Partie B

1
chapitre VIII
exercices et problèmes de synthèse
algorithmique et turbo-pascal
Algèbre linéaire et probabilités : Chaînes de Markov
1. (esco 93) Partie A
On considère la matrice M =
68
34
.
1°) a) Déterminer les valeurs propres de M.
b) La matrice M est-elle inversible ?
c) Déterminer une matrice inversible P et une matrice D diagonale telle que l'on ait M = PDP-1.
d) Pour n  N, calculer Mn.
2°) Calculer M2 ; Exprimer M2 en fonction de M et retrouver l'expression de Mn.
3°) On considère les deux suites u et v définies par leurs premiers termes u0 = 1, v0 = 0, et par les
relations : (n  N)
nn1n
nn1n
v
2
1
u
3
2
v
v
4
1
u
3
1
u
A l'aide de la matrice M, exprimer
1n
1n
v
u
en fonction de
n
n
v
u
. En déduire l'expression de un et vn en
fonction de n, puis les limites de un, vn lorsque n tend vers l'infini.
Partie B
Deux pièces A et B sont reliées entre elles de la manière indiquée par le schéma. Seule la pièce B
possède une issue vers l'extérieur. Une guêpe initialement dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre.
A B
Son trajet obéit aux règles suivantes :
a. Lorsqu'elle est en A au temps t = n, alors, au temps t = n+1,
elle reste en A avec une probabilité égale à 1/3,
ou elle passe en B avec une probabilité égale à 2/3
b. Lorsqu'elle est en B au temps t = n, alors, au temps t = n+1,
elle retourne en A avec une probabilité égale à 1/4,
ou elle reste en B avec une probabilité égale à 1/2,
ou elle sort à l'air libre avec une probabilité égale à 1/4.
Au temps t = 0, la guêpe est en A. Lorsqu'elle est sortie, elle ne revient plus.
On note An (respectivement Bn., Sn) les événements : " à l'instant t = n, elle est en A (respectivement
en B, elle sort), et un, vn, sn leurs probabilités respectives.
1°) a) Calculer u0, v0, s0, u1, v1, s1, s2.
b) Sachant qu'au temps t = 2 elle est en A, quelle est la probabilité qu'elle ait été en B au temps
t = 1 ?
c) En décomposant les événements An+1, Bn+1 selon un système complet, montrer que les suites un,
vn vérifient les relations de récurrence de la question A, 3°).
d) Interpréter alors les limites de un, vn trouvées dans cette question.

2
2°) Justifier : n  2 : sn =
4
1
vn-1 . En déduire sn en fonction de n.
3°) On note T la variable aléatoire égale à n, si Sn est réalisé.
a) Quelle est la loi de T ?
b) Vérifier que T - 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire E(T) et
V(T). Interpréter E(T).
c) Calculer la probabilité de l'événement : "la guêpe met plus de 10 intervalles de temps pour
réussir à sortir".
2. (ecricome 92) Un distributeur de jouets distingue trois catégories de jouets :
T : Les jouets traditionnels tels que poupées, peluches ;
M : les jouets liés à la mode inspirés directement d'un livre, un film, une émission ;
S : les jouets scientifiques vulgarisant une technique récente.
Il estime que :
(i) Le client qui a acheté un jouet traditionnel une année pour Noël choisira, l'année suivante, un
jouet de l'une des trois catégories avec une équiprobabilité.
(ii) Le client qui a acheté un jouet inspiré par la mode optera pour l'année suivante
pour un jouet T avec la probabilité 1/4,
pour un jouet M avec la probabilité 1/4,
pour un jouet S avec la probabilité 1/2.
(iii) Le client qui a acheté un jouet scientifique se décidera l'année suivante
pour un jouet T avec la probabilité 1/4,
pour un jouet M avec la probabilité 1/2,
pour un jouet S avec la probabilité 1/4.
Le volume des ventes de ce commerçant vient de se composer
d'une part p0 = 45/100 de jouets de la catégorie T
d'une part q0 = 25/100 de jouets de la catégorie M
d'une part r0 = 30/100 de jouets de la catégorie S.
On désigne par pn, qn, rn les parts respectives des jouets T, M, S dans les ventes du distributeur le n-
ième Noël suivant.
1°) Montrer que le triplet (pn+1, qn+1, rn+1) s'exprime en fonction du triplet (pn, qn, rn) au moyen d'une
matrice A que l'on formera.
2°) Diagonaliser A.
3°) Exprimer (pn, qn, rn) directement en fonction de n.
4°) Quelles parts à long terme les trois catégories de jouets représenteront-elles dans la vente si
l'attitude des consommateurs reste constante ?
3. (ecricome 93) Les produits référencés X, Y, Z se partagent un marché. On note xn, yn, zn les
proportions de consommateurs utilisant respectivement les produits X, Y, Z au n-ième mois, où n est
un entier naturel.
On observe les données suivantes :
* Utilisant le produit X un mois donné, respectivement 40%, 30%, 30% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
* Utilisant le produit Y un mois donné, respectivement 30%, 40%, 30% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
* Utilisant le produit Z un mois donné, respectivement 20%, 10%, 70% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
1°) Exprimer xn+1, yn+1, zn+1 en fonction de xn, yn, zn.
2°) On considère les matrices : A =
3,02,0
1,02,0
; Un =
n
n
y
x
; B =
1,0
2,0
. Montrer que l'on a, pour tout
entier n, l'égalité matricielle : Un+1 = AUn + B.
3°) Déterminer la matrice C telle que C = AC + B.

3
4°) On considère la matrice Vn = Un - C ; démontrer que, pour tout entier n : Vn = An V0.
5°) a) Calculer les valeurs propres de la matrice A.
b) Trouver une matrice P inversible telle que la matrice P-1AP soit diagonale.
c) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l'expression de la matrice An.
6°) En déduire les valeurs de xn, yn en fonction de n.
7°) Calculer zn en fonction de n.
8°) Quels sont à long terme les proportions de consommateurs utilisant respectivement les produits X,
Y, Z ?
4. (edhec 96) Partie I. On considère les matrices :
I =
100
010
001
, J =
111
111
111
et M =
3/26/16/1
6/13/26/1
6/16/13/2
.
1°) Exprimer J2, puis pour tout entier n supérieur ou égal à 2,Jn en fonction de J.
2°) En déduire que, pour tout entier naturel n : Mn =
J)
2
1
1(
3
1
I
2
1nn 
.
Partie II. Un mobile se déplace aléatoirement dans l'ensemble des sommets d'un triangle ABC de la
façon suivante : si, à l'instant n, il est sur l'un quelconque des trois sommets, alors à l'instant n + 1, soit
il y reste, avec une probabilité de 2/3, soit il se place sur l'un des deux autres sommets, et ceci avec la
même probabilité.
On note An l'événement : "le mobile se trouve en A à l'instant n"
Bn l'événement : "le mobile se trouve en B à l'instant n"
Cn l'événement : "le mobile se trouve en C à l'instant n".
On pose an = P(An), bn = P(Bn), cn = P(Cn).
1°) Pour tout entier naturel n, déterminer an + bn + cn.
2°) a) Exprimer, pour tout entier n, an+1, bn+1, cn+1 en fonction de an, bn, cn.
b) Déduire de la question précédente que :
n  N an+1 - bn+1 =
2
1
(an - bn) et an+1 - cn+1 =
2
1
(an - cn)
3°) On suppose, dans cette question seulement, que le mobile se trouve en A à l'instant 0.
a) Calculer an, bn, cn en fonction de n.
b) Vérifier que
n
n
n
c
b
a
est la première colonne de Mn.
c) Démontrer ce résultat.
4°) Expliquer comment retrouver, grâce à une méthode analogue à celle employée dans la troisième
question, les deux autres colonnes de Mn. (Aucun calcul n'est demandé.)
5. (ecricome 96) Première partie On désigne par E l'espace vectoriel R3 , par B = (e1, e2, e3) une base de
E, et par f l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans la base B, associe
le vecteur u' de coordonnées (x', y', z') dans la base B' tel que :
4x' = y
4y' = 4x + 2y + 4z
4z' = y
1°) Ecrire la matrice M de l'endomorphisme f dans la base B.
2°) Calculer les valeurs propres de f. f est-il diagonalisable ? M est-elle inversible ?
3°) Déterminer les sous-espaces propres de f.

4
Deuxième partie On dispose de deux urnes A et B : initialement l'urne A contient N boules noires
tandis que l'urne B contient N boules blanches, avec N  2. On y effectue une suite d'épreuves, chaque
épreuve étant réalisée de la façon suivante :
On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l'urne A est mise dans B,
celle tirée de B est mise dans A.
On appelle Yk la variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l'urne A à l'issue
de la k-ième épreuve et l'on pose Zk = Yk-1 - Yk, pour k entier naturel non nul, avec la convention Y0 =
N.
Pour k et j entiers naturels, on pose : p(k, j) = P(Yk = j). Ainsi :
P( Yk = j) = 0 si j > N
P( Y0 = N) = 1
P(Y0 = k) = 0 si k < N
P( Yk = -1) = 0
Première sous-partie Etude du cas particulier N = 2
On note Uk =
)2,k(p
)1,k(p
)0,k(p
, V =
1
4
1
6
1
et W =
1
2
1
6
1
.
1°) Déterminer U1. Calculer les probabilités conditionnelles : PYk = j (Yk+1 = i) pour i  {1,2,3}, et
j  {0,1,2} puis montrer que pour tout entier naturel k : Uk+1 = M.Uk .
2°) Prouver que, pour tout entier naturel k non nul : Uk =
VW
2
11k
3°) En déduire l'expression de p(k,0), p(k,1) et p(k,2) en fonction de k pour k entier naturel non nul.
4°) Montrer que l'espérance E(Yk) de la variable k est constante.
5°) Calculer la variance V(Yk) de la variable Yk en fonction de k et sa limite lorsque k tend vers +.
Deuxième sous-partie Retour au cas général Dans cette deuxième sous-partie, on revient au cas
général avec N  3 et on se propose d'étudier la convergence des suites :
( E(Yk) )kN* et ( V(Yk) )kN* .
1°) Calcul de l'espérance E(Yk) de la variable Yk :
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable Zk ?
Calculer : P(Zk = 1/ Yk-1 =j ), et :P(Zk = -1/ Yk-1 =j), pour j  N, j  N et k  N*.
b) En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturel k non
nul : E(Zk) =
N
2
E(Yk-1) - 1 .
c) Montrer que la suite ( E(Zk) )kN* est géométrique.
d) En déduire l'expression de E(Yk) et de E(Yk) en fonction de k et de N.
e) Montrer que les suites ( E(Zk) )kN* et ( E(Yk) )kN* sont convergentes et donner leur limite
quand k tend vers +.
2°) Calcul de la variance V(Yk) de la variable Yk : etc., etc. ...
6. (esc 99) Partie A : calcul matriciel.
On considère les matrices de M2(R) : A =
51
15
, D =
60
04
et I =
10
01
.
1. (a) Calculer A2.
(b) Déterminer les réels a et b tels que A2 = aA + bI.
(c) En déduire que A est inversible et exprimer A-1 en fonction de A et de I.
2. (a) Calculer les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
(b) Déterminer les sous-espaces propres de A.
(c) En déduire une matrice inversible P de M2(R) telle que : A = P D P-1. Calculer P-1.
3. (a) Montrer que pour tout entier naturel n : An = P Dn P-1.

5
(b) En déduire l'expression de la matrice Mn , où M =
6
1
A.
Partie B : probabilités.
On dispose de deux urnes U1 et U2 ainsi que d'une pièce de monnaie non truquée. Initialement, l'urne
U1 contient une boule blanche et deux boules noires et l'urne U2 contient deux boules noires. On
considère l'épreuve  suivante :
* on lance la pièce
* si on obtient pile on tire une boule de U1, sinon on tire une boule de U2.
* si la boule tirée est noire elle remise dans la même urne, sinon elle est remise dans l'autre urne.
Pour n entier naturel non nul, on désigne par Xn la variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans
laquelle se trouve la boule blanche à l'issue de n répétitions de .
I) Dans cette question on effectue une seule fois .
1. La notation PB1 signifiant : "la pièce a donné pile et on a tiré la boule blanche de U1" (on l'a donc
remise dans U2), calculer la probabilité de l'événement {PB1}.
2. En utilisant la même notation, décrire tous les résultats possibles de .
3. Déterminer la loi de la variable aléatoire X1.
4. Calculer E(X1) et V(X1).
II) On répète maintenant l'épreuve .
1. (a) Montrer : P(Xn+1 = 1 Xn = 1) =
6
5
et P(Xn+1 = 1 Xn = 2) =
6
1
.
(b) Calculer également P(Xn+1 =2 Xn = i) pour i = 1 et pour i = 2.
(c) En déduire P(Xn+1 = 1) puis P(Xn+1 = 2) en fonction de P(Xn = 1) et P(Xn = 2)
2. On pose Vn =
)2X(P
)1X(P
n
n
.
(a) Vérifier que Vn+1 = MVn où M est la matrice définie dans la partie A en 3.(b).
(b) Montrer alors que pour tout entier naturel non nul : Vn = Mn-1V1.
(c) A l'aide de la partie A, en déduire la loi de Xn.
Turbo-pascal et probabilités
7. (essec math 2 1992 ; partie I : fonction génératrice d'une v.a ; partie II : étude du tri à bulles)
Dans tout le problème, on désigne par n un nombre entier naturel non nul.
Partie I. 1°) Calcul de la somme des n premiers entiers. Justifier les formules suivantes :
2)1n(n
k
n
1k
et
6)1n2)(1n(n
k
n
1k
2
.
2°) Fonction génératrice d'une variable aléatoire. On considère un entier naturel p et une variable
aléatoire X à valeurs dans {0, 1, ... , p}. On lui associe la fonction suivante, dite fonction génératrice
de X : t  GX(t) =
p
0k
k
t)kX(P
.
Déterminer la fonction génératrice de X lorsque :
a) X suit une loi de Bernoulli de paramètre  ( réel tel que 0 <  < 1).
b) X suit une loi binomiale de paramètres n et  ( réel tel que 0 <  < 1).
3°) Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes. On considère désormais
des entiers naturels p1, p2, ... , et des variables aléatoires X1, X2, ... , Xn définies sur un même espace
probabilisé, indépendantes et à valeurs dans {0, 1, ... , p1}, ... , {0, 1, ... , pn} respectivement. On
note alors : Yn = X1 + X2 + ... + Xn
a) Etablir que la fonction génératrice de Y2 = X1 + X2 est le produit des fonctions génératrices de
X1 et X2.