DS2

MPSI 2 - Fénelon - maths - année 2015 - 2016
DEVOIR SURVEILLÉ N°2
Calculatrice collège seule autorisée.
Sur 82, ramené à 70.
O) Formules de trigo (1 par formule, -1 si non sue).
sin 2x
cos 2x (les 3 expressions)
tan  a  b 
cos p  cos q
I) Encore un système (sur 9).
1) Résoudre dans R2 le système de paramètre m :
mx  4 y  m2
 Sm  
 x  my  2
a) En écrivant des systèmes équivalents et en discutant suivant les valeurs de m (sur 5).
b) En utilisant les formules de Cramer (et en discutant tout autant !) (sur 4).
REM : on attend, au moins pour le a) une écriture correcte de l’ensemble des solutions
Sm , partie de R2.
II) Inégalités, binôme, récurrence (sur 11).
1
1) a) Montrer que si x > 0, alors x   2 (sur 1).
x
b) En déduire à l’aide de la formule du binôme que si x >0, 1  x 
n
n
 1
 1    2n 1
 x
(sur 3).
B
 A  B (sur 3).
x
b) Redémontrer le 1) b), par récurrence cette fois (sur 4).
2) a) Montrer que si A  B  0 et x  1, alors Ax 
III) Récurence forte (sur 7).
Soit  un  la suite définie par u0  2 et pour tout n  0 : un1  u0 .u1....un
1) Déterminer et démontrer une formule pour un valable pour tout n  1 (sur 3).
2) Soit maintenant
 vn 
la suite définie par v0  2 et pour tout n  0 :
vn1  v0 .v1....vn  1 ; montrer que pour tout n ≥ 1 un  vn  un1 (sur 4).
IV) Un encadrement de n ! obtenu grâce à la formule du binôme (sur 20).
n 
np
1) n et p sont des entiers naturels ; montrer que si n  p  2,   
(sur 2).
 p  p( p  1)
2) Montrer qu’on peut écrire
1
a
b
 
(sur 1) ; en déduire
p ( p  1) p p  1
n
1
 p( p  1)
p 2
(sur 1).
n
 1
3) En déduire à l’aide de la formule du binôme que 1    3 pour tout n  1 (sur
 n
3).
n
u
nn
 1
4) On pose u n 
; vérifier que n 1  1   (sur 1) ; en déduire que pour tout n
n!
un  n 
 2 , u n  3u n 1 (sur 1), puis une majoration de u n faisant intervenir u1 (sur 1) et enfin
n
n
que n !  3   (sur 1).
3
n
 1
5) Montrer à l’aide de la formule du binôme que 1    2 pour tout n  1 (sur 2) ;
 n
n
n
en déduire, avec une méthode similaire à celle de 4), que n !  2   (sur 2).
2
6) Déduire de l’encadrement de n ! que nous venons d’obtenir, un encadrement de
 2n 
n1
  (sur 4) (allez, on vous donne le majorant : 2.9 ). Vérifier cet encadrement
n
 
pour n = 3 (sur 1).
V) PROBLEME (sur 31)
Le but de ce problème est de calculer cos

17
avec des radicaux, par une méthode
que le mathématicien Karl Friedrich Gauss a découverte en 1796 à l'âge de 19 ans.
Ayant
posé
  2 /17 , désignons par
Mk
le point
de coordonnées
 xk  cos k
( k Z ) dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

 yk  sin k
1) Montrer que cos

est l’opposé de l’un des xk (sur 1) .
17
2) Vérifier que xk  x17k  x17 k (sur 1).
3) Faire une figure soignée indiquant les points M1 , M 2 ,.., M16 en prenant soin de
mettre sur une même verticale les points ayant même abscisse (sur 2).
8
4) Soit s   xk ; justifier l'égalité 1+2s = 0 (sur 2).
k 1
5) Vérifier que xk xl 
1
 x...  x....  (pointillés à déterminer) (sur 1).
2
3
3
k 0
k 0
6) Soit s1   x32 k et s2   x32 k 1 .
Nota : les puissances de 3 qui interviennent ici ne sont pas dues au hasard, mais au
génie de Gauss qui a appliqué au cas 17 une théorie plus générale qu'il avait bâtie.
a) Réécrire les sommes s1 et s2 en faisant intervenir des xi dont les indices sont
compris entre 1 et 8 (sur 2). Que vaut s1  s2 ?
b) Montrer que s2  0 (sur 3).
c) Montrer que s1s2  2s (sur 3).
d) En déduire les valeurs de s1 et s2 ; on trouvera s1 
17  1
(sur 2).
4
7) Soit t1  x2  x8 , t2  x1  x4 .
a) Déterminer le signe de t2  0 (sur 1).
b) Montrer que t1t2  s / 2 (sur 2).
17  1  34  2 17
(sur 2).
8
8) Soit t3  x6  x7 , t4  x3  x5 ; déterminer t3 par une méthode semblable à celle de
c) En déduire la valeur de t1 ; on trouvera t1 
 17  1  34  2 17
(sur 4).
8
9) a) Vérifier que x2 x8  t3 / 2 (sur 1) .

b) En déduire la valeur de x8 puis de cos
à l'aide de radicaux carrés
17
éventuellement superposés (sur 4).

NOTA : le fait que l'on puisse exprimer cos à l'aide de radicaux carrés est assez
n
rare ; Gauss a montré que les seules valeurs de n où ceci est possible sont les nombres
de la forme 2m p1.. pr où m est entier naturel et les pi sont des nombres de Fermat
la question 7) ; on trouvera t3 
22  1 premiers distincts. Or les seuls nombres de Fermat premiers que l'on connaît
sont 3, 5, 17, 257 et 65537 (et l'on pense qu'il n'y en a pas d'autre). ; cf M. Guinot,
Arithmétique pour amateurs, livre V, tome 2, p. 180.
ki