Suite et série --- résumé

Suite et série --- résumé
1. Suite
Une suite {ai} est une fonction de dans qui à tout nombre naturel i permet d'associer un nombre réel,
noté ai. Une suite {ai} est convergente lorsque
lim où
i
ia L L
.
Pour vérifier la convergence d’une suite, il faut donc calculer la limite suivante :
lim i
ia
.
2. Série
Soit la suite suivante : {ai} = a1, a2, a3, …
L'expression
1i ia
= a1 + a2 + a3 + … est appelée une série infinie.
La suite {sn}, appelée suite des sommes partielles de cette série, est définie par :
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
sn = a1 + a2 + a3 + … + an =
1
n
i
ia
Une série converge si la suite de sommes partielles associée à cette série converge vers un nombre réel
S, nous pouvons alors écrire :
1 2 3
11
si lim s lim n
i n i
nn
ii
a S a a a a S
Lorsque la suite des sommes partielles diverge, la série est alors divergente et elle n'a pas de somme finie.
3. Critères de convergence des séries
3.1 Critère de divergence
Si la série est à termes positifs, calculer
lim i
ia
. Si
1
lim 0 alors
ii
ii
aa
diverge.
Si
lim 0
i
ia
alors la série peut diverger ou converger, il faut utiliser un autre critère pour le déterminer.
Si la série est à termes alternés, calculer
lim | |
i
ia
. Si
1
lim | | 0 alors
ii
ii
aa
diverge. Cela revient à
calculer la limite du terme général de la série alternée sans tenir compte du signe.
Si
lim | | 0
i
ia
alors la série peut diverger ou converger, il faut vérifier la deuxième condition, c’est-à-dire
si les termes (sans tenir compte du signe) sont décroissants.

3.2 Séries géométriques
La série est-elle géométrique ?
Afin de le déterminer, calculez le rapport
1i
i
a
a
. Si ce rapport est constant, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas
de i, alors la série est géométrique.
Si la série est géométrique alors nous pouvons déterminer sa convergence de la façon suivante :
Forme
Suite de sommes partielles
Convergence
1
1
i
iar
où le rapport
1i
i
a
ra
est
constant et a est le premier
terme de la série.
Le terme général de la suite des
sommes partielles est :
(1 )
1
n
nar
sr
Il permet de calculer la somme
des n premiers termes de la
série.
Calculer r =
an1
an
Si -1< r < 1 alors la série converge
et on a que :
lim 1
n
n
a
sS
r
Si r ≤ -1 ou r ≥ 1 alors la série diverge.
et
lim n
ns
n'existe pas dans
.
3.3 Séries non géométriques
1i ia
Si la série est non géométrique à termes positifs alors nous pouvons vérifier sa convergence à l’aide des
critères suivants :
Critère
Calculs à faire
Conclusion
des séries-p de Riemann
1
1 1 1
123
p p p
ii
Déterminer la valeur de p
La série converge si
1p
La série diverge si
1p
du polynôme
1
()
()
i
Pi
Qi
P et Q sont des polynômes
p = degré numérateur
q = degré dénominateur
d = q – p
Si d > 1 alors la série converge.
Si d ≤ 1 alors la série diverge.
de D'Alembert
R =
1
lim i
ii
a
a
Si R < 1 alors la série converge.
Si R > 1 alors la série diverge.
Si R = 1, il faut utiliser un autre critère.
de l'intégrale
pour les séries à termes
décroissants
Soit f une fonction où ai = f(i)
série décroissante si
f’(x) < 0 ou ai+1 < ai
vérifier l'une ou l'autre de ces conditions
(diverge) (diverge)
11
converge converge() i
i
f x dx a

3.3 Séries non géométriques à termes alternées
1( 1)ii ia
ou
1
1( 1)ii ia
Si la série est telle que les signes des termes sont alternés alors nous pouvons vérifier sa convergence à
l’aide du critère suivant :
Critère
Calcul à faire
Conclusion
de la série alternée
1º vérifier la décroissance des termes ai
(termes sans tenir compte du signe) :
en calculant si f’(x) < 0 où ai = f(i)
ou en démontrant que ai+1 < ai
à partir d’un certain rang
2º calculer
lim i
ia
Si {ai} est décroissante à partir d'un
certain rang et
lim 0
i
ia
alors la
série converge.
Elle diverge si l'une ou l'autre de ces
deux conditions n'est pas respectée.
4. Séries de Taylor
4.1 Développement en séries de Taylor
Soit une fonction f indéfiniment dérivable sur un intervalle contenant a, nous pouvons développer cette
fonction en série de Taylor :
3
()
23
12 0
(3) ( )
23
0
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) où donc
!
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2! 3! !
i
i
o i i
iii
i
fa
f x c c x a c x a c x a c x a c i
f a f a f a
f x f a f a x a x a x a x a
i
La fonction f(x) égale cette série de puissance dans l’intervalle de convergence de la série, c’est-à-dire
pour les valeurs de x autour de a pour lesquelles la série converge.
Pour calculer les coefficients de cette série, on effectue les calculs suivants :
Dérivées successives
()() i
fx
Évaluation de
()() i
fa
Évaluation du coefficient
()()
!
i
ifa
ci
f(x) = ...
f(a) = ...
0() ()
0!
fa
c f a  
f ’(x) =...
f ’(a) = ...
1'( ) '( )
1!
fa
c f a  
f’’(x) = ...
f’’(a) =...
2()
2!
fa
c
…
…
…
Après avoir calculé quelques coefficients (5 au moins), vous devez être en mesure de déduire le
coefficient suivant et vous validez votre déduction en calculant ce coefficient.

Par la suite, vous écrivez le développement de la fonction en série et vous déterminez son terme général
3 4 5
2 3 4 5
12
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
o
i
f x c c x a c x a c x a c x a c x a
fx 
4.2 Intervalle de convergence
Afin de déterminer l'intervalle de convergence d'une série de puissance, nous utilisons le critère de
D'Alembert généralisé en calculant premièrement
1
lim i
ii
a
Ra
.
 Lorsque R est fonction de x, nous pouvons ainsi déterminer un intervalle de convergence,
c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles |R| < 1.
 Dans le cas des valeurs de x pour lesquelles |R| = 1, nous remplaçons ces valeurs de x dans la série et
nous utilisons les autres critères de convergence des séries numériques afin de conclure sur la
convergence ou la divergence de cette série pour ces valeurs de x.
Note : dans le cas où R ne dépend pas de x et que sa valeur est comprise entre -1 et 1 alors la série
converge pour tout
x
.
Nous obtenons alors que :
()
0
()
( ) ( ) pour tout appartenant à l'intervalle de convergence de la série.
!
ii
i
fa
f x x a x
i