y x , f(x, y) = y.(1 x) si y > x .
1) Montrer que f est continue sur R2 ; en quels points admet-elle des dérivées partielles ?
2) Soit K = [0, 1]2 ; extrema globaux de f sur K.
Exercice : On cherche à calculer m = min{f(x, y) ; (x, y)[1, 1]2}, où f(x, y) =
1
(tx)(t y).dt .
1
1) Montrer que f est lipschitzienne, puis justifier la définition de m.
2) Soit T = {(x, y) ; 1 x y 1}. Montrer que, sur T, f est un polynôme.
3) Calculer m, et décrire l’ensemble des points où m est atteint.
Exercice : encore un contre-exemple de Peano (1884).
Soit f(x, y) = (y x2).(y 2x2). Montrer que l’origine est un point critique, n‘est pas un minimum
local, mais est un minimum local sur toutes les droites passant par l’origine.
Par cet exemple, Peano a pointé une erreur dans le livre de Serret, dans la preuve de ii).
Exercice : Soit n 2, fC1(Rn , R) telle que
f(x)
+ quand ||x|| +.
x
Montrer que la fonction x grad f(x) est surjective.
Exercice : 1) Soient A une partie de Rn, f : A R une fonction continue vérifiant :
i) aFr(A) lim xa, xA f(x) = + ;
ii) Si A est non borné, lim xA, ||x||+ f(x) = + .
Si F est un fermé tel que FA , f est minorée sur FA et AF f() = inf xAU f(x).
27
2) Application : Soit A = {(x, y)R2 ; x > y}. Montrer que f(x, y) = x2 + y2 ln(x y) est minorée
et atteint son inf sur A en un point unique que l’on déterminera.
5. Fonctions homogènes.
Définition : Soit U un cône de Rn , i.e. (t > 0) (xU) t.x U, un réel.
Une fonction f : U R est dite homogène de degré si (t > 0) (xU) f(t.x) = t.f(x).
Exemples :
les polynômes homogènes de degré dN ;
a.x²2.b.x.y c.y²
est homogène de degré 0 sur son domaine ; plus
x² y²
(u(x) x)
généralement un quotient de Rayleigh f(x) =
sur un espace euclidien E privé de 0.
x²
la fonction f(x, y) =
la fonction f(x, y) =
2.x y est homogène de degré 1/2 sur son domaine.
Propriétés :
1) Les fonctions homogènes de degré sur U forment un espace vectoriel ;
2) Le produit d’une fonction homogène de degré et d’une fonction homogène de degré sur le
cône U est une fonction homogène de degré + .
3) Si f est une fonction de classe Ck, homogène de degré sur le cône ouvert U, ses dérivées
partielles
f
sont de classe Ck1, et homogènes de degré 1.
xi
4) Théorème d’Euler. Soit f une fonction de classe C1 sur le cône ouvert U. f est homogène de
degré si et seulement si
n
x
x = (x1, …, xn)U
i
.
i 1
f
= .f(x) .
xi
[Ind. : considérer la fonction (t) = f(t.x1, …, t.xn).]
6. Fonctions convexes.
Dans ce §, U désigne un convexe d’un R-evn E de dim. finie, supposé ouvert à partir de la prop. 2.
Définition : Une fonction f : U R est dite convexe si :
(x, y)U2 [0, 1] f(.x + (1).y) .f(x) + (1).f(y) .
f est dite strictement convexe si :
(x, y)A2 x y ]0, 1[ f(.x + (1).y) < .f(x) + (1).f(y) .
f est dite concave (resp. strictement concave) si f l’est, et affine si elle est convexe et concave.
Proposition 1 : Si f est convexe, on a les inégalités de convexité :
p
p
(x1, ... , xp)U
(1,... , p)p
f(
i . xi )
i 1
p
. f(xi).
i
i 1
De plus, si f est strictement convexe et si les i sont tous > 0, alors :
p
f(
. xi )
i
i 1
p
=
. f(xi)
i
i 1
x1 = ... = xp .
Proposition 2 : Soit f une fonction différentiable U R. Pour que f soit convexe dans U, il faut et il
suffit que : (aU) (hE) a + h U f(a + h) f(a) + f'(a).h ,
28
autrement dit, que le graphe de f soit au-dessus de chacun de ses hyperplans tangents.
Proposition 3 : Soit f une fonction de classe C2 : U R.
i) Pour que f soit convexe, il faut et il suffit que, pour tout aU, f"(a) soit une forme quadratique
positive, i.e. (hE)
f"(a).(h, h)
1 i, j n
²f
(a).hi.hj 0.
xi x j
ii) Pour que f soit strictement convexe, il suffit que, pour tout aU, f"(a) soit une forme quadratique
définie positive.
Proposition 3 : Soit f une fonction différentiable sur U.
i) Si f est convexe, tout point critique est un minimum (global large) de f ;
ii) Si f est strictement convexe, tout point critique de f est le minimum global strict.
Exercice 1 : On cherche les triangles ABC inscrits dans le cercle unité et rendant maximum le
produit AB.BC.CA. Montrer que cela équivaut à maximiser la fonction :
f(a, b, c) = 8.sin ba .sin ca .sin cb sous les contraintes 0 a b c 2.
2
2
2
Conclure.
Exercice 2 : Rn est ici muni de son produit scalaire usuel. Soit U = {x ; ||x|| < 1}.
Si aRn on pose fa(x) = ln (1 ||x||2) + (a | x).
1) Montrer que fa est C , strictement convexe et coercive dans U (c’est-à-dire que fa(x) +
quand x tend vers un point frontière de U). Minimiser fa dans U.
2) Minimiser fa(x) sur Ka = {x ; ||x|| ½ et (a | x) 0}. Commencer par a = 0.
Exercice 3 : programmation quadratique sans contraintes.
Soient E un espace euclidien de dim n, A un endomorphisme symétrique de E, b un vecteur de E, c
un réel.
1) Montrer que J(x) = 1 .(Ax | x) (b | x) + c est une fonction C. Déterminer son gradient J(x)
2
et sa hessienne 2J(x) = f"(a).
2) Montrer que J est convexe ssi A est positive, strictement convexe ssi A est définie positive.
3) On suppose désormais A définie positive.
i) Montrer que J est « coercive » , i e. lim||x|| + J(x) = + .
1
ii) Montrer que J atteint son minimum en un point unique de E, et que = A .b.
iii) Déterminer la nature des lignes de niveau de J.
4) Algorithme de gradient à pas constant.
On considère l’algorithme suivant, où > 0 : x0 E , xk+1 = xk .J(xk).
Montrer que pour 0 < < 0, où 0 est une valeur seuil à déterminer, l’algorithme converge vers .
En déduire une méthode itérative de résolution de A.x = b.
Exercice 4 : Soit Sn++(R) le cône convexe ouvert des matrices symétriques définies positives d’ordre
n. On se propose de montrer que f : A ln(det A) est strictement concave sur Sn++(R).
Pour cela on fixe ASn++(R), HSnn(R), et l’on considère la fonction de variable réelle :
: t ln det(A + t.H) .
1) Vérifier que est définie sur un intervalle ouvert I contenant 0, et que :
(tI)
(t) (0) = Erreur ! Signet non défini.
n
ln( 1t ) ,
i
i 1
29
où les i sont les valeurs propres de A1/2.H.A1/2
2) En déduire que f est strictement concave.
3) En déduire que si A et B sont symétriques définies positives distinctes, et si 0 < < 1,
det(.A + (1 ).B) > det(A). det(B)1 .
et que {MSn++(R) ; det(M) 1} est un ensemble convexe.
7. Exemples d’équations aux dérivées partielles.
Sont ici regroupés quelques exercices relatifs aux équations aux dérivées partielles (en abrégé :
EDP) du premier et du second ordre. En général, les cours de taupe présentent les équations
différentielles avec rigueur, et donnent quelques exemples d’EDP résolubles au moyen de
changements de variables simples. Cela donne l’impression que les EDP sont plus faciles que les
ED ; il n’en est rien bien sûr. Les EDP constituent un très vaste domaine, ayant de multiples
applications : la forme du domaine de définition joue un grand rôle, ainsi que le type d’équation.
Sont ici présentés quelques exemples simples, qu’on essaiera de résoudre rigoureusement. Pour les
équations d’ordre 1, les fonctions solutions cherchées seront souvent supposées de classe C 1, pour
les équations du second ordre, on les supposera de classe C2.
Commençons par un exemple simple… en apparence !
Exercice 1 : Soit U un ouvert de R2. Résoudre l’équation
f
= 0.
x
Solution : Vu l’importance de cet exercice, prenons le temps d’en détailler la solution.
On lit partout, aussi bien dans les cours de physique que ceux de maths, que
f
= 0 ssi f(x, y) est
x
constante en x, c’est-à-dire est fonction de y seul, autrement dit ssi f(x, y) = g(y).
La réponse est plus subtile. Il est facile d’établir que :
Soit f : U R. Je dis que
f
= 0 ssi f est constante sur tout intervalle horizontal inclus dans U.
x
Soit J la projection de U sur y’Oy. Si toutes les sections horizontales de U sont des intervalles ((y),
(y)), alors f(x, y) = g(y), où g : J R est une fonction quelconque. C’est le cas lorsque U est un
pavé, ou un ensemble convexe.
Sinon, il n’en est plus toujours de même, comme le montrent les exemples suivants :
0 pour y < 0
2
+
Exemple 1 : Soit U = R {0}R , f : U R définie par f(x, y) = y2 si x > 0 et y 0
y2 si x < 0 et y 0
f vérifie
f
= 0, mais n’est pas fonction de y seul… f(x, y) dépend un peu de x !
x
Exemple 2 : Soit U = {(x, y) ; 1 < |x| + |y| < 2}, a et b deux fonctions ]2, +2[ R qui coïncident
sur ]2, 1][1, 2[. La fonction f : U R définie par :
a(y) pour 1 y < 2 ou 2 < y 1
f(x, y) = a(y) si x < 0 et 1 < y < 1
b(y) si x > 0 et 1 < y < 1
vérifie
f
= 0, mais n’est pas fonction de y seul… Ces exemples montrent que la géométrie de
x
l’ouvert U joue un grand rôle dans la résolution complète du problème.
On s’efforcera de résoudre les exercices suivants de manière aussi rigoureuse que possible.
Exercice 2 : Soit U un pavé ouvert, g : U R continue. Résoudre
f
= g dans U.
x
30
f
f
+ b.
= 0 , où fC1(R2 ; R) et (a, b)R2{(0, 0)}.
x
y
f
f
f
f
Exemples : Résoudre les équations
=
et
=
, où fC1(R2 ; R).
x
x
y
y
n
f
Exercice 4 : Plus généralement, résoudre l’équation ai .
=0,
xi
i 1
Exercice 3 : Résoudre l’équation a.
où fC1(Rn ; R), les ai étant non tous nuls, par exemple a1.
[Indication : compléter la colonne a1 … an en une matrice inversible, et faire le changement de
f
f
f
+2
+3
=0.
x
z
y
variable correspondant.] Exemple : résoudre
Exercice 5 : Résoudre l’équation
f
f
+ 3(x y).f = 0 sur U = {(x, y) ; x > y}
x
y
au moyen du changement de variable u = x.y , v = x + y.
Exercice 6 : Résoudre les équations
x.
f
f
f
f
+ y.
= 0 et y.
x.
=0.
x
x
y
y
[Indication : On pourra passer en polaires.]
Exercice 7 : Montrer que les solutions de l’équation x.
f
f
+ y.
= sin(x2 + y2)
x
y
sont toutes bornées sur R2.
Exercice 8 : 1) Deviner deux solutions particulières simples u et v de l’équation aux dérivées
partielles:
f
f
f
+ (z x).
+ (x y).
= 0.
x
z
y
(y z).
2) Compléter u, v en un système de coordonnées locales u, v, w sur un ouvert de R3 à préciser.
Ecrire l’équation dans les nouvelles coordonnées, et en déduire sa solution générale.
Exercice 9 : Soit U un pavé ouvert de R2, g : U R continue. Résoudre les EDP :
² f
=0 ,
x ²
² f
=g ,
x ²
²f
=0 ,
xy
²f
=g.
xy
Exercice 10 : Équation des cordes vibrantes.
² f
² f
² f
² f
a2.
= 0 et
a2 .
=
x ²
t ²
x ²
t ²
Intégrer les équations
1
.
t²a².x²
Indication : faire le changement de variables : u = t + a.x , v = t a.x.
Problème 11 : On considère l’équation aux dérivées partielles :
(E)
.
² f
²f
²f
+ 2..
+ .
=0,
x ²
xy
y²
où fC2(R2 ; R) et (, , )R3{(0, 0, 0)}.
1) On effectue le changement de variable linéaire, où . . 0 et a.d b.c 0 :
u = .x + .y
v = .x + .y
x = a.u + b.v
y = c.x + d.v
Montrer que F(u, v) = f(x, y) vérifie une équation de la forme :
1. ²F + 2.1. ²F + 1. ²F = 0 ,
u²
u.v
v²
où l’on exprimera la matrice 1 = 1 1 à l’aide des matrices
1 1
et = .
31
2) Montrer qu’un choix convenable de , , et permet de se ramener à l’une des équations :
²F = 0 , ²F = 0 , ²F + ²F = 0 .
u²
u.v
u² v²
Intégrer les deux premières.
Exercice 12 : 1) Soit U = R2 {(0, 0)}. Trouver les fonctions fC2(U, R) vérifiant :
(E)
x2.
² f
²f
²f
+ 2xy.
+ y2.
=0.
x ²
xy
y²
Indications : On pourra faire le changement de variables u = x, v = y/x, ou passer en polaires,
méthodes suggérées par les cours de taupe ; quels problèmes cela soulève-t-il ? Je suggère plutôt de
fixer (x, y)U et d’étudier la fonction (t) = f(t.x , t.y), pour t > 0.
2) Quelles sont les fC2(R2, R) vérifiant (E) ?
Exercice 13 : Résoudre les EDP suivantes sur les ouverts indiqués :
x2 .
² f
f
f
²f
y2.
+ x.
y.
= 0 sur U = (R*+)2
x
x ²
y
y²
² f
f
²f
1.
4x2.
=0
x
x ²
y²
x
(poser u = ln x , v = ln y) ;
sur U = R*+ R (poser u = x2 y , v = x2 + y).
____________
C. Fonctions implicites, inversion locale.
1. Difféomorphismes globaux et locaux.
1.1. Ck-difféomorphismes.
Définition 1 : Soient E et F deux evn de dimension finie, U un ouvert de E, V un ouvert de F,
kN*{+}. Une application f : U V est appelée Ck-difféomorphisme si c’est une bijection de
classe Ck ainsi que sa réciproque.
Propriétés des Ck-difféomorphismes.
1) Tout Ck-difféomorphisme est un homéomorphisme.
2) Le composé de deux Ck-difféomorphismes en est un ; la bijection réciproque d’un Ckdifféomorphisme en est un.
3) L’ensemble des Ck-difféomorphismes d’un ouvert U dans lui-même est un groupe pour la
composition.
4) La relation « les ouverts U et V sont Ck-difféomorphes » est une relation d’équivalence entre
ouverts d’evn de dimension finie.
5) Si f : U V est un Ck-difféomorphisme, et si U1 est un sous-ouvert de U, alors f induit un Ckdifféomorphisme de U1 sur V1 = f(U1).
6) Si f : U V est un Ck-difféomorphisme, alors, pour tout aU, f’(a)Isom(E, F) ; en particulier
dim E = dim F.
7) Une bijection f : U V de classe Ck n’est pas toujours un Ck-difféomorphisme.
C’est déjà vrai pour les fonctions d’une variable : penser à x x3. Cependant :
8) Si f : U V est une bijection de classe Ck, et si g = f1 est différentiable, alors f est un Ckdifféomorphisme.
Exemples de Ck-difféomorphismes.
32
1) Les bijections linéaires ou affines de E dans F et leurs restrictions à des ouverts.
2) L’inversion de pôle O et de puissance 1.
Plaçons-nous dans E = R2 euclidien standard, et considérons l’application f : M M’ qui à M O
associe le point M’ tels que O, M et M’ soient alignés, et OM . OM' = 1. D’où OM' = OM .
OM ²
Les coordonnées de M’ sont données par :
x’ =
x
x² y²
y’ =
y
.
x² y²
L’application f : E = E{O} E est rationnelle, donc de classe C , et involutive.
C’est donc un C-difféomorphisme de E. Il a pour jacobienne : Jf =
1
(x² y²)²
x² y² 2xy .
2xy x² y²
.
a b . C’est la matrice d’une similitude indirecte.
Cette matrice est de la forme
b a
Il en découle que, si deux courbes se coupent en M sous l’angle , les courbes inverses se coupent en
M’ sous l’angle : on dit que l’inversion est une application conforme indirecte.
3) L’application A A1 est un C -difféomorphisme de Gln(R).
1.2. Ck-difféomorphismes locaux.
La notion de Ck-difféomorphisme local est plus délicate que celle de Ck-difféomorphisme ; en
effet, un Ck-difféomorphisme local n’est ni injectif, ni surjectif en général. Cependant, cette notion
est importante, car la plupart des systèmes de coordonnées curvilignes, à commencer par les
coordonnées polaires, sont des difféomorphismes locaux.
Définition 2 : Soient E et F deux evn de dimension finie, U un ouvert de E, V un ouvert de F,
kN*{+}. Une application f : U V est appelée Ck-difféomorphisme local si, pour tout point
aU existent un voisinage ouvert U(a) de a dans U et un voisinage ouvert V(b) de b = f(a) dans V
tels f induise un Ck-difféomorphisme U(a) V(b).
Propriétés des Ck-difféomorphismes locaux.
1) Si f : U V est un Ck-difféomorphisme local, alors, pour tout aU, f’(a)Isom(E, F) ; en
particulier dim E = dim F.
2) Le composé de deux Ck-difféomorphismes locaux en est un.
Exemple de Ck-difféomorphisme local : les coordonnées polaires.
L’application : (r, )R2 (x, y) = (r.cos , r.sin )R2 est de classe C.
cos r.sin , et déterminant jacobien D = |r|.
Elle a pour matrice jacobienne J =
sin r.cos
est surjective, non injective.
En effet, O(0, 0) a pour antécédants par tous les couples (0, ) ;
Le point M(x, y) (0, 0) a deux séries infinies d’antécédants : si (r0, 0) est un couple de
coordonnées polaires de M, par exemple r0 = x² y² et 0 = Arg(x + iy), avec Arg 0[0, 2[ ou
], +], les autres sont de la forme (r0, 0 + 2k) et (r0, 0 + + 2l).
Comme J = 0 pour r = 0,
est un C -difféomorphisme local surjectif de R*R sur R² {(0, 0)}.
Cela découle des deux lemmes suivants, le second améliorant notablement le premier :
33
Lemme 1 : Les 4 applications i, 1 i 4, sont des C -difféomorphismes :
1 : (r, )R*+]0, [
(r.cos , r.sin )1 = RR*+ ;
2 : (r, )R*+], 0[
(r.cos , r.sin )2 = RR* ;
3 : (r, )R*+] , [ (r.cos , r.sin )3 = R*+R ;
2
2
4 : (r, )R*+] , 3 [ (r.cos , r.sin )4 = R*R*+ .
2
2
Preuve : Soit M(x, y) un point du demi-plan y > 0. Les formules x = r.cos , y = r.sin s’inversent en
r=
x , si l’on exige r > 0, 0 < < .
x² y²
x² y² , = Arccos
Soit M(x, y) un point du demi-plan x > 0. Les formules x = r.cos , y = r.sin s’inversent en r =
x² y² , = Arcsin
y
, si l’on exige r > 0, < < .
2
2
x² y²
Les autres assertions 2 et 4 sont laissées en exercice.
Lemme 2 : Les 2 applications i , i = 5, 6, sont des C -difféomorphismes :
5 : (r, )R*+], [ (r.cos , r.sin )L = C R ;
6 : (r, )R*+]0, 2[ (r.cos , r.sin )L’ = C R+ .
Preuve : 1) Soit M(x, y) un point du plan fendu L = C R .
Cherchons un couple (r, ) tel que x = r.cos , y = r.sin , avec r > 0, < < .
y
x² y² . De plus, on a cos = 2.cos2 1 = x , sin = 2.sin .cos =
2
r
2
2 r
y
y
D’où = Arctan
= Arctan
.
xr
2
x x² y²
y
Ainsi, 5 est une bijection de classe C, de réciproque r = x² y² , = 2.Arctan
.
x x² y²
On a forcément r =
L’application réciproque est de classe C comme composée.
2) Soit M(x, y) un point du plan fendu L = C R+ .
Cherchons un couple (r, ) tel que x = r.cos , y = r.sin , avec r > 0, 0 < < 2.
x x² y²
On a forcément r = x² y² . De plus, on a = Arccotan x r = Arccotan
.
2
Ainsi 6 est une bijection de classe C, de réciproque r =
y
y
x² y² , = 2.Arccotan
x x² y²
.
y
Remarque : Plus généralement, notons u () = (cos , sin ), et L le plan fendu CR+. u () .
induit un C -difféomorphisme de R*+], +2[ sur le plan fendu L.
Exercice 1 : Expliciter la bijection réciproque.
Exercice 2 : Formules de changements de coordonnées.
Soit U un ouvert de R2, f une fonction de classe suffisante de U dans R, et g(r, ) = f(r.cos , r.sin ).
Montrer les formules :
g
f
g
f
f
f
= x.
+ y.
,
= y.
+ x.
r
x
x
y
y
g
g
. u () + 1 .
. v ().
grad f =
r
r
r.
34
f =
²g
g
²g
+ 1.
+ 1.
.
r²
r
r
r² ²²
Exercice 3 : Résoudre les équations aux dérivées partielles :
x.
f
f
f
f
+ y.
= sin(x2 + y2) , x.
+ y.
=
x
x
y
y
x² y² , x2.
² f
²f
²f
+ 2.xy.
+ y2.
=0.
x ²
xy
y²
Exercice 4 : On considère l’application F : (x, y) (x2 y2 , 2xy) de R2 dans R2.
Montrer que F induit un C-difféomorphisme local surjectif de R2 {(0, 0)} sur lui-même.
[Ind. : passer en complexes, et utiliser les coordonnées polaires.]
Exercice 5 : On considère l’application E : (x, y) (ex.cos y, ex.sin y) de R2 dans R2.
Montrer que E induit un C-difféomorphisme local surjectif de R2 sur R2 {(0, 0)}.
[Ind. : passer en complexes, et utiliser les coordonnées polaires.]
2. Théorème d’inversion locale.
Le théorème d’inversion locale est un outil très puissant. Sa démonstration est assez technique,
mais sa signification est claire. Rappelons qu’une fonction différentiable f en a est « approximativement » égale à l’application affine tangente x f(a) + f’(a).(x a) au voisinage de a : eh
bien, si f’(a) est un isomorphisme de E sur F, alors f induit une bijection d’un voisinage de a sur un
voisinage de b = f(a). Autrement dit, si l’application affine tangente est bijective, l’application f est
localement bijective. C’est au fond un résultat de linéarisation.
Théorème 1 : Inversion locale.
Soient E et F deux R-ev de même dimension n , un ouvert de E, f une application de classe C1 :
F. On suppose qu’au point a , daf = f’(a) Isom(E, F).
Alors, il existe un voisinage ouvert U de a dans et un voisinage ouvert V de b = f(a) dans F tels
que f induise un C1-difféomorphisme f|U,V = g : U V.
Si de plus f est de classe Ck (1 k +), alors g est un Ck-difféomorphisme.
Pratiquement, si E = F = Rn, l’application f s’écrit f(x) = (f1(x1, … , xn) , … , fn(x1, …, xn)),
f1 f1
x ...xn
1
et l’hypothèse à vérifier est : det Jf(a) = det ... ... ... .(a1, …, an) 0.
f n f n
...
x1 xn
Heuristiquement, on veut résoudre en l’inconnue x, voisine de a, l’équation :
y = f(x) = f(a) + df(a).(x a) + etc. = b + df(a).(x a) + etc.
où le etc. est un o(||x a||). Si df(a) est inversible, il y a solution unique pour y donné voisin de b, à
savoir :
x = f1(y) = a + df(a)1.(y b) + etc.
On voit de plus, par définition de la différentielle, que d(f1)(b) = df(a)1 .
La démonstration rigoureuse utilise le théorème du point fixe6. Pour résoudre en x l’équation f(x)
y = 0, (où y est fixé, dans un premier temps), on la transforme en un problème équivalent de la forme
F(x) = x, en choisissant l‘application F(x) x df(a)1.(f(x) y). La solution s’obtiendra comme
6
Une récurrence sur la dimension est également possible.
35
limite de la suite récurrente xk+1 = F(xk), x0 = a, rapidement convergente puisque DF(x) est voisin de
DF(a) = I df(a)1 o df(a) = 0.
On termine en montrant que la solution x obtenue est continûment différentiable par rapport au
paramètre y.
Corollaire 1 : caractérisation des Ck-difféomorphismes locaux.
Soient E et F deux R-ev de même dimension n, un ouvert de E, f une application : F. Soit 1
k +. On a l’équivalence :
i) f est un Ck-difféomorphisme local de dans F ;
ii) f est de classe Ck , et (x) f’(x)Isom(E, F).
De plus, sous ces hypothèses, f est une application ouverte, en ce sens que l’image directe d’un
ouvert de E est un ouvert de F.
Démonstration : i) ii) est facile. ii) i) découle du théorème d’inversion locale.
Soit U1 un ouvert de U, a un point de U1, b = f(a) ; f induit un difféomorphisme, donc un homéomorphisme, de U(a) sur V(b), donc de U(a)U1 sur V(b)f(U1) ; ce dernier ensemble est un ouvert
inclus dans f(U1). f(U1) est un voisinage de chacun de ses points b = f(a), donc est ouvert.
Corollaire 2 : théorème d’inversion globale.
Soient E et F deux R-ev de même dimension n, un ouvert de E, f une application : F. Soit 1
k +. On a l’équivalence :
i) f() est un ouvert, et f est un Ck-difféomorphisme de sur f() ;
ii) f est de classe Ck, injective, et (x) f’(x)Isom(E, F).
Exercice : Soit fC1(R, R) telle que k]0, 1[ (x) |f’(x)| k.
Montrer que F : (x, y) (x + f(y), y + f(x)) est un C1-difféomorphisme de R2 sur R2.
Montrer que F : (x, y, z) (x + f(y), y + f(z), z + f(x)) est un C1-difféomorphisme de R3 sur R3.
Exercice : Généralisation. Soit E un evn de dimension finie.
Soit fC1(E, E) telle que k]0, 1[ (x) |||f’(x)||| k.
Montrer que F : x x + f(x) est un C1-difféomorphisme de E.
Exercice : Soit F : R2 R2 la fonction définie par F(x, y) = (x + y , x.y).
Propriétés de F ? Est-elle injective, surjective ? Ensemble image ?
Appliquer à F le théorème d’inversion locale. Peut-on expliciter un ouvert connexe maximal U de R²
tel que F soit un difféomorphisme de U sur f(U) ?
Exercice : Soit F : R3 R3 la fonction définie par F(x, y, z) = (x + y + z , x.y + y.z + z.x , x.y.z).
Propriétés de F ? Est-elle injective, surjective ? Ensemble image ?
Appliquer à F le théorème d’inversion locale. Préciser ces résultats à l’aide des formules de Cardan.
Exercice : Deux contre-exemples.
1) Soient U le plan privé de l’origine et f(x, y) = (x2 y2 , 2xy).
Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n’est pas un
difféomorphisme global. Expliciter des ouverts V et W, aussi grands que possible, tels que f : V
W soit un difféomorphisme global.
2) Soit f(x) = x + x2.sin si x 0 , f(0) = 0. Montrer que f est dérivable sur R, que f’(0) 0, mais
x
que f n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Que se passe-t-il ?
[On pourra comparer les valeurs f( 1 ) pour k entier pair et t = 0, 1 et 1.]
kt
2
36
Exercice : Soit F : R3 R3 la fonction définie par F(x, y, z) = (x + 3.y2 z3 , 2x2yz , 2z2 xy).
Matrice jacobienne de F au point (1, 1, 0) ? F est-elle inversible au voisinage de ce point ?
Déterminer la matrice jacobienne de cette inverse au point (4, 0, 1) = F(1, 1, 0).
Exercice : On identifie C et R2 ; soit f : z z2 + 2 z .
1) Déterminer la courbe plane C formée des points en lesquels le jacobien de f est non inversible.
2) Déterminer f(C) ; la tracer et l’étudier.
3) Montrer que toute droite tangente à f(C) qui recoupe C en A et B vérifie || AB || = constante.
Exercice : Logarithme d’une matrice.
Soit E = Mn(R). Montrer que l’exponentielle de matrice induit un difféomorphisme d’un voisinage
de 0 sur un voisinage de I, mais que ce n’est pas un difféomorphisme global de E sur son image pour
n 2.
Exercice : Racine carrée d’une matrice.
Soit E = Sn(R) l’espace des matrices symétriques réelles d’ordre n.
Montrer que l’ensemble U = SDPn(R) des matrices symétriques définies positives est un ouvert de
E, et que A
A est un C-difféomorphisme global de U.
Exercice : Polytechnique sur le polynôme caractéristique : cf mes feuilles d’exo.
Exercice : Inversion globale.
Soit k une constante > 0, E un evn de dim n, f : E E une application de classe C1, supposée kdilatante, i.e. (x, y)E2 || f(x) f(y) || ||x y|| .
On se propose de montrer que f est un C1-difféomorphisme de E sur E.
1) Montrer que f est injective et que f(E) est une partie fermée de E.
2) Montrer que df(x) est inversible pour tout x.
3) Montrer que f(E) est une partie ouverte de E, et conclure.
Exercice : Montrer que F(x, y) = (sh x + sin y , sh y + sin x) est un homéomorphisme de R2, mais
pas un difféomorphisme.
3. Coordonnées curvilignes.
3.1. Définitions et propriétés.
Définition : Soient E un evn de dimension n, identifié à Rn via une base B = (e1, …, en), un
ouvert de E. On appelle système de coordonnées curvilignes sur la donnée d’un C1-difféomorphisme local surjectif : (u1, …, un)U (x1, …, xn) = (1(u1, …, un), …, n(u1, …, un)),
où U est un ouvert de Rn . Tout n-uplet (u1, …, un)U tel que M(x1, …, xn) = (u1, …, un) s’appelle
un système de coordonnées curvilignes de M.
L’hypothèse faite sur se traduit par (u1, …, un)U
D(x1 ,..., xn)
0.
D(u1 ,...,un)
Elle implique qu’il existe des voisinages ouverts VM de M dans et UM de (u1, …, un) dans U tels
que induise un C1-difféomorphisme de UM sur VM, autrement dit que les formules précédentes
peuvent s’inverser localement en u1 = 1(x1, …, xn) , … , un = n(x1, …, xn).
Géométriquement, on peut introduire deux approches duales : le point M(x1, …, xn) = (u1, …, un)
est l’intersection des n hypersurfaces de niveau ou de coordonnées i : ti = ui .
37
OP ( t1, …, ti1, ti+1, …, tn) ) = (t1, …, ti1, ui, ti+1, …, tn)
est l’intersection des n arcs paramétrés i : OP(t) = (u1, …, ui1, t, ui+1, …, un).
(M, M , …, M ) est un repère affine de Rn.
u1
u n
(M, M , …, M , M ,…, M ) est repère affine de l’hyperplan tangent en M à l’hypersurface
u1
ui 1 ui 1
u n
i .
(M, M ) est repère affine de la droite tangente en M à l’arc i .
ui
3.2. Coordonnées curvilignes orthogonales.
La plupart des systèmes de coordonnées curvilignes sont orthogonaux en ce sens que :
(u1, …, un)U i j M . M = 0.
ui u j
autrement dit, ( M , …, M ) est une base orthogonale deRn.
u1
u n
Principaux systèmes de coordonnées curvilignes
1. Coordonnées polaires planes.
L’application : (r, )R2 (x, y) = (r.cos , r.sin )R2
est une surjection de classe C, et c’est un système de
coordonnées curvilignes orthgonales sur R2{O}.
Les lignes de coordonnées sont les cercles de centre O et les
droites passant par O.
Abscisse curviligne : ds2 = dr2 + r2.d2.
Laplacien : si f(x, y) = g(r, ), f =
²g
g
²g
+ 1
+ 1
.
r²
r r
r² ²
2. Coordonnées cylindriques.
L’application : (r, , z)R3 (x, y) = (r.cos , r.sin , z)R3 est une surjection de classe C, et
c’est un système de coordonnées curvilignes sur R2{O}.
3. Coordonnées sphériques.
L’application : (, , )R3 (x, y, z) = (.sin.cos, .sin.sin, .cos)R3 est une
surjection de classe C, et c’est un système de coordonnées
curvilignes sur R3{z’Oz}.
4. Coordonnées paraboliques.
L’application : (u, v)R2 (x, y) = (u2 v2, 2uv)R2
est une surjection de classe C, et c’est un système de
coordonnées curvilignes orthogonales sur R2{O}.
38
Les lignes coordonnées passant par M sont les deux paraboles de foyer O et de directrices verticales
passant par M. Elles sont orthogonales.
Exercice : abscisse curviligne en coordonnées paraboliques.
Montrer que ds2 = 4.(u2 + v2).(du2 + dv2).
Exercice : laplacien en coordonnées paraboliques.
Si f(x, y) = g(u, v) est de classe C2, montrer que
(u2 + v2).g(u, v) = 4(x2 + y2).f(x, y).
En déduire que si f est harmonique, g(u, v) = f(u2 v2, 2uv) aussi.
5. Coordonnées elliptiques-hyperboliques.
Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé xOy. Soient F(c, 0) et F’(c, 0), c > 0.
Les coniques à centres (ellipses ou hyperboles) de foyers F et F’, ont pour équations x² +
x² = 1.
c²
Ce sont des ellipses imaginaires si < 0, des ellipses réelles si 0 < < c2, des hyperboles si c2 < .
Par tout point M(x, y) du plan passent une ellipse et une hyperbole du réseau, correspondant à
2 .(x2+ y2 + c2) + x2.c2 = 0. Ce trinôme a deux racines > 0, séparées par c2.
Posons
MF + MF’ = 2c.ch u , MF – MF’ = 2c.cos v
MF = c.(ch u cos v) , MF’ = c.(ch u + cos v)
x = c.ch u.cos v
, y = c.sh u.sin v
Exercice : abscisse curviligne
elliptiques-hyperboliques.
en
coordonnées
ds2 = c2.(ch2 u – cos2 v ).(du2 + dv2).
Exercice : laplacien en coordonnées elliptiqueshyperboliques. Si f(x, y) = g(u, v) est de classe C2,
montrer que f(x, y) =
g(u,v)
.
c²(ch²u cos²v)
6. Coordonnées bipolaires.
Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé xOy. Soient A(a, 0) et B(a, 0), a > 0.
Les cercles de points de base A et B, c’est-à-dire
passant par A et B, ont pour équation
Arg z a = u (mod )
(Cu)
z a
2
ou
x + y 2ay.cotg u = a2
(0 < u < )
Les cercles de points limites A et B, lieux des points M
tels que MA = ev.MB ont pour équation
(v)
2
z a = ev
z a
ou
x2 + y2 2ax.coth v + a2 = 0
.
Tout cercle (Cu) est orthogonal à tout cercle (v).
(Cu) et (v) ont deux points d’intersection d’affixes z
= a. shvi.sin u et z = a. shvi.sin u .
chvcosu
chvcosu
L’application : (u, v)U M(u, v) = (x, y) = (
a.shv , a.sin u )R2{A, B}
chvcosu chvcosu
39
est une surjection de classe C de U = {(u, v) ; ch v cos u} = R2 {(2k, 0) ; kZ}, et un système
de coordonnées curvilignes orthogonales.
7. Coordonnées toriques.
Elles s’obtiennent dans E3 euclidien en faisant tourner la figure précédente autour de Oz.
x = a.shv.cos , y = a.shv.sin , z =
chvcosu
chvcosu
a.sin u .
chvcosu
8. Coordonnées ellipsoïdales de Lamé.
Soient a, b, c trois réels tels que a2 > b2 > c2. Cherchons les quadriques de centre O contenant M(x,
y, z), d’axes principaux Ox, Oy et Oz. Elles ont pour équation
x² + y² + z² = 1.
a² b² c²
L’étude des variations du premier membre () montre qu’il y a trois valeurs de
u < c2 < v < b2 < w < a2
u correspond à un ellipsoïde, v à un hyperboloïde à une nappe, w à un hyperboloïde à deux nappes.
L’application (x, y, z)R*+3 (u, v, w)], c2[]c2, b2[]b2, a2[ est un C-difféomorphisme.
Les surfaces de niveau sont orthogonales.
4. Le théorème des fonctions implicites.
4.1. Le problème des fonctions implicites.
Considérons pour commencer une partie D de R2, et une fonction F : D R. L’ensemble =
{(x, y)D ; F(x, y) = 0} est une partie de D qui peut être de nature quelconque : on l’appelle courbe
d’équation implicite F(x, y) = 0, mais attention, le mot « courbe » est à prendre ici en un sens très
vague.
Dans certains cas simples, l’équation F(x, y) = 0 peut se résoudre élémentairement en y ; ainsi,
lorsque F(x, y) est une fonction polynomiale en y de degré 4, on peut discuter et résoudre par
radicaux l’équation F(x, y) = 0 pour chaque valeur de x. est alors réunion de un ou plusieurs
graphes fonctionnels y = f(x).
De même, lorsque F(x, y) est de la forme f(x) g(y), on pourra étudier les variations de f et g, et
écrire F(x, y) = 0 y = (hof)(x) , où h est une réciproque, globale ou partielle, de g.
Dans d’autres cas, on peut arriver à paramétrer tout ou partie de , c’est-à-dire décrire les couples
(x, y) tels que F(x, y) = 0 au moyen d’un paramètre t ; on trouvera deux fonctions a et b : I R
vérifiant
(tI) (a(t), b(t))D et F(a(t), b(t)) = 0 ,
voire même (x, y) (tI) (x, y) = (a(t), b(t)).
contient alors le support d’un arc paramétré, voire même est réduit à lui.
Définition : On appelle fonction implicite associée à F toute fonction f : I R R telle que
(xI) (x, f(x))D et F(x, f(x)) = 0, autrement dit, telle que = {(x, y)D ; F(x, y) = 0} contienne
le graphe de f.
Considérons maintenant un système de n équations à p inconnues (p n) :
f1(x1 , x2 , … , xp) = 0
(S)
. . . . . . . . . . . .
fn(x1 , x2 , … , xp) = 0
Lorsque ce système est linéaire, on a vu comment le résoudre dans le cours d’algèbre : une fois
choisi un système d’équations et d’inconnues principales, on cherche à exprimer les inconnues
auxiliaires au moyen des inconnues principales. Que peut-on dire de général lorsque (S) est non
40
linéaire ? Sous certaines hypothèses, on procédera comme dans le cas linéaire, et l’on pourra
exprimer, au moins par la pensée, certaines variables en fonction des autres.
4.2. Le théorème des fonctions implicites.
Nous allons donner deux énoncés de ce théorème, avec une équation puis plusieurs. Nous les
admettrons et les commenterons, rejetant les démonstrations au § 5.
Théorème des fonctions implicites : cas d’une équation.
Soit U un ouvert de Rn, F : U R une fonction de classe Ck (1 k +). Soit a = (a1, …, an)U
tel que F(a1, …, an) = 0 et DnF(a1, …, an) 0.
Il existe un voisinage U(a1, …, an1)]an r , an + r[ U et une fonction : U(a1, …, an1) R
de classe Ck tels que :
an = (a1, …, an1) et :
(x1, …, xn1 , xn)U(a1, …, an1)]an r , an + r[ F(x1, …, xn) = 0 xn = (x1, …, xn1).
Traduisons ce théorème dans les cas n = 2 et 3.
Courbes définies par une équation implicite.
Soit U un ouvert de R2, FCk(U ; R) , 1 k + , la « courbe » {(x, y)U ; F(x, y) = 0}.
Soit (a, b)U un point tel que F(a, b) = 0 et F (a, b) 0.
y
Alors, dans un voisinage de (a, b), ]a r , a + r[]b s , b + s[ est le graphe d’une fonction de
classe Ck : ]a r , a + r[ ]b s , b + s[.
On a F(x , (x)) = 0 dans ]a r , a + r[, donc, par la règle de la chaîne :
Si maintenant F(a, b) = 0 et F (a, b) 0, alors, dans un voisinage de (a, b), ]a r, a + r[]b
x
s, b + s[ est le graphe d’une fonction de classe Ck : ]b s , b + s[ ]a r , a + r[.
On a F((y) , y) = 0 dans ]b s , b + s[, etc.
On dit que la courbe est régulière si, pour tout point (x, y) , grad F(x, y) .
Il résulte de ce qui précède qu’au voisinage de chacun de ses points, une courbe régulière de classe
Ck peut être paramétrée de manière cartésienne :
y = (x) et/ou x = (y) , et/ou étant de classe Ck .
de plus, grad F(x, y) est normal à la courbe en chacun de ses points.
Exemple 1 : Le cercle x2 + y2 = 1.
Ici F(x, y) = x2 + y2 1. C’est une courbe régulière, car (x, y) sur .
Les points de où F = 0 sont (1, 0). Au voisinage des autres points (a, b), F(x, y) = 0 se résout
y
en y = . 1 x² , où = sgn b. Ce sont deux fonctions implicites de classe C1, définies sur ]1, +1[.
Les points de où F = 0 sont (0, 1). Au voisinage des autres points (a, b), F(x, y) = 0 se résout
x
en x = . 1 y² , où = sgn a. Ce sont deux fonctions implicites de classe C1, définies sur ]1, +1[.
Exemple 2 : Les courbes x2 = y2 et x3 = y3 .
Ici y = x, resp. y = x. Le théorème des fonctions implicites s’applique sauf au point (0, 0). Dans le
premier cas, au voisinage de (0, 0), la conclusion n’est pas valable : n’est pas un graphe
41
fonctionnel au V(0, 0). Dans le second, la conclusion est valable : est un graphe fonctionnel au
V(0, 0).
Surfaces définies par une équation implicite.
Soit U un ouvert de R3, FCk(U ; R) , 1 k + , la « surface » {(x, y, z)U ; F(x, y, z) = 0}.
Soit (a, b, c)U un point tel que F(a, b, c) = 0 et F (a, b, c) 0.
z
Alors, dans un voisinage de (a, b, c), ]a r , a + r[]b s , b + s[]c t , c + t[ est le graphe d’une
fonction de classe Ck : ]a r , a + r[]b s , b + s[ ]c t , c + t[.
On a F(x , y, (x, y)) = 0 dans ]a r , a + r[]b s , b + s[, donc, par la règle de la chaîne :
Résultats analogues si F (a, b, c) 0 ou F (a, b, c) 0.
y
x
On dit que la surface est régulière si, pour tout point (x, y, z) , grad F(x, y, z) .
Il résulte de ce qui précède qu’au voisinage de chacun de ses points, une surface régulière de classe
Ck peut être paramétrée de manière cartésienne :
z = (x, y) et/ou y = (x, z) et/ou x = (y, z) , , , étant de classe Ck .
De plus, grad F(x, y, z) est normal à la surface en chacun de ses points.
Théorème des fonctions implicites : cas des systèmes.
Considérons un système de n équations à p + n inconnues :
(S)
f1(x1, … , xp , y1 , … , yn) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
fn(x1, … , xp , y1 , … , yn) = 0
où f1, …, fn sont des fonctions de classe C1 définies sur un ouvert de RpRn , à valeurs réelles.
Soit c = (a, b) = (a1, … , ap , b1 , … , bn) une solution de (S) telle que la matrice jacobienne
(
fi
(a, b)) soit inversible.
y j
Alors il existe un voisinage ouvert U(a) de a = (a1, … , ap) ,
un voisinage ouvert V(b) de b = (b1, … , bn) ,
des fonctions 1, …, n de classe C1 : U(a) R ,
tels que U(a)V(b) et que (x, y)U(a)V(b) est solution de (S) ssi :
y1 = 1( x1 , … , xp)
. . . . . . . . . . .
xn = n(x1 , … , xp)
Si les fi sont de classe Ck (1 k +), les i le sont aussi.
xU(a) ’(x) = [f’y(x , (x)]1 o [f’x(x , (x)]
et en particulier
’(a) = [f’y(a , b)]1 o [f’x(a , b)].
En termes plus abstraits :
Théorème des fonctions implicites.
Soient E, F et G trois R-ev de dimension finie, avec dim F = dim G, un ouvert de EF,
f : (x, y) z = f(x, y)G une application de classe C1.
Soit c = (a, b) un point tel que : f(a, b) = 0 et f’y(a, b)Isom(F, G) .
42
Alors il existe un voisinage ouvert U(a) de a,
un voisinage ouvert V(b) de b,
une fonction de classe C1, : U(a) V(b) tels que :
U(a)V(b)
et
(x, y)U(a)V(b) f(x, y) = 0 y = (x) .
Si f est de classe Ck (1 k +), l’est aussi. On a :
xU(a) ’(x) = [f’y(x , (x)]1 o [f’x(x , (x)]
et en particulier
’(a) = [f’y(a , b)]1 o [f’x(a , b)].
Cette existence se double d’un résultat d’unicité locale : Soient U’(a) et V’(b) des voisinages
ouverts de a et b resp., une fonction : U’(a) V’(b) continue en a et telle que :
U’(a)V’(b) et f(x, y) = 0 y = (x) dans U’(a)V’(b).
Alors et coïncident dans un voisinage de a.
Application : intersection de deux surfaces.
Soient S et S’ deux surfaces définies implicitement par les équations :
F(x, y, z) = 0 et
G(x, y, z) = 0 ,
où F et G sont des fonctions de classe Ck : R, 1 k +, ouvert de R3.
Supposons qu’existe un point M0(x0, y0, z0)SS’ vérifiant :
F
D(F,G)
y
(x , y , z ) =
D(y, z) 0 0 0 G
y
F
z (x , y , z ) 0 .
G 0 0 0
z
En vertu du théorème des fonctions implicites, il existe un pavé ouvert V de R3, contenant M0 , et
tel que VSS’ soit le support d’un arc admettant la représentation paramétrique y = (x), z = (z),
où et sont des fonctions de classe Ck sur un intervalle ouvert I contentant x0, telles (x0) = y0 et
(x0) = z0 . On a dans I F(x, (x), (x)) = G(x, (x), (x)) = 0, d’où :
F (x, (x), (x)) + F (x, (x), (x)). d (x) + F (x, (x), (x)). d (x) = 0
dx
dx
y
x
z
G (x, (x), (x)) + G (x, (x), (x)). d (x) + G (x, (x), (x)). d (x) = 0
dx
dx
y
x
z
’(x) et ’(x) sont donc solutions de ce système de Cramer.
En permutant les rôles de x, y et z, on déduit de ce qui précède que si la matrice jacobienne de (F,
F
x
G) en M0 ,
G
x
F
y
G
y
F
z (x , y , z ) , est de rang 2 (on dit alors que M est un point régulier de
0
G 0 0 0
z
SS’), alors il existe un pavé ouvert V de R3, contenant M0 , et tel que VSS’ soit le support d’un
arc paramétrable par x, y ou z (ou non exclusif), de classe Ck .
La tangente à cet arc est dirigée par ( grad F grad G)(M0) , c’est-à-dire par la droite intersection
des plans tangents en M0 à S et S’, plans qui existent et sont distincts par hypothèse.
Lorsque f et g sont des fonctions polynomiales, les surfaces S et S’ sont algébriques, et l’étude de
l’intersection des surfaces est un problème de géométrie algébrique réelle autant que de géométrie
différentielle, qui sort largement du cadre d’un exposé élémentaire.
43
Contentons-nous de noter qu’il faut alors considérer, dans l’anneau factoriel mais non euclidien
R[X, Y, Z], l’idéal non principal engendré par les polynômes f et g : = {f.P + g.Q ; P, Q R[X,
Y, Z]). SS’ est l’ensemble des zéros communs des polynômes de . On est ramené à des
techniques d’élimination ou de bases de Gröbner.
Les intersections de quadriques (cônes, cylindres, sphères, etc.) rentrent dans ce cadre.
Exercices
Le théorème des fonctions implicites est un outil puissant mais local. Si l’on veut obtenir une
description globale d’une courbe F(x, y) = 0, mieux vaut chercher à paramétrer cette courbe au
moyen d’un paramètre t (éventuellement égal à x ou y).
La commande implicitplot de Maple (package plots) représente de telles courbes, de façon parfois
imprécise (notamment au voisinage des points critiques, ce qui est logique).
Exercice 1 : Soient U un ouvert de R2, f : U R une fonction de classe C2. Ecrire une condition
suffisante pour que, localement, autour d’un point (a, b) tel que f(a, b) = 0, la relation f(x, y) = 0
définisse y = (x) comme fonction de x de classe C2, et calculer ’’(x).
Exercice 2 : Soient U un ouvert de R3, f : U R une fonction de classe C2. Ecrire une condition
suffisante pour que, localement, autour d’un point (a, b, c) tel que f(a, b, c) = 0, la relation f(x, y, z) =
0 définisse z = (x, y) comme fonction de (x, y) de classe C2. Calculer ses dérivées partielles d’ordre
2, ainsi que r.t – s2.
Exercice 3 : Soit la courbe d’équation sin(x + y) + cos(x y) = 1.
1) Montrer qu’au voisinage de (0, 0), est le graphe d’une fonction y = f(x) ; calculer le
développement limité à trois termes de cette fonction ; allure locale de .
2) Montrer que est invariant par translations ; représenter complètement .
Exercice 4 : Soit la courbe d’équation y.ex x.ey = 1.
1) Montrer qu’au voisinage de A(0,1), est le graphe d’une fonction y = f(x) ; calculer le
développement limité à trois termes de cette fonction ; allure locale de .
2) Montrer que est régulière.
3) Comment Maple résout-il y.ex x.ey = 1 en y ?
4) Représenter complètement ; on pourra utiliser Maple (implicitplot).
Exercice 5 : Soit la courbe d’équation y3 + x.y ex = 0.
1) Montrer qu’au voisinage de A(0, 1), est le graphe d’une fonction y = f(x) ; calculer le
développement limité à trois termes de cette fonction ; allure locale de .
2) Montrer que est régulière.
3) Montrer que sur x 0 , est le graphe d’une fonction croissante y = f(x) ; développement
asymptotique de f en + ?
4) Représenter complètement ; on pourra utiliser Maple (implicitplot).
Exercice 6 : Fenêtre de Viviani.7
Eudoxe de Cnide avait étudié une courbe appelée hippopède, qui est vraisemblablement l’intersection d’un
cylindre et d’une sphère, courbe qui fut réétudiée au XVIIème siècle par Viviani.
7
44
On considère les surfaces S : x2 + y2 + z2 = 1 et C : x2 + y2 x = 0. Soit leur intersection.
1) Etudier et représenter les projections de sur les plans xOy, xOz, puis yOz.
2) Représenter en perspective S, C et .
3) Soit Q la surface d’équation x2 + y2 + z2 1 + .(x2 + y2 x) = 0. Ainsi, Q0 = S et on convient
que Q = C. Vérifier que () Q. Discuter selon les valeurs de la nature de Q ; on trouvera,
sauf pour une valeur de , une surface de révolution dont on précisera les caractéristiques.
4) Appliquer le théorème des fonctions implicites à l’étude de .
Exercice 7 : Résolution approchée d’une équation.
Donner une valeur approchée de la solution réelle de l’équation x7 + 0,99.x – 2,03 = 0.
[On appliquera le théorème des fonctions implicites à f(x, p, q) = x7 + p.x + q.
Exercice 8 : Asymptotique d’une équation du troisième degré.
Soit f(x, ) = (x a).(b x) + .x3 , où a et b sont fixés, avec a < b, et > 0 est un paramètre.
1) Montrer que, pour assez petit, l ‘équation f(x, ) = 0 a trois racines distinctes x1() < x2() <
x3(). Donner un développement asymptotique de ces racines pour 0, arrêté en O(2).
[Ind. : On pourra appliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage de (x, ) = (a, 0) et de
(x, ) = (b, 0).]
2) En déduire un développement asymptotique de l’intégrale elliptique : I() =
x2()
x1()
dx
f(x,)
pour 0, arrêté en O(2). [Ind. : On pourra noter u = 1 .(x1() + x2()), v = 1 .(x2() x1()) et
2
2
faire le changement de variable x = u + v.sin t.]
Exercice 9 : Dérivées partielles et thermodynamique.
En thermodynamique des gaz, les trois variables pression, volume et température sont liées par une
« équation d’état » f(p, v, t) = 0. Tout paramètre u du système physique (énergie cinétique, entropie,
etc. ) peut alors être considéré comme fonction de deux de ces trois variables, au choix. Par abus de
notation, on note u(p, v), u(p, t) et u(v, t) les trois fonctions obtenues. Mais, pour éviter
l’irrémédiable salade, les physiciens notent ( u )t la dérivée partielle de u(p, t) par rapport à p, avec t
p
fixé, et de même avec v ou p fixés.
On supposera toutes les fonctions de classe C1 et les dérivées partielles de f non nulles.
1) En considérant d’abord l’exemple du « gaz parfait » : f(p, v, t) = p.v t, puis le cas général,
montrer la relation :
2) Vérifier que :
( u )t ( u )v =
(f / p) u
(f / p) u
.(
)p =
.(
) .
(f / t) t
(f / v) v p
p
p
p
(
) . ( v ) . ( t ) = 1.
v t t p p v
Exercice 10 : Variation du point fixe.
1) Montrer que le système d’équations x = 1 .sin(x + y) , y = 1 .cos(x y)
2
admet une solution unique. La calculer à 10
2
2
près.
2) Montrer que pour tout réel t, le système x = 1 .sin(x+y) + t 1, y = 1 .cos(xy) t + 1 admet
2
2
2
une solution unique (x(t), y(t)), fonctions continues de t.
45
3) Montrer que les fonctions x(t) et y(t) sont de classe C. Trouver leur développement limité à
l’ordre 2 au voisinage de (0, 0).
Exercice 11 : Étude de la courbe d’équation xy = yx .
On veut étudier par deux méthodes, et représenter l’ensemble C = {(x, y)R*+2 ; xy = yx , x y}.
1) Etude directe.
a) Etudier les variations de f(t) = ln t .
t
b) En déduire que C est inclus dans le graphe d’une fonction continue x]1, +[ y(x).
c) Variations de y(x) ? Montrer que y est C sur ]1, e[ ]e, +[.
x.ln y y.ln x
dans l’ouvert x > 1, y > 1, x y.
x y
1
du
Vérifier que F(x, y) = ln y y.
. En déduire que F peut être prolongée en une fonction
0 xu(y x)
C sur ]1, +[2 . Que vaut F (e,e) ? En déduire que y est C au V(e).
y
d) On définit la fonction F(x, y) =
2) Description paramétrée.
a) Posant
y
= t, obtenir une description de C comme support d’un arc paramétré.
x
b) Retrouver tous les résultats de 1).
Exercice 12 : Étudier et représenter les courbes d’équation : y ln y + x ln x = c.
Exercice 13 : Étudier et représenter les courbes : |sin(x + i.y)| = a (Gomes Teixeira, 1897).
5. Démonstrations.
5.1. Equivalence de l’inversion locale et des fonctions implicites.
1) Le théorème d’inversion locale découle du théorème des fonctions implicites.
Reprenons les notations du th. d’inversion locale.
Appliquons le th. des fonctions implicites à F(x, y) = y f(x).
F’x(a, b) = f’(a)Isom(F, G), donc dans U(a)V(b) F(x, y) = 0 x = (y) .
2) Le théorème des fonctions implicites découle du th. d’inversion locale.
Reprenons les notations du th des fonctions implicites, et introduisons la fonction g : (x, y) = (x,
f(x, y)) de dans EG. g vérifie le théorème d’inversion locale :
g’(a, b).(h, k) = (h, f’x(a, b).h + f’y(a, b).k) est un isomorphisme de EF dans EG.
On a donc sur des ouverts convenables :
f(x, y) = 0 x = x et f(x, y) = 0 g(x, y) = (x, 0) (x, y) = g1(x, 0) x = x, y = (x) ,
la fonction implicite est ainsi donnée par la deuxième composante de g1.
5.2. Fonctions implicites : cas d’une équation.
46
Rappelons l’énoncé, en le précisant un peu :
Théorème : Soient E un R-evn, V un voisinage de (a, b)ER, f : (x, y)V f(x, y)R une
fonction numérique définie dans V.
On suppose que f est continue dans V, que f(a, b) = 0, et que f admet dans V une dérivée partielle
f’y(x, y) continue en (a, b) et telle que f’y(a, b) 0.
Alors il existe un voisinage A(a) dans E et un voisinage B(b) dans R tels que AB V et que
(xA) (!yB) f(x, y) = 0.
L’application : A B définie par (x) f(x, (x)) = 0 est continue en a et vérifie (a) = b.
Si de plus f est différentiable en (a, b), est différentiable en a, et f’x(a, b).dx + f’y(a, b).da = 0 ;
Si de plus f est de classe Cp (1 p +), on peut choisir A et B ouverts, et alors est de classe Cp.
Preuve : 1) Existence de la fonction .
Supposons f’y(a, b) > 0 pour fixer les idées. Comme f’y est continue en (a, b)
> 0 > 0 ||x a|| et |y b| f’y(x, y) > 0.
Pour chaque xB’(a, ), l’application y[b , b + ] f(x, y)R est strictement croissante.
f étant continue sur V est continue en (a, b ) et (a, b + ) :
]0, [ ||x a|| f(x, b ) < 0 < f(x, b + ).
Pour chaque xB’(a, ) B’(a, ), la fonction y f(x, y) est strictement croissante et change de
signe. En vertu du théorème des valeurs intermédiaires, !y0[b , b + ] f(x, y0) = 0.
Il suffit donc de poser A = B’(a, ) et B = B’(b, ).
2) Continuité de en a.
Soit 0 < tel que f(a, b ) < 0 < f(a, b + ).
f étant continue, ]0, [ xA ||x a|| f(x, b ) < 0 < f(x, b + ).
Pour chaque xB(a, ) y]b , b + [ f(x, y) = 0. D’après a), ce y n’est autre que (x).
Donc ]0, [ ]0, [ ||x a|| < |(x) (a)| < . Cqfd.
3) Différentiabilité de .
Supposons f différentiable en (a, b). > 0 > 0 (u, v)ER
||u|| < et |v| < | f(a + u, b + v) f(a, b) f’x(a, b).u f’y(a, b).v | < .(||u|| + |v|).
Si nous posons v = (a + u) (a), étant continue, > 0 uE ||u|| < |v| < .
Or b = (a) , f(a, b) = 0 et f(a + u, b+ v) = f(a + u, (a +u)) = 0.
Donc d’après (1)
|f’x(a, b).u + f’y(a, b).v)| < .(||u|| + |v|).
(3)
On en déduit d’abord que est bornée au voisinage de u = 0.
En effet, comme f’(a, b) > 0, (3) implique f’y(a, b).|v| ||f’x(a, b)||.||u|| < .(||u|| +|v|).
D’où
|v| (k + 1).||u|| , où k = 2.
f'x (a,b)
f'y (a,b)
si < 1 .f’y(a, b).
2
(4)
Pour u assez petit on a donc (4), d’où en divisant (3) par f’y(a, b) > 0 :
f'x(a,b).u
| = | (a + u) (a) + f'x(a,b).u | < (f2' (ka).,b) ||u||
(5)
y
f'y (a,b)
f'y (a,b)
1 f’x(a, b).
(5) montre que est différentiable en a, de différentielle ’(a) =
f'y (a,b)
|v+
4) Si f est de classe Cp, pour avoir A et B ouverts, il suffit de les diminuer un peu.
Le fait que est de classe Cp découle de ce que ’(x) =
f'x (x,(x))
, et d’une récurrence sur k p.
f'y (x,(x))
47
6. Extrema liés.
6.1. Le problème des extrema liés.
Donnons pour commencer trois exemples :
1) Déterminer max {a.x2 + 2.b.x.y + c.y2 ; x2 + y2 = 1} ;
2) Déterminer max {a.x + b.y + c.z ; x2 + y2 + z2 = 1} ;
3) Déterminer max {a.x + b.y + c.z ; x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 x = 0}.
Il s’agit dans les trois cas de déterminer les extrema (maximum ou minimum) d’une fonction f sur
un ensemble défini par des équations implicites :
Dans le premier cas, on cherche à maximiser f(x, y) = a.x2 + 2.b.x.y + c.y2 sur le cercle x2 + y2 = 1.
Dans le second cas, on veut maximiser f(x, y, z) = a.x + b.y + c.z sur la sphère x2 + y2 + z2 = 1.
Dans le troisième cas, on veut maximiser f sur l’intersection de deux surfaces, une sphère et un
cylindre (fenêtre de Viviani ou hippopède).8
Ce sont des problèmes d’ « extremums liés » ou « sous contraintes », que l’on peut formuler ainsi :
Soient U un ouvert de Rn, f, g1, …, gp : U R des fonctions de classe Ck (1 k +) .
On se propose de déterminer les extrema locaux ou globaux de la restriction de f à l’ensemble :
p
A=
gi1(0) = {x = (x1, …, xn)U ; g1(x1, …, xn) = … = gp(x1, …, xn) = 0}.
i 1
Comme dans le cas des extrema sans contraintes, il n’y a pas de cns d’extremum local ; nous nous
contenterons de la classique condition nécessaire due à Lagrange.
6.2. Condition nécessaire du premier ordre, multiplicateurs de Lagrange.
Proposition 1 : Soient U un ouvert de Rn, f, g : U R deux fonctions de classe Ck (1 k +).
On suppose l’hypersurface
A = g1(0) = {x = (x1, …, xn)U ; g(x1, …, xn) = 0} non vide
Si f|A présente un extremum local au point a, et si grad g(a1, … , an) , alors :
(R) f’(a) = .g’(a) , i.e. grad f(a) = . grad g(a).
Géométriquement, cette condition signifie que les surfaces g(x) = 0 et f(x) = f(a) sont tangentes en
a, i. e. ont en a des vecteurs normaux colinéaires.
Démonstration : Soit a un extremum local. On a grad g(a) . Supposons par ex.
g
(a) 0.
xn
En vertu du théorème des fonctions implicites, on peut écrire :
g(x1, … , xn) = 0 xn = (x1, … , xn1)
dans un voisinage de a, de sorte que :
h(x1, …, xn1) f(x1 , … , xn1 , (x1, …, xn1))
a en (a1, …, an1) un extremum local. La condition nécessaire d’extremum h (a1, …, an1) = 0,
xi
s’écrit, en vertu de la règle de la chaîne :
f
f
(a) +
(a).
(a1, …, an1) = 0 (1 i n1)
xi
xi
xn
Or l’identité g(x1, … , xn1 , (x1, … , xn1)) = 0 implique :
8
Ces exemples sont simples, et peuvent être traités élémentairement, sans utiliser la théorie qui va suivre (dans
le 3ème, il suffit de paramétrer l’hippopède).
48
g
g
(a) +
(a).
(a1, …, an1) = 0
xi
xi
xn
On en déduit aussitôt :
(1 i n1).
grad f(a) R. grad g(a). cqfd.
Théorème de Lagrange (1788) : Soient U un ouvert de Rn, f, g1, …, gp : U R des fonctions de
classe Ck (1 k +), et :
p
A=
gi1(0) = {x = (x1, …, xn)U ; g1(x1, …, xn) = … = gp(x1, …, xn) = 0}.
i 1
Si A est non vide, si f|A présente un extremum local au point aA, et si les formes linéaires g’1(a),
… , g’p(a) sont linéairement indépendantes, alors il existe une et une seule famille (1,…, n) de
réels, appelés multiplicateurs de Lagrange, telle que :
f’(a) = 1.g’1(a) + … + p.g’p(a) .
autrement dit :
grad f(a) = 1. grad g1(a) + … + p. grad gp(a) .
Commentaires :
1) Les conditions de Lagrange aA, f’(a) = 1.g’1(a) + … + p.g’p(a) fournissent les solutions
critiques du problème d’extrema liés. Il faudra ensuite discuter la nature de chacun des points
obtenus : certains pourront être des extrema globaux, d’autres des extrema locaux, d’autres enfin des
points cols. Les exemples développés ci-après sont simples, et l’on peut conclure notamment au
moyen d’arguments de compacité.
2) Supposons n = 3, p = 2. Alors A = {(x, y, z)U ; g1(x, y, z) = g2(x, y, z) = 0} est l’intersection
de deux surfaces : c’est un fermé relatif de U. Si g’1(a, b, c) et g’2(a, b, c) sont libres, A est au
voisinage de (a, b, c) un arc paramétré tangent à grad g’1(a, b, c) grad g’2(a, b, c), cet arc
pouvant être paramétré par x, y ou z. La condition de Lagrange exprime que le plan tangent à la
surface f(x, y, z) = f(a, b, c) contient la tangente à l’arc .
Preuve : L’unicité des multiplicateurs de Lagrange découle de l’indépendance des formes linéaires
g’i(a) (1 i p). Cette indépendance implique n p.
g = (g1, …, gp) : U Rp a une jacobienne JgL(Rn, Rp) = MR(p, n) injective. On va construire,
grâce au théorème des fonctions implicites une représentation locale de A au voisinage de a.
g1
g1
x (a)...x p (a)
1
Supposons par exemple ... ... ... Glp(R).
g p
g p
(a)... (a)
x p
x1
Alors au voisinage de a existent des fonctions implicites 1, …, p telles que :
g1(x1, …, xn) = 0
. . . . . . . .
gp(x1, …, gn) = 0
x1 = 1(xp+1, …, xn)
. . . . . . . . .
xp = p(xp+1, …, xn)
On a
h[1, p]
gh(1(xp+1, …, xn), …, p(xp+1, …, xn), xp+1, …, xn) = 0,
d’où
h[1, p]
j[p+1, n]
p
(
gh i
x . x
i 1
i
j
+
gh
)(x) = 0
x j
(A)
Par ailleurs (xp+1, … , xn) f(1(xp+1, …, xn), …, p(xp+1, …, xn), xp+1, …, xn)
a en (ap+1, …, an) un extremum local.
49
j[p+1, n]
D’où :
p
(
f i
x . x
i 1
i
f
)(x) = 0
x j
+
j
(B)
Afin d’éviter le recours à la dualité abstraite, munissons Rn de sa structure euclidienne standard, et
notons j = t(
Alors
(A)
1
p
(a ) , … ,
(a) , 0, …, 0) pour p+1 j n.
x j
x j
h[1, p]
(B)
j[p+1, n]
j[p+1, n]
( grad gh(a) | j ) = 0
( grad f(a) | j ) = 0
(A) implique Vect ( p 1 , …, n ) Vect ( grad g1 (a) , … , grad g p(a) ) .
La liberté des j implique égalité des dimensions, donc égalité des deux sous-espaces.
(B) donne alors grad f(a) Vect ( p 1 , …, n ) = Vect ( grad g1 (a) , … , grad g p(a) ). Cqfd.
6.3. Exemples et applications.
Un problème de plus court chemin.
Dans le plan euclidien, soient D une droite, F et F’ deux points non sur D. Cherchons le minimum
sur D de la fonction f(M) = FM + F’M.
La réponse est immédiate si F et F’ sont de part et d’autre de D : le minimum est atteint à
l’intersection de D avec le segment FF’. Si F et F’ sont
d’un même côté de D, on se ramène au cas précédent en
considérant le symétrique F’’ de F’ par rapport à D : la
fonction f(M) = FM + F’’M atteint son minimum à
l’intersection A de D et de FF’’.
D’après la théorie des extrema liés, l’ellipse de foyers F
et F’ passant par A, qui est une courbe de niveau de f, est
tangente en A à X. On retrouve une propriété classique de
cette tangente, bissectrice extérieure de l’angle F’AF .
Applications de la théorie de extrema liés à des inégalités classiques.
Exercice 1 : Chercher les extrema locaux de f(x, y, z) = x.y.z sur K = {(x, y, z)R+3 ; x + y + z = s}
Plus généralement, chercher les extrema locaux de
f(x1, …, xn) = x1 … xn sur K = {(x1, …, xn)R+n ; x1+ …+ xn = s}.
Quelle inégalité classique retrouve-t-on ?
Exercice 2 : Soient a et b deux réels > 0, p un réel > 1 donnés.
Calculer le maximum de f(x, y) = a.x + b.y sur le domaine K = {(x, y) ; x > 0, y > 0 , xp + yp = 1}.
Exercice 3 : Soient x1, …, xn > 0. Montrer
En déduire, si x1, …, xn, y1, …, yn > 0,
n
n
x1 .x2...xn = min{ 1
n
x1 .x2...xn +
n
n
u .x
i
i
; ui > 0 et
i 1
u
i
= 1}.
y1 .y2...yn n (x1 y1 )....(xn. yn) .
Applications de la théorie des extrema liés aux espaces euclidiens.
Dans les exercices suivants, que l’on résoudra à l’aide de la théorie des extrema liés, E désigne un
espace euclidien de dimension n, (x | y) son produit scalaire, ||x|| la norme associée.
Exercice 1 : Retrouver la théorie de la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel ou affine.
Exercice 2 : Soit u un endomorphisme autoadjoint défini positif, y un vecteur de E.
50
Minimiser (u(x) | x) sur {xE ; (x | y) = c}
Exercice 3 : Soit B = (e1,…, en) une base orthonormée de E.
Maximiser | detB(x1,…, xn) | sur l’ensemble A = {(x1,…, xn)En ; ||x1|| 1, …, ||xn|| 1}.
En déduire l’inégalité de Hadamard : (x1,…, xn)En
| detB(x1, …, xn) | ||x1|| … ||xn|| .
Exercice 4 : Soit u un endomorphisme autoadjoint.
1) Minimiser et maximiser (u(x) | x) sur la sphère unité ||x|| = 1.
2) Minimiser et maximiser (u(x) | x) + (u(y) | y) sur l’ensemble des familles orthonormées de deux
vecteurs. Généraliser aux familles orthonormées de k vecteurs.
Exercice 5 : On suppose u autoadjoint défini positif, de valeurs propres 1 … n > 0.
On considère les fonctions : f(x) = (u(x) | x).(u1(x) | x)
et
g(x) = ||u(x)||2 (u(x) | x)2 .
(1 n)²
4.1.n
1) Montrer que 1 = min{f(x) ; ||x|| = 1} max{f(x) ; ||x|| = 1} =
(Inégalité de Kantorovitch).
2) Montrer que 0 = min{g(x) ; ||x|| = 1} max{g(x) ; ||x|| = 1} =
(1 n)²
.
4
__________
Exercices
Exercice 1 : Parmi tous les parallélépipèdes rectangles de surface donnée S, quels sont ceux de
volume maximum ?
Exercice 2 : Extrema de f(x, y, z) = x.y + y.z + z.x, x, y et z étant liés par la relation x + y + z = 1.
Application géométrique.
Exercice 3 : Soient a, b et c 3 réels tels que 0 < a < b < c, S la surface d’équation
x4 y 4 z4
+
+
= 1.
a 4 b 4 c4
Trouver les extrema sur S de la fonction f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 .
Exercice 4 : Soient a1, …, an des réels > 0. Trouver le maximum de x1 … xn , les réels x1, … , xn
étant > 0 et liés par
(xi/ai)2 = 1.
Exercice 5 : Extrema de la fonction f(x, y, z) = x.ln x + y.ln y + z.ln z , x, y et z étant liés par la
relation : x + y + z = 3a , a > 0.
Exercice 6 : Soient a, b, c et k des réels > 0, a, b et c étant distincts de 1.
Extrema de la fonction f(x, y, z) = (1 + x).(1 + y).(1 + z) , les variables x, y et z étant liées par la
relation ax.by.cz = k.
Exercice 7 : 1) Soit la courbe d’équation F(x, y) = 0. Comment trouver les points de maximisant
x2 + y2 ?
2) Exemple : Montrer que la courbe d’équation y2.(2 y2) = x2.(x 2).(x 1) est bornée.
Comment calculer la distance maximale de (0, 0) à un point de cette courbe ?
a b .
Exercice 8 : On identifie M2(R) et R4 via la bijection (a, b, c, d) A =
c d
2
2
2
2
t
Montrer que les extrema de f(a, b, c, d) = a + b + c + d = tr( A.A) sur le groupe Sl(2, R) = {A ;
det A = 1} sont atteints en les points de O+(2, R).
Exercice 9 : Rn, n 2, est muni de sa structure euclidienne canonique ; soit S sa sphère unité.
51
Soit F : Rn R une application de classe C1 ; on suppose = {xRn ; F(x) = 0} non vide, bornée,
et régulière, i.e. (x) grad f(x) 0. Montrer que x
grad f(x)
S est surjective.
grad f(x)
[Indication : Soit uS ; maximiser ( OM | u ) sur .]
Exercice 10 : Soient E un espace affine euclidien de dimension n, S une sphère de rayon R, A 0, A1,
…, An n+1 points de S. Montrer que le maximum de det(( A0 Ai A0 Aj ) ) vaut
(n1)n 1 2n
.R .
nn
Interprétation géométrique ?
Exercice 11 : 1) Déterminer sup {
xyz
; x, y, z > 0, x + y + z = 1}.
(1 x)(1 y)(1 z)
2) Dans le plan euclidien, soient ABC un triangle, et des points A’[BC], B’[CA], C’[AB] tels
que les droites AA’, BB’ et CC’ soient concourantes en un point M. Comment faut-il choisir le point
M pour que le rapport de l’aire de A’B’C’ à l’aire de ABC soit maximal ?
Exercice 12 : Contre-exemples.
1) Trouver le point minimisant la distance de O à la courbe d’équation y2 = (x 1)3. Existe-t-il des
multiplicateurs de Lagrange dans ce cas ?
2) Construire un exemple dans lequel existent une infinité de multiplicateurs de Lagrange.
__________
D. Introduction au calcul des variations.
« On comprend de la manière la plus évidente que, parmi l'infinité des combinaisons
et des séries possibles, celle qui existe est celle par laquelle le maximum d'essence ou de
possibilité est amené à exister.
En l'absence de toute autre détermination, ce qui se réalise est le maximum possible
eu égard à la capacité du temps et de l'espace. »
Gottfried Wilhelm Leibniz
De la production originelle des choses.
Le calcul des variations est une extension de la théorie des extrema liés, lorsque l’inconnue n’est
plus un vecteur de Rn, mais une courbe, c’est-à-dire une fonction de classe Ck d’une ou plusieurs
variables, soumise à des contraintes : on cherche donc à maximiser ou minimiser une « fonctionnelle », c’est-à-dire une fonction de fonctions. Le domaine de définition de cette fonctionnelle est
une partie d’un espace de dimension infinie, ce qui interdit tout argument de compacité. De ce fait, il
n’est pas facile de montrer que le problème posé a bien une solution.
C’est une branche importante de l’analyse, ayant des applications considérables en physique et
ailleurs. En effet, les trajectoires mécaniques ou optiques, les formes minérales ou végétales, les
arrangements macroscopiques ou microscopiques rencontrés dans la nature réalisent presque
toujours des extrema. Le fameux « Tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles » de
Leibniz n’est que l’expression philosophique d’une théorie mathématique à venir.
Le vieux problème des isopérimètres consiste à chercher la courbe de périmètre donné enserrant
l’aire maximum. La légende raconte que Didon, lorsqu’elle fonda Carthage, délimita la plus grande
étendue qu’elle put circonscrire à l’aide de lanières découpées dans la peau d’un taureau. Ce
problème, qui remonte à Zénodore et Pappus9 et fut repris bien plus tard par Hurwitz a des prolongements toujours actuels.
9
Cf Thomas Heath, A history of Greek mathematics, vol. II, p. 207.
52
La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, dans un espace euclidien. Sur une
sphère, ce sont les arcs de grands cercles. Sur une surface plus générale, ce sont les lignes
géodésiques, dont la recherche n’est pas simple.
En optique, les trajectoires des rayons lumineux réalisent le temps minimum pour joindre un
point à un autre : c’est le principe de Fermat de propagation de la lumière dans des milieux différemment réfringents.
En mécanique analytique, les mouvements obéissent au principe de moindre action de
Maupertuis et Hamilton.
La forme des alvéoles d’abeilles a intéressé Pappus, Kepler, Maraldi et Réaumur. Pappus a
affirmé que les parois hexagonales, et Réaumur a affirmé que le fond rhomboédrique de ces alvéoles
minimisent la quantité de cire nécessaire pour les fabriquer.
Les surfaces minima sont les surfaces d’aire minimum ayant un contour donné. Les bulles de
savon prennent de telles formes, etc. Ces surfaces, étudiées par Plateau au XIXème siècle, sont
toujours l’objet d’actives recherches.
Euler, Lagrange, Legendre, Jacobi, Weierstrass et Morse ont contribué notamment à cette théorie, à
laquelle les problèmes suivants introduisent.
Problème
Soit I le segment [a, b], a < b. Pour tout kN, on note Ck(I, R) l’espace vectoriel des fonctions de
classe Ck de I dans R. On note W(, ) = {y C1(I, R) ; y(a) = , y(b) = }.
Pour tout yC0(I, R) on note ||y|| = supxI |y(x)| .
Première partie : lemmes de du Bois -Reymond.
b
1) Soit fC0(I, R) telle que uW(0, 0)
f(x).u(x).dx = 0. Montrer que f = 0 .
a
b
b
a
a
v(x).dx = 0 g(x).v(x).dx = 0.
2) Soit gC0(I, R) telle que vC0(I, R)
Montrer que g est constante.
3) Soient A, BC0(I, R). Montrer l’équivalence des propriétés :
i) zW(0, 0)
b
a
[A(x).z(x) + B(x).z’(x)].dx = 0 ;
ii) B est de classe C1 et B’ = A.
[Ind. : Pour i) ii), on introduira A1(x) =
x
A(t).dt
a
et on intègrera par parties.]
Deuxième partie : équation d’Euler-Lagrange.
On note U = IRR, L : (x, u, v)U L(x, u, v)R une fonction de classe C1, dite lagrangien.
À toute fonction yC1(I, R) on associe la fonctionnelle ou action J(y) =
b
L(x, y(x), y'(x)).dx .
a
On cherche à minimiser J(y) parmi toutes les fonctions yW(, ).
1) Montrer que C1(I, R) est un espace de Banach pour y ||y|| = ||y|| + ||y’|| , et que W(, ) est
un sous-espace affine fermé de codimension 2.
2) Soient y, zC1(I, R). Montrer que : t R J(y + t.z)R est une fonction de classe C1.
Calculer ’(t). En déduire :
53
’(0) =
b
a
{ L (x, y(x), y’(x)).z(x) + L (x, y(x), y’(x)).z’(x)}.dx.
u
v
3) Soit y0W(, ). On suppose yW(, ) J(y) J(y0).
a) Déduire de 2) que, pour tout zW(0, 0)
{ L (x, y0(x), y’0(x)).z(x) + L (x, y0(x), y0’(x)).z’(x)}.dx = 0.
u
v
L
b) En conclure que x
(x, y0(x), y0’(x)) est de classe C1, et que :
v
b
a
(xI)
d L (x, y0(x), y’0(x)) = L (x, y0(x), y0’(x)) (équation d’Euler-Lagrange)
u
dx v
c) Traduire cette équation lorsque : L ne dépend pas de v ; L ne dépend pas de u ; L et y0 sont
des fonctions de classe C2 : former alors l’équation différentielle du second ordre vérifiée par y0.
4) Une réciproque. On suppose que pour tout x I, (u, v) L(x, u, v) est une fonction convexe.
Montrer que si y0 vérifie l’équation d’Euler-Lagrange, alors yW(, ) J(y) J(y0).
Troisième partie : applications.
1) Trouver les yC1(I, R) telles que y(a) = , y(b) = , et rendant minimum :
b
a
1 y'²(x) .dx . Interprétation géométrique ?
2) Trouver les yC1(I, R) telles que y(a) = , y(b) = , et minimisant
3) Trouver les yC1(I, R) telles que y(a) = , y(b) = , et minimisant
b
a
b
a
{y2(x) + y’2(x)}.dx.
{y’(x) + .y(x)}2.dx .
4) Trouver les yC1(I, R) telles que y(0) = 0, y() = 0, et rendant maximum :
b
a
{y2(x) y’2(x)}.dx
___________
Problème
On note E = C0([0, 1], R) et, pour tout a , Ea = {fE ;
1
f(x).dx = a}.
0
0) a) Montrer pour tout yE, la convergence de l’intégrale
1
0
1 y²(x)
.dx. Soit T(y) sa valeur.
x
b) Montrer l’existence de m(a) = inf yEa T(y).
Première partie : condition nécessaire d’extremum.
Dans cette partie, on suppose qu’il existe a > 0 et y Ea tels que m(a) = T(y).
1) Soit hE0 fixée. Montrer que : t (t) = T(y + t.h) est une fonction dérivable vérifiant :
’(0) =
1
0
y(x).h(x)
.dx = 0.
x.(1 y²(x))
2) Par un argument du dualité, montrer que :
54
1
y(x).h(x)
.dx
=
.
0 x.(1 y²(x))
0h(x).dx .
y(x)
3) En déduire x]0, 1]
= . Montrer ]0, 1[ . Exprimer alors y sur [0, 1].
x.(1 y²(x))
2 sin( 2)
4) On pose = sin , ]0, [. Montrer que a =
.
1cos(2)
2
(R) (hE)
1
5) a) Tracer l’arc paramétré x = u sin u , y = 1 cos u , 0 u 2, le reconnaître.
b) S’inspirer du tracé pour étudier, justifications à l’appui, les variations de :
2 sin( 2)
: ]0, [
2
1cos(2)
. En déduire 0 < a < .
2
Deuxième partie : réciproque.
On se donne ]0, [ ; on lui associe et a comme en I.4 et I.5, et on définit y comme en A.3.
2
1) Montrer que x 1 x² est convexe ; en déduire que T : E R est convexe.
2) Soit hE0 . En considérant (t) = T(y + t.h), montrer que T(y + h) T(y).
3) Récapituler le théorème obtenu.
Troisième partie : brachistochrone de Bernoulli.
On considère dans l’espace physique un plan vertical P rapporté à un repère orthonormé xOy , Ox
étant dirigé par l’accélération de la pesanteur .
Soit A(1, a), et une courbe d’équation y = f(x) où fC1([0, 1], R) , f(0) = 0 et f(1) = a. Un point
matériel M de masse m est abandonné en O, sans vitesse initiale, et se déplace sur sans frottement,
sous l’influence de la seule pesanteur.
On veut choisir pour que le temps mis par le point M pour joindre O à A soit minimum.
1) En considérant l’énergie cinétique du point M, exprimer sous forme intégrale le temps qu’il met
pour joindre O à A.
2) Déduire des résultats antérieurs que si a]0, [, le problème a une solution unique donnée par
2
f(x) =
x
0
².
.d , où = sin , = 1(a).
1².
3) Donner une représentation paramétrique de à l’aide de u = Arcsin(. x ).
Préciser la nature géométrique de et la tracer.
4) Quel est le temps mis pour joindre O à A ?
5) Que dire du problème posé lorsque a = , a > ?
2
2
Autres sujets : géodésiques du demi-plan de Poincaré (pb d’ENSET), la chaînette, et, dans un autre
domaine, les alvéoles d’abeilles.
L’exercice suivant montre qu’un problème d’extremum, dont les données sont différentiables, ne
possède pas nécessairement une solution différentiable. Un autre exemple est fourni par une corde
pesante, tendue entre deux points, et munie d’un anneau pesant, coulissant ou fixe.
55
Exercice
Un homme perdu en mer sait qu’il est à une distance r d’un rivage rectiligne. Malheureusement
le brouillard est si épais qu’il ignore la direction de cette plage.
Quelle est la route de longueur minimum qu’il doit suivre afin d’être sûr de toucher terre ?
Autrement dit, il s’agit de trouver une courbe plane, d’origine O, de longueur minimum et coupant
toute droite située à la distance r de l’origine.
Voici la réponse :
Si l’on note x l’angle mesuré en radians, la longueur
minimum cherchée est r.f(), où rend minimum la fonction
f(x) = 2. 4x + 2.tan x +
1 .
cos x
____________
Avec Maple
diff(f(x, y), x) ; diff(f(x, y), y) ; diff(f(x, y), x, y) ; …
dérivées partielles de f
mtaylor(f(x, y), [x, y], 5]
développement taylorien de f à l’ordre 5
with(plots)
package graphique pour tracer courbes et surfaces
with(EDPtools)
package d’équations aux dérivées partielles
____________
Bibliographie
G. Valiron : Théorie des fonctions (Masson)
H. Cartan : Cours de calcul différentiel (Hermann)
F. Rideau : Exercices de calcul différentiel (Hermann)
L. Schwartz : Cours de l’X, t. 1 (Hermann)
F. Rouvière : Petit guide de calcul différentiel (Cassini)
J.-B. Hiriart-Urruty : Optimisation et analyse convexe (Puf)
J.-C. Culioli : Introduction à l’optimisation (Ellipses)
Smirnov : Cours de mathématiques supérieures (Moscou)
P. Bérest : Calcul des variations (Ellipses).
P. Ciarlet : Introduction à l’analyse numérique matricielle p. 147-151 (Masson)
Cours de taupe divers et variés
Encyclopedia universalis :
Analyse mathématique
Calcul infinitésimal à plusieurs variables (G. Glaeser)
Equations aux dérivées partielles
Variétés différentiables
Calcul des variations (C. Godbillon)
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