DS2

MPSI 2 - Fénelon - maths - année 2015 - 2016
DEVOIR SURVEILLÉ N°2
Calculatrice collège seule autorisée.
Sur 82, ramené à 70.
O) Formules de trigo (1 par formule, -1 si non sue).
sin2x
cos2x
(les 3 expressions)
tan ab
cos cospq
I) Encore un système (sur 9).
1) Résoudre dans R2 le système de paramètre m :
2
4
2
mmx y m
Sx my
a) En écrivant des systèmes équivalents et en discutant suivant les valeurs de m (sur 5).
b) En utilisant les formules de Cramer (et en discutant tout autant !) (sur 4).
REM : on attend, au moins pour le a) une écriture correcte de l’ensemble des solutions
m
S
, partie de R2.
II) Inégalités, binôme, récurrence (sur 11).
1) a) Montrer que si x > 0, alors
12xx
(sur 1).
b) En déduire à l’aide de la formule du binôme que si x >0,
1
1
1 1 2
n
nn
xx
(sur 3).
2) a) Montrer que si
0AB
et
1x
, alors
B
Ax A B
x
(sur 3).
b) Redémontrer le 1) b), par récurrence cette fois (sur 4).
III) Récurence forte (sur 7).
Soit
n
u
la suite définie par
02u
et pour tout
0n
:
1 0 1
. ....
nn
u u u u
1) Déterminer et démontrer une formule pour
n
u
valable pour tout
1n
(sur 3).
2) Soit maintenant
n
v
la suite définie par
02v
et pour tout
0n
:
1 0 1
. .... 1
nn
v v v v
; montrer que pour tout n ≥ 1
1n n n
u v u 
(sur 4).
IV) Un encadrement de n ! obtenu grâce à la formule du binôme (sur 20).
1) n et p sont des entiers naturels ; montrer que si n  p  2,
( 1)
p
nn
ppp
(sur 2).

2) Montrer qu’on peut écrire
1)1( 1 pb p
a
pp
(sur 1) ; en déduire
n
ppp 2)1( 1
(sur 1).
3) En déduire à l’aide de la formule du binôme que
3
1
1
n
n
pour tout n  1 (sur
3).
4) On pose
!n
n
un
n
; vérifier que
n
n
nnu
u
1
1
1
(sur 1) ; en déduire que pour tout n
 2 ,
1
3 nn uu
(sur 1), puis une majoration de
n
u
faisant intervenir
1
u
(sur 1) et enfin
que
!3
3
n
n
n
(sur 1).
5) Montrer à l’aide de la formule du binôme que
1
12
n
n
pour tout n  1 (sur 2) ;
en déduire, avec une méthode similaire à celle de 4), que
!2
2
n
n
n
(sur 2).
6) Déduire de l’encadrement de n ! que nous venons d’obtenir, un encadrement de
2n
n
(sur 4) (allez, on vous donne le majorant :
1
2.9n
). Vérifier cet encadrement
pour n = 3 (sur 1).
V) PROBLEME (sur 31)
Le but de ce problème est de calculer
cos17
avec des radicaux, par une méthode
que le mathématicien Karl Friedrich Gauss a découverte en 1796 à l'âge de 19 ans.
Ayant posé
2 /17
, désignons par
k
M
le point de coordonnées
cos
sin
k
k
xk
yk
(
kZ
) dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
1) Montrer que
cos17
est l’opposé de l’un des
k
x
(sur 1) .
2) Vérifier que
17 17k k k
x x x
(sur 1).
3) Faire une figure soignée indiquant les points
1 2 16
, ,..,M M M
en prenant soin de
mettre sur une même verticale les points ayant même abscisse (sur 2).
4) Soit
8
1k k
sx
; justifier l'égalité 1+2s = 0 (sur 2).
5) Vérifier que
... ....
1
2
kl
x x x x
(pointillés à déterminer) (sur 1).
6) Soit
2
3
13
0
k
k
sx
et
21
3
23
0
k
k
sx
.
Nota : les puissances de 3 qui interviennent ici ne sont pas dues au hasard, mais au
génie de Gauss qui a appliqué au cas 17 une théorie plus générale qu'il avait bâtie.

a) Réécrire les sommes
1
s
et
2
s
en faisant intervenir des
i
x
dont les indices sont
compris entre 1 et 8 (sur 2). Que vaut
12
ss
?
b) Montrer que
20s
(sur 3).
c) Montrer que
12 2s s s
(sur 3).
d) En déduire les valeurs de
1
s
et
2
s
; on trouvera
117 1
4
s
(sur 2).
7) Soit
1 2 8 2 1 4
,t x x t x x   
.
a) Déterminer le signe de
20t
(sur 1).
b) Montrer que
12 /2t t s
(sur 2).
c) En déduire la valeur de
1
t
; on trouvera
117 1 34 2 17
8
t  
(sur 2).
8) Soit
3 6 7 4 3 5
,t x x t x x   
; déterminer
3
t
par une méthode semblable à celle de
la question 7) ; on trouvera
317 1 34 2 17
8
t   
(sur 4).
9) a) Vérifier que
2 8 3 /2x x t
(sur 1) .
b) En déduire la valeur de
8
x
puis de
cos17
à l'aide de radicaux carrés
éventuellement superposés (sur 4).
NOTA : le fait que l'on puisse exprimer
cos n
à l'aide de radicaux carrés est assez
rare ; Gauss a montré que les seules valeurs de n où ceci est possible sont les nombres
de la forme
1
2 ..
mr
pp
où m est entier naturel et les
i
p
sont des nombres de Fermat
2
21
ki
premiers distincts. Or les seuls nombres de Fermat premiers que l'on connaît
sont 3, 5, 17, 257 et 65537 (et l'on pense qu'il n'y en a pas d'autre). ; cf M. Guinot,
Arithmétique pour amateurs, livre V, tome 2, p. 180.