C3_sinusoidal

Chapitre 3
REGIME ALTERNATIF SINUSOIDAL
1
I.
Introduction
On entend par régime sinusoïdal le régime permanent qui s’établit après la mise sous tension d’un
circuit linéaire en réponse à une entrée (source de tension ou de courant) sinusoïdale. D’un point de
vue mathématique, ce régime correspond à la SPET des équations différentielles qui régissent le
circuit : toutes les grandeurs électriques sont donc supposées sinusoïdales.
 u(t)U 2cos(tu) ; i(t)I 2 cos(ti)
u(t), i(t)
ÛU 2
U 2 cosu
I 2 cosi
t
t
T 2

Déphasage de i par rapport à u : i/ u u i  2tt
T
 positif  i en retard par rapport à u
II.
Vecteurs de Fresnel
1) Définition

u(t) est la projection horizontale d’un vecteur de norme U U 2 tournant à la vitesse
angulaire  et faisant un angle u à l’instant t=0 avec l’axe de projection. On représente
généralement les vecteurs de Fresnel associés à différentes grandeurs (de même pulsation donc
tournant à la même vitesse) à l’instant t=0, faisant ainsi un angle égal à leur phase à l’origine
par rapport à l’axe de projection :


U

I

u
 
 = angle ( I ,U)
i
axe de projection
En pratique, la norme du vecteur est associée à la valeur efficace plutôt qu’à la valeur
maximale de la grandeur représentée.
2
2) Equivalence des opérations
II.

  
Addition : u(t)=u1(t)+u2(t)  UU1U2

 
Multiplication par une constante : u(t)=ku1(t)  UkU1

Dérivation: u'(t)

Intégration :

du(t)
U 2sin( tu)U 2cos(tu  )  U' est obtenu
dt
2

en faisant tourner U de  et en multipliant sa longueur par 
2
sin( tu)

l’opération
2
U 2 1 cos(tu  )


2
intégration se traduit donc par une rotation de   et une division par  de la norme du
2
vecteur initial
u(t)dtU
Nombres complexes
On associe à la tension u(t)U 2cos(tu) le nombre complexe UUe ju
du(t)
 jU et u(t)dt 1 U
On obtient facilement les équivalences :
dt
j
III.
Impédance
1) Définitions
U
Z
I
Pour tout dipôle ou association de dipôles passifs linéaires, on peut définir une impédance
Z U et une admittance Y I  1
I
U Z
Z et Y étant des nombres complexes, ils leur correspondra toujours une forme algébrique du
type :
Z = R + jX
R (partie réelle) : résistance en  ; X (partie imaginaire) : réactance en 
avec Z R 2 X2 et Arg(Z)Arctan( X)
R
Y = G + jB
G : conductance en Siemens (S); B : susceptance en Siemens
avec Y G2 B2 et Arg(Y)Arc tan( B )
G
3
A partir des définitions de Z et Y, on a :
-
Arg(Z) =Arg(U)-Arg(I)=u-i= (déphasage de i(t) par rapport à u(t)) et cos R
Z
-
Arg(Y)=-Arg(Z)=- 
-
R
R
X
X
R  jX
jX
 2 et B  2
 2
Y 1  2 2  2R 2  2 2 donc G  2
2
2
Z R X R X R X
R X
Z
R X
Z
En utilisant les formules de puissance active P=UIcos et réactive Q=UIsin on obtient :
-
PRI2 GU2
QXI2 BU2
2) Impédance des dipôles élémentaires
R
L
u(t)Ri(t)
URI
di(t)
dt
U jLI
ZjL
j
Y 1 
jL L
i(t)C
i/ u  
2
P0
i / u  
2
P0
Q 1 I2 CU2
C
ZR
Y 1
R
i/ u 0
2
PRI 2 U
R
Q0
C
u(t)L
2
QLI2  U
L
du(t)
dt
I jCU
j
Z 1 
jC C
YjC
r
u(t)ri(t)L
L
di(t)
dt
U(r jL)I
Zr jL
1
r
jL
Y
 2
 2
2
r  jL r  (L) r  (L) 2
i/ u Arc tan( L)
r
r
P  r  I2  2
 U2
2
r  (L)
L
Q  L  I 2  2
 U2
r  (L) 2
Remarques :
-
une bobine consomme de la puissance réactive (Q > 0 en convention récepteur)
-
un condensateur fournit de la puissance réactive (Q<0 en convention récepteur
4
IV.
Association de dipôles
Dipôles en série : Zeq Zi Z1Z2Z3...
1
Dipôles en parallèles : Yeq Yi Y1Y2Y3... (attention : Zeq  1 
)
Yeq Y1Y2 Y3...
Quand il n’y a que deux impédances en parallèle, on peut obtenir directement l’impédance
Z Z
équivalente à l’aide de la relation : Zeq  1 2
Z1Z2
Z1

Zeq
Z2
V.
Etude d’un circuit
1) En utilisant des relations complexes
A partir du schéma électrique équivalent, il faut rechercher autant de relations complexes
indépendantes qu’il y a d’inconnues à déterminer. Le système d’équations obtenu peut être
résolu soit de manière algébrique (on utilise les nombres complexes jusqu’à la fin) soit à l’aide
d’un diagramme de Fresnel.
Pour établir les différentes relations, il faut utiliser toutes les lois et les théorèmes à
disposition :
-
loi des mailles pour les tensions
loi des nœuds pour les courants
théorème de Thévenin/Norton
théorème de Millman
formule du pont diviseur de tension
formule du pont diviseur de courant
2) En utilisant le théorème de Boucherot


Conservation de la puissance active : Pinstallation Précepteurs
Conservation de la puissance réactive : Qinstallation Qrécepteurs
2
2
Attention : la puissance apparente n’est pas conservée : Sinstallation  Pinstallati
on Qinstallation
f p installation 
Pinstallation
 cos installation
Sinstallation
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VI.
Quadripôles linéaires
1) Définition
Un quadripôle linéaire est une association de composants linéaires (actifs ou passifs) dont
on définit deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie :
ie
ve
is
Quadripôle
linéaire
vs
2) Fonction de transfert
L’étude d’un quadripôle est toujours réalisée en régime alternatif sinusoïdal. Son
comportement est complètement déterminé par sa fonction de transfert H(j) S où S et E
E
représentent les nombres complexes associés respectivement à la grandeur de sortie et à la
grandeur d’entrée du quadripôle.
H est un nombre complexe qui dépend généralement de la pulsation , qui en constitue la
variable d’étude, puisque les impédance des condensateurs et des bobines constitutives de la
plupart des quadripôles dépendent de .
3) Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode constitue un des modes de représentation graphique de la fonction
de transfert d’un quadripôle. La fonction de transfert étant un nombre complexe, deux
grandeurs sont nécessaires pour la représenter : module et argument ou partie réelle et partie
imaginaire.
Le diagramme de Bode comprend ainsi deux courbes :
-
la courbe de gain GdB20log( H) où H représente le module de H
la courbe de phase Arg(H)
Ces deux courbes sont tracées en fonction de la pulsation ou de la fréquence portée en abscisse
sur une échelle logarithmique :
6
Attention :
-
la fréquence nulle (f=0Hz) se situe à - à gauche (donc non représentable) en échelle
logarithmique (log(0) = -)
-
les graduations à l’intérieur d’une décade* ne sont pas linéaires
* On appelle :
-
décade un intervalle de fréquences allant de f à 10f
-
octave un intervalle de fréquences allant de f à 2f
Dans le cas courant où les grandeurs d’entrée et de sortie sont des tensions ( H
Vs
), on
Ve
obtient :
-
Vs
) , Vs et Ve étant les valeurs efficaces de vs(t) et ve(t)
Ve
Arg(H)Arg(Vs)Arg(Ve)vsve = déphasage de ve par rapport à vs
GdB20log(
Propriétés du gain GdB :

le gain est négatif quand H<1 soit Vs < Ve c’est à dire quand l’amplitude de vs(t) est
inférieure à celle de ve(t) : on parle alors d’atténuation.

le gain est nul quand H=1 soit Vs = Ve c’est à dire quand l’amplitude de vs(t) est égale
à celle de ve(t).

le gain est positif quand H>1 soit Vs > Ve c’est à dire quand l’amplitude de vs(t) est
supérieure à celle de ve(t) : on parle alors d’amplification.
Propriétés de la phase :

Arg(H)Arg(
Vs
)   = déphasage de ve par rapport à vs
Ve s e e/s
Conséquences :
-
Pour ve(t)Ve 2cos(te) on a en sortie : vs(t)H()Ve 2cos(te Arg(H())
-
Pour un signal d’entrée non sinusoïdal mais périodique, on détermine la sortie
correspondant à chaque harmonique (sinusoïdale) pour recomposer (théorème de
superposition) le signal complet de sortie
7
VII.
Filtres élémentaires
Les filtres sont des quadripôles spécifiques caractérisés par leur fonction de transfert et leur bande
passante (Band Width). La bande passante d’un filtre est par définition la bande de fréquence pour
H
laquelle H Max ce qui est équivalent à GdB>GMaxdB-3dB. Pour les filtres usuels, on se contente
2
généralement de tracer le diagramme asymptotique de Bode en utilisant les équations des asymptotes
en basse et en haute fréquence et en précisant la ou les fréquences de coupures *.
* fréquences pour lesquelles H 
H Max
2
1) Filtre passe-bas du 1er ordre
H() 1
1 j
H
1
1
 G(dB)20log(
)
2
1()2
1()
Arg(H)Arctan( )

Asymptote basse fréquence : G (dB)  0dB

Asymptote haute fréquence : G(dB)20log( 1 )20log( ) ce qui correspond à

l’équation d’une droite décroissante de pente égale à –20dB/dec. et passant par le point
(G=0dB ; =c).

Bande passante : G=0-3dB pour   c 
1
soit pour f fc  1 ; la bande passante
2

est donc définie par l’intervalle de fréquence : f=0 jusqu’à f=fc
8
2) Filtre passe-haut du premier ordre
j
H()
1 j

 G(dB)20log(  2 )
2
1()
1()
H
Arg(H)  Arc tan( )
2

Asymptote basse fréquence : G(dB)20log( ) ce qui correspond à l’équation d’une
droite croissante de pente égale à +20dB/dec. et passant par le point (G=0dB ; =c).

Asymptote haute fréquence : G (dB)  0dB

bande passante : G=0-3dB pour   c 
1
soit pour f fc  1 ; la bande passante
2

est donc définie par l’intervalle de fréquence : f=fc jusqu’à f= (théoriquement).
3) Passe bas du deuxième ordre
1
H()
12m j(j)22
Les courbes de gain et de phase de ce type de filtre sont paramétrées par la valeur du
1
coefficient d’amortissement m. L’atténuation est de 40dB/décade pour f  f c 
:
2  
9
VIII. Décomposition d’une fonction de transfert
Si on arrive à mettre H sous la forme d’un produit de fonctions de transfert
connues : HH1H2H3... alors :
-
HH1H2H3... 
GdB20log( H)20log( H1)20log( H2)20log( H3)...G1dBG2dBG3dB...
-
Arg(H)Arg(H1)Arg(H2)Arg(H3)...
Les courbes de gain et de phase s’obtiennent donc en faisant la somme des courbes de gain et
de phase des fonctions élémentaires.
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