1 S

T C/TD
MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES
Source : Lydie Germain lycée Clémenceau Reims :http://fizik.chimie.lycee.free.fr/
Objectifs :
 Énoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique.
 Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération.
 Connaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme : vitesse initiale non
nulle et force radiale.
 Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des masses
est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.
 Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète.
 Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant la
deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes.
 Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre.
 Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire.
 Connaître et justifier les caractéristiques imposées au mouvement d’un satellite pour qu’il soit géostationnaire.
 Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme.
 Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.
Intro : quelles sont les lois qui régissent le mouvement des astres ?
1. Les lois de Kepler
Première loi : loi des orbites
Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Une ellipse est une courbe dont les points M constitutifs sont tels que FM  MF  2 a .
F et F’ sont les foyers de l’ellipse et a le demi grand axe. Si F et F’ sont confondus, on retrouve un cercle.
Deuxième loi : loi des aires
Le rayon vecteur SP allant du Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des intervalles des temps
égaux. Un mouvement planétaire elliptique n’est jamais uniforme.
Si la trajectoire est un cercle, alors le mouvement est uniforme.
Troisième loi : loi des périodes
Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi grandaxe.
T2
Quelles que soient les planètes choisies, le rapport 3 est constant, la valeur de la constante dépend
a
uniquement des caractéristiques du Soleil (avec T la période et a le demi grand-axe).
2. La loi de gravitation universelle
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Nécessité d’une force pour obtenir un mouvement circulaire
Rappels de 2nde :
Un objet en mouvement circulaire (uniforme ou non) est soumis à une force. Une étude réalisée avec un
mobile autoporteur montre qu’il faut un fil tendu accroché au mobile et à un point fixe du référentiel d’étude
pour obtenir ce mouvement.
Le fil exerce une force dirigée vers le centre du cercle de la trajectoire : on dit que la force est centripète.
Par analogie, Newton en déduisit que les planètes étaient soumise à l’action d’une force centripète, et
comme il n’y a pas de fil entre planète et Soleil, il s’agit d’une force à distance, la force gravitationnelle.
La force d’interaction gravitationnelle
AB
La force exercée par un corps A sur un corps B est donnée par la
B


m
mAmB 
u AB  FB/A .
relation vectorielle : FA/B  G
u
AB 2
FA / B
La valeur de ces forces d’interaction est donnée par
A
FB/ A
mAmB
FA/B  G
 FB/A .
mA
AB 2
Cette relation est valable :
pour deux corps ponctuels ; (strictement vrai)
pour deux corps à symétrie sphérique ; (strictement vrai par application du théorème de Gauss)
si un objet est non ponctuel ou non symétrique, elle est valable lorsque l’un des deux corps est de
petites dimensions devant la distance qui le sépare de l’autre corps. (approximation)
La portée de l’interaction gravitationnelle est infinie.
B
AB
Cas du mouvement de la Lune
La Lune ne tombe pas sur la Terre malgré la force exercée sur elle FT L  G
A.N. : FT L  6,67 1011 
mT mL
.
d2
5,98 1024  7,35 1022
 1,99 1020 N
8 2
(3,84 10 )
Comme elle possède une vitesse initiale, on peut s’attendre à une chute parabolique comme dans le P12.
Or dans le cas de la Lune le champ de gravitation n’est pas uniforme, et la direction du vecteur force
change.
La Lune tombe sur la Terre, sa trajectoire s’écarte d’une droite et son mouvement n’est pas rectiligne et
uniforme. Cet écart ramène la Lune à chaque instant sur un cercle.
3. Le mouvement circulaire uniforme
P1
v1
Vecteur accélération
n
Hypothèse : le mouvement est uniforme donc v1  v2  v  cste .
En P1, v1  v
OP
OP2
, et en P2, v 2   v 1 .
r
r
dv
d  OP  v dOP2
Donc l’accélération s’écrit : a1  1   v 2  
et comme
dt dt  r  r dt
la dérivée du vecteur position en P2 est le vecteur vitesse en P2 donc
v
v OP v 2
a1  v 2   v 1  n .
r
r
r
r
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P2
v2
O
r
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Dans un mouvement circulaire uniforme : le vecteur accélération est non nul et centripète (dirigé vers le
centre).
v2
dv
Si le mouvement est circulaire mais non uniforme : a  n   . (  vecteur unitaire de la tangente).
r
dt
Le mouvement est circulaire uniforme si le vecteur accélération est centripète et donc la force résultante est
radiale (dirigée suivant un rayon).
Il faut de plus que la vitesse initiale de l’objet soit non nulle, sinon on observe une chute verticale.
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Cas des planètes
Le mouvement des planètes s’étudie dans le référentiel héliocentrique galiléen.
m M
M
M
On écrit la deuxième loi de Newton : FS/P   G P 2 S u SP  m P aP et donc aP   G S2 u SP  G S2 n .
SP
SP
SP
v2
Si P a un mouvement circulaire uniforme autour de S, son accélération doit être de la forme : aP  n .
r
2
M
M
v
L’accélération étant unique,
 G 2S et v  G S .
r
r
r
Période de révolution
On en déduit la période de révolution : T 
loi de Kepler :
circonférence
2πr
r3
et on retrouve la troisième

2π
vitesse
GMS
MS
G
r
T2 4 π2
. On constate que ce rapport ne dépend que de la masse de l’astre central.

r 3 GMS
Détermination de la masse d’un astre possédant un satellite
La formulation précédente de la 3ème loi de Kepler permet de déterminer la masse d’un astre possédant un
satellite (naturel ou artificiel), c’est ainsi que l’on « pèse » les planètes et les étoiles (si elles sont doubles).
En effet, la constante dépendant de la masse de l’astre central, il suffit de mesurer la période et le rayon de
4 π2 r3
l’orbite : M AC 
.
GT 2
Exemple : le rayon de l’orbite terrestre est r  1, 49 1011 m et sa période de révolution autour du soleil est
T = 365,25 jours. On en déduit M  2, 0 1030 kg .
Pour la Terre : dans le référentiel géocentrique la Lune a une période de révolution T = 27,321661 jours et la
distance moyenne Terre–Lune est r  3,84401108 m . On en déduit M  6, 0 1024 kg .
Les écarts avec les valeurs reconnues proviennent de l’approximation du mouvement circulaire uniforme.
4. Cas des satellites de la Terre
Vitesse de satellisation
Pour qu’un objet reste en orbite, il faut lui communiquer une vitesse perpendiculairement à la direction
Satellite – centre de la Terre, sinon on se retrouve dans le cas d’un mouvement radial correspondant soit à la
chute verticale ou à une évasion.
Si cette vitesse est inférieure à 11,2 km/s, l’objet est satellisé autour de la Terre.
Le mouvement des satellites s’effectue dans un plan (comme tous les mouvements dans un champ de
gravitation ??). Le vecteur force gravitationnelle qui permet à la trajectoire d’être circulaire est contenu dans
ce plan. On en déduit que le centre de la Terre est aussi situé dans le plan de la trajectoire.
À priori, on peut satelliser un objet à n’importe quelle altitude à condition de lui donner une vitesse
suffisante pour le maintenir sur l’orbite (et éviter qu’il ne retombe sur la Terre) mais pas trop importante
pour éviter l’évasion ou la libération.
Dans le cas d’une orbite circulaire, l’altitude h à laquelle se trouve le satellite est telle que r  R T  h et les
(R T  h)3
MT
et Tsat  2 π
.
G MT
RT  h
Le mouvement d’un satellite est indépendant de sa masse, ce qui n’est pas le cas de son lancement !
relation donnant sa vitesse et sa période de révolution sont vsat  G
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Cas des satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire reste en permanence à la verticale du même point de la surface terrestre.
Il est donc fixe dans le référentiel terrestre.
Conditions à remplir :
Stationnarité :
Lorsque la Terre tourne autour de l’axe des pôles, dans le référentiel géocentrique, les satellites stationnaires
doivent tourner avec la Terre. Si un satellite était stationnaire au-dessus de Reims sa trajectoire serait un
cercle ne passant pas par le centre de la Terre ce qui est impossible. Un satellite ne peut être stationnaire que
s’il est situé au dessus de l’équateur.
Un satellite est géostationnaire si le plan de son orbite est confondu avec le plan de l’équateur terrestre.
Tout satellite géostationnaire se trouve à la verticale d’un point de l’équateur.
Période :
Elle doit être la même que la période de rotation de la Terre autour de l’axe des pôles, c’est à dire un jour
sidéral : Tgéo = 86164 s soit 23h et 56 min.
Sens :
Le sens de rotation du satellite autour de la Terre doit être le même que celui de la Terre autour de l’axe des
pôles dans le référentiel géocentrique.
Toutes ces conditions doivent être réalisées simultanément
Résumé :
Le satellite géostationnaire se trouve dans le plan équatorial et à la verticale d’un point de l’équateur, son
sens de rotation est d’ouest en est et sa période de révolution est d’un jour sidéral Tgéo = 86164 s.
Conséquences :
1
L’altitude requise est h géo 
A.N. : h géo 
3
3
2
G MT Tgéo
4 π2
2
 G MT Tgéo
3
 RT  
 RT
 4 π 2 


6,67 1011  5,98 1024  861642
 6,38 106  3,58 107 m 36000 km .
4 π2
La vitesse sur l’orbite géostationnaire est vgéo  G
A.N. : vgéo 
MT
.
R T  h géo
6,67 1011  5,98 1024
 3,08 103m.s 1
6
7
6,38 10  3,58 10
3,1 km.s1 .
État d’impesanteur dans un satellite artificiel (Facultatif)
Comment un objet peut-il flotter à bord d’un satellite en orbite ?
Les dimensions du satellite sont suffisamment petites pour que le champ de pesanteur soit considéré comme
uniforme.
Dans une cabine spatiale, un spationaute désire mesurer le poids apparent d’un objet de masse m et de
centre de masse C. Il suspend l’objet à un ressort de raideur k accroché au plafond de la cabine.
Dans le référentiel de la cabine, l’objet est immobile donc P  T  0 .
Dans le référentiel géocentrique, l’objet est soumis à la force gravitationnelle et à la tension du ressort. La
mM T OC
OC
M
m aC car u 
2ème loi de Newton donne m aC  FT/C  T or aC  G 2T u et FT/C  G
et
2
OC
r
OC OC
r OC . La 2ème loi de Newton conduit donc à T  0 , la tension est nulle, le ressort ne s’allonge pas. Le
spationaute en déduit que le poids apparent de l’objet est nul comme pour tous les objets de la cabine, d’où
l’impression d’absence de pesanteur appelée impesanteur.
Explication du paradoxe : l’objet est toujours soumis à la force gravitationnelle exercée par la Terre et celleci est loin d’être nulle, il a donc un « poids », le problème découle de l’application de la loi de Newton dans
un référentiel non galiléen dans laquelle elle n’est pas valable. C’est comme lorsqu’on se déplace en voiture,
on n’a pas l’impression d’être en mouvement tant qu’on est à l’intérieur (les yeux fermés) car la voiture se
déplace à la même vitesse que ses passagers.
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