P2S3 : Etude des mouvements dans l`espace, correction de l`activite

Étude des mouvements des satellites
1.1 Appliquons la deuxième loi de Newton au satellite soumis
F P /S
uniquement à la force d'attraction gravitationnelle de la planète 
dans le référentiel galiléen planetocentrique.
d
p
d v
=mS.
=mS . a = 
F =
F P /S m S . a=
F P /S
dt
dt
F P /S étant centripète, l'accélération qui lui est colinéaire
1.2 La force 
l'est également. le mouvement est donc uniforme.(voir séquence 1)...
ou....deuxième loi de Kepler....
2.1 Les deux vecteurs du 1.1 étant égaux, leurs normes sont égales :
mS ×mP
G×mP
m S . a=F P /S =G×
soit a=
.
2
2
R
R
2.2 Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération tangentielle
2
v
est nulle donc a=
R
(on peut également remarquer que le mouvement étant uniforme on a
dv
d
v
=0 même si
nécessairement
n'est pas nul !!!)
dt
dt
2.3 Égalons les deux expressions : a=
v=

G×mP
R
G×mP
R
2
G×m P
v2
2
= soit v =
et
R
R
(démonstration à SAVOIR).
Résumé de la démonstration à savoir...
F P /S
-Application de la deuxième loi de Newton : m S . a=
-Expression de FP/S, égalité des normes des vecteurs
-Justification mvt circulaire → uniforme
2
v
-Expression a=
R
-Expression de v
2 R
v
=
expression de T
T
Déterminons l'ordre de grandeur de la vitesse d'un satellite
géostationnaire :
le satellite parcours une distance d=2  R en un temps T. On a donc :
2 R
v=
. Son altitude est 35 786 km donc R= 35786+6370 =42156km,
T
sa période de révolution est bien sur de 24h ! Soit
2 R 6×42 000 6×6×7 000 2×3×7 000 21000
v=
=
=
=
=
=10000 km/h
T
24
6×4
2×2
2
On peut également utiliser l'expression que l'on vient de démontrer
(mais c'est un peu plus long....
−11
24
−11
24
24−11
G×mP
6,67.10 ×5,98.10
7.10 ×6.10
42 .10
v=
=
=
=
6
R
42000000
6×7000000
6×7×10
24−11−6
7
6
3
10
=
10
=
10×10
=10
× 10=3000m/ s

 




3.1 Le périmètre de la trajectoire est d=2  R . La vitesse du satellite
2 R
2R
étant constante on a : v =
et T =
T
v



R
R×R 2
R3
3.2 T =2  R×
(démonstration à
=2 ×
=2 ×
G×m P
G×m P
G×m P
SAVOIR)
3
2
2
R
T
4
T
=4

×
=
Soit
et finalement 3
la constante ne
G×mP
R G×m P
dépend donc que de la planète centrale.
2
2