Partie B

chapitre VIII
exercices et problèmes de synthèse
algorithmique et turbo-pascal
Algèbre linéaire et probabilités : Chaînes de Markov
1. (esco 93) Partie A
 4 3
 .
On considère la matrice M = 
8 6
1°) a) Déterminer les valeurs propres de M.
b) La matrice M est-elle inversible ?
c) Déterminer une matrice inversible P et une matrice D diagonale telle que l'on ait M = PDP-1.
d) Pour n  N, calculer Mn.
2°) Calculer M2 ; Exprimer M2 en fonction de M et retrouver l'expression de Mn.
3°) On considère les deux suites u et v définies par leurs premiers termes u0 = 1, v0 = 0, et par les
relations : (n  N)
1
1

u n 1  3 u n  4 v n

v  2 u  1 v
 n 1 3 n 2 n
u 
u 
A l'aide de la matrice M, exprimer  n 1  en fonction de  n  . En déduire l'expression de un et vn en
 v n 1 
 vn 
fonction de n, puis les limites de un, vn lorsque n tend vers l'infini.
Partie B
Deux pièces A et B sont reliées entre elles de la manière indiquée par le schéma. Seule la pièce B
possède une issue vers l'extérieur. Une guêpe initialement dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre.
A
B
Son trajet obéit aux règles suivantes :
a. Lorsqu'elle est en A au temps t = n, alors, au temps t = n+1,
elle reste en A avec une probabilité égale à 1/3,
ou elle passe en B avec une probabilité égale à 2/3
b. Lorsqu'elle est en B au temps t = n, alors, au temps t = n+1,
elle retourne en A avec une probabilité égale à 1/4,
ou elle reste en B avec une probabilité égale à 1/2,
ou elle sort à l'air libre avec une probabilité égale à 1/4.
Au temps t = 0, la guêpe est en A. Lorsqu'elle est sortie, elle ne revient plus.
On note An (respectivement Bn., Sn) les événements : " à l'instant t = n, elle est en A (respectivement
en B, elle sort), et un, vn, sn leurs probabilités respectives.
1°) a) Calculer u0, v0, s0, u1, v1, s1, s2.
b) Sachant qu'au temps t = 2 elle est en A, quelle est la probabilité qu'elle ait été en B au temps
t=1?
c) En décomposant les événements An+1, Bn+1 selon un système complet, montrer que les suites un,
vn vérifient les relations de récurrence de la question A, 3°).
d) Interpréter alors les limites de un, vn trouvées dans cette question.
1
1
vn-1 . En déduire sn en fonction de n.
4
3°) On note T la variable aléatoire égale à n, si Sn est réalisé.
a) Quelle est la loi de T ?
b) Vérifier que T - 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire E(T) et
V(T). Interpréter E(T).
c) Calculer la probabilité de l'événement : "la guêpe met plus de 10 intervalles de temps pour
réussir à sortir".
2°) Justifier : n  2 : sn =
2. (ecricome 92) Un distributeur de jouets distingue trois catégories de jouets :
T : Les jouets traditionnels tels que poupées, peluches ;
M : les jouets liés à la mode inspirés directement d'un livre, un film, une émission ;
S : les jouets scientifiques vulgarisant une technique récente.
Il estime que :
(i) Le client qui a acheté un jouet traditionnel une année pour Noël choisira, l'année suivante, un
jouet de l'une des trois catégories avec une équiprobabilité.
(ii) Le client qui a acheté un jouet inspiré par la mode optera pour l'année suivante
pour un jouet T avec la probabilité 1/4,
pour un jouet M avec la probabilité 1/4,
pour un jouet S avec la probabilité 1/2.
(iii) Le client qui a acheté un jouet scientifique se décidera l'année suivante
pour un jouet T avec la probabilité 1/4,
pour un jouet M avec la probabilité 1/2,
pour un jouet S avec la probabilité 1/4.
Le volume des ventes de ce commerçant vient de se composer
d'une part p0 = 45/100 de jouets de la catégorie T
d'une part q0 = 25/100 de jouets de la catégorie M
d'une part r0 = 30/100 de jouets de la catégorie S.
On désigne par pn, qn, rn les parts respectives des jouets T, M, S dans les ventes du distributeur le nième Noël suivant.
1°) Montrer que le triplet (pn+1, qn+1, rn+1) s'exprime en fonction du triplet (pn, qn, rn) au moyen d'une
matrice A que l'on formera.
2°) Diagonaliser A.
3°) Exprimer (pn, qn, rn) directement en fonction de n.
4°) Quelles parts à long terme les trois catégories de jouets représenteront-elles dans la vente si
l'attitude des consommateurs reste constante ?
3. (ecricome 93) Les produits référencés X, Y, Z se partagent un marché. On note xn, yn, zn les
proportions de consommateurs utilisant respectivement les produits X, Y, Z au n-ième mois, où n est
un entier naturel.
On observe les données suivantes :
* Utilisant le produit X un mois donné, respectivement 40%, 30%, 30% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
* Utilisant le produit Y un mois donné, respectivement 30%, 40%, 30% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
* Utilisant le produit Z un mois donné, respectivement 20%, 10%, 70% des consommateurs ont
l'intention d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivant.
1°) Exprimer xn+1, yn+1, zn+1 en fonction de xn, yn, zn.
x 
 0,2 0,1 
 0,2 
 ; Un =  n  ; B =   . Montrer que l'on a, pour tout
2°) On considère les matrices : A = 
 0,2 0,3 
 0,1 
 yn 
entier n, l'égalité matricielle : Un+1 = AUn + B.
3°) Déterminer la matrice C telle que C = AC + B.
2
4°) On considère la matrice Vn = Un - C ; démontrer que, pour tout entier n : Vn = An V0.
5°) a) Calculer les valeurs propres de la matrice A.
b) Trouver une matrice P inversible telle que la matrice P-1AP soit diagonale.
c) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, l'expression de la matrice An.
6°) En déduire les valeurs de xn, yn en fonction de n.
7°) Calculer zn en fonction de n.
8°) Quels sont à long terme les proportions de consommateurs utilisant respectivement les produits X,
Y, Z ?
4. (edhec 96) Partie I. On considère les matrices :
1 0 0
1 1 1
 2 / 3 1/ 6 1/ 6 






I =  0 1 0  , J = 1 1 1 et M =  1 / 6 2 / 3 1 / 6  .
0 0 1
1 1 1
 1 / 6 1 / 6 2 / 3






2
1°) Exprimer J , puis pour tout entier n supérieur ou égal à 2,Jn en fonction de J.
1
1
1
2°) En déduire que, pour tout entier naturel n : Mn = n I  (1  n )J .
3
2
2
Partie II. Un mobile se déplace aléatoirement dans l'ensemble des sommets d'un triangle ABC de la
façon suivante : si, à l'instant n, il est sur l'un quelconque des trois sommets, alors à l'instant n + 1, soit
il y reste, avec une probabilité de 2/3, soit il se place sur l'un des deux autres sommets, et ceci avec la
même probabilité.
On note An l'événement : "le mobile se trouve en A à l'instant n"
Bn l'événement : "le mobile se trouve en B à l'instant n"
Cn l'événement : "le mobile se trouve en C à l'instant n".
On pose an = P(An), bn = P(Bn), cn = P(Cn).
1°) Pour tout entier naturel n, déterminer an + bn + cn.
2°) a) Exprimer, pour tout entier n, an+1, bn+1, cn+1 en fonction de an, bn, cn.
b) Déduire de la question précédente que :
1
1
n  N an+1 - bn+1 = (an - bn) et an+1 - cn+1 = (an - cn)
2
2
3°) On suppose, dans cette question seulement, que le mobile se trouve en A à l'instant 0.
a) Calculer an, bn, cn en fonction de n.
an 
 
b) Vérifier que  b n  est la première colonne de Mn.
c 
 n
c) Démontrer ce résultat.
4°) Expliquer comment retrouver, grâce à une méthode analogue à celle employée dans la troisième
question, les deux autres colonnes de Mn. (Aucun calcul n'est demandé.)
5. (ecricome 96) Première partie On désigne par E l'espace vectoriel R3 , par B = (e1, e2, e3) une base de
E, et par f l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans la base B, associe
le vecteur u' de coordonnées (x', y', z') dans la base B' tel que :
4x' = y
4y' = 4x + 2y + 4z
4z' = y
1°) Ecrire la matrice M de l'endomorphisme f dans la base B.
2°) Calculer les valeurs propres de f. f est-il diagonalisable ? M est-elle inversible ?
3°) Déterminer les sous-espaces propres de f.
3
Deuxième partie On dispose de deux urnes A et B : initialement l'urne A contient N boules noires
tandis que l'urne B contient N boules blanches, avec N  2. On y effectue une suite d'épreuves, chaque
épreuve étant réalisée de la façon suivante :
On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l'urne A est mise dans B,
celle tirée de B est mise dans A.
On appelle Yk la variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l'urne A à l'issue
de la k-ième épreuve et l'on pose Zk = Yk-1 - Yk, pour k entier naturel non nul, avec la convention Y0 =
N.
Pour k et j entiers naturels, on pose : p(k, j) = P(Yk = j). Ainsi :
P( Yk = j) = 0 si j > N
P( Y0 = N) = 1
P(Y0 = k) = 0 si k < N
P( Yk = -1) = 0
Première sous-partie Etude du cas particulier N = 2
 p(k,0) 
1 
  1


1 
1 
On note Uk =  p(k,1)  , V =  4  et W =  2  .
6 
6 
 p(k,2) 


1 
  1
1°) Déterminer U1. Calculer les probabilités conditionnelles : PYk = j (Yk+1 = i) pour i  {1,2,3}, et
j  {0,1,2} puis montrer que pour tout entier naturel k : Uk+1 = M.Uk .
 1
2°) Prouver que, pour tout entier naturel k non nul : Uk =   
 2
k 1
WV
3°) En déduire l'expression de p(k,0), p(k,1) et p(k,2) en fonction de k pour k entier naturel non nul.
4°) Montrer que l'espérance E(Yk) de la variable k est constante.
5°) Calculer la variance V(Yk) de la variable Yk en fonction de k et sa limite lorsque k tend vers +.
Deuxième sous-partie Retour au cas général Dans cette deuxième sous-partie, on revient au cas
général avec N  3 et on se propose d'étudier la convergence des suites :
( E(Yk) )kN* et ( V(Yk) )kN* .
1°) Calcul de l'espérance E(Yk) de la variable Yk :
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable Zk ?
Calculer : P(Zk = 1/ Yk-1 =j ), et :P(Zk = -1/ Yk-1 =j), pour j  N, j  N et k  N*.
b) En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturel k non
2
nul : E(Zk) =
E(Yk-1) - 1 .
N
c) Montrer que la suite ( E(Zk) )kN* est géométrique.
d) En déduire l'expression de E(Yk) et de E(Yk) en fonction de k et de N.
e) Montrer que les suites ( E(Zk) )kN* et ( E(Yk) )kN* sont convergentes et donner leur limite
quand k tend vers +.
2°) Calcul de la variance V(Yk) de la variable Yk : etc., etc. ...
6. (esc 99) Partie A : calcul matriciel.
5 1
 4 0
1 0
 , D = 
 et I = 
 .
On considère les matrices de M2(R) : A = 
1 5
 0 6
0 1
1. (a) Calculer A2.
(b) Déterminer les réels a et b tels que A2 = aA + bI.
(c) En déduire que A est inversible et exprimer A-1 en fonction de A et de I.
2. (a) Calculer les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
(b) Déterminer les sous-espaces propres de A.
(c) En déduire une matrice inversible P de M2(R) telle que : A = P D P-1. Calculer P-1.
3. (a) Montrer que pour tout entier naturel n : An = P Dn P-1.
4
(b) En déduire l'expression de la matrice Mn , où M =
1
A.
6
Partie B : probabilités.
On dispose de deux urnes U1 et U2 ainsi que d'une pièce de monnaie non truquée. Initialement, l'urne
U1 contient une boule blanche et deux boules noires et l'urne U2 contient deux boules noires. On
considère l'épreuve  suivante :
* on lance la pièce
* si on obtient pile on tire une boule de U1, sinon on tire une boule de U2.
* si la boule tirée est noire elle remise dans la même urne, sinon elle est remise dans l'autre urne.
Pour n entier naturel non nul, on désigne par Xn la variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans
laquelle se trouve la boule blanche à l'issue de n répétitions de .
I) Dans cette question on effectue une seule fois .
1. La notation PB1 signifiant : "la pièce a donné pile et on a tiré la boule blanche de U 1" (on l'a donc
remise dans U2), calculer la probabilité de l'événement {PB1}.
2. En utilisant la même notation, décrire tous les résultats possibles de .
3. Déterminer la loi de la variable aléatoire X1.
4. Calculer E(X1) et V(X1).
II) On répète maintenant l'épreuve .
5
1
1. (a) Montrer : P(Xn+1 = 1 Xn = 1) =
et P(Xn+1 = 1 Xn = 2) = .
6
6
(b) Calculer également P(Xn+1 =2 Xn = i) pour i = 1 et pour i = 2.
(c) En déduire P(Xn+1 = 1) puis P(Xn+1 = 2) en fonction de P(Xn = 1) et P(Xn = 2)
 P(X n  1) 
 .
2. On pose Vn = 
 P(X n  2) 
(a) Vérifier que Vn+1 = MVn où M est la matrice définie dans la partie A en 3.(b).
(b) Montrer alors que pour tout entier naturel non nul : Vn = Mn-1V1.
(c) A l'aide de la partie A, en déduire la loi de Xn.
Turbo-pascal et probabilités
7. (essec math 2 1992 ; partie I : fonction génératrice d'une v.a ; partie II : étude du tri à bulles)
Dans tout le problème, on désigne par n un nombre entier naturel non nul.
Partie I. 1°) Calcul de la somme des n premiers entiers. Justifier les formules suivantes :
n
n
n (n  1)( 2n  1)
n (n  1)
k

k2 
et
.


2
6
k 1
k 1
2°) Fonction génératrice d'une variable aléatoire. On considère un entier naturel p et une variable
aléatoire X à valeurs dans {0, 1, ... , p}. On lui associe la fonction suivante, dite fonction génératrice
de X :
t  GX(t) =
p
 P( X  k ) t
k
.
k 0
Déterminer la fonction génératrice de X lorsque :
a) X suit une loi de Bernoulli de paramètre  ( réel tel que 0 <  < 1).
b) X suit une loi binomiale de paramètres n et  ( réel tel que 0 <  < 1).
3°) Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes. On considère désormais
des entiers naturels p1, p2, ... , et des variables aléatoires X1, X2, ... , Xn définies sur un même espace
probabilisé, indépendantes et à valeurs dans
{0, 1, ... , p1}, ... , {0, 1, ... , pn} respectivement. On
note alors : Yn = X1 + X2 + ... + Xn
a) Etablir que la fonction génératrice de Y2 = X1 + X2 est le produit des fonctions génératrices de
X1 et X2.
5
b) Exprimer la fonction génératrice de Yn = X1 + X2 + ... + Xn à l'aide des fonctions génératrices
de X1, X2, ... , Xn . Retrouver le résultat obtenu en 2°)b) à partir du résultat obtenu en 2°)a).
4°) Etude d'un cas particulier. On suppose de plus que, pour tout entier k tel que 1  k  n, la variable
aléatoire Xk suit une loi uniforme sur {0, 1, ... , k - 1}, autrement dit :
1
P(Xk = 0) = P(Xk = 1) = ... = P(Xk = k - 1) = .
k
a) Calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires Xk (1  k  n), puis de la somme
Yn = X1 + X2 + ... + Xn .
On convient de noter la fonction génératrice Gn de Yn sous la forme suivante :
n ( n 1)
2
1
c n ,k t k .

n! k 0
b) En exprimant Gn+1 en fonction de Gn, déterminer cn+1,k en fonction des coefficients
cn,k , cn,k-1 , ... , cn,k-n.
Par convention on posera cn,k = 0 lorsque k < 0 ou lorsque k > n(n -1)/2.
c) Montrer que les coefficients cn,k sont des entiers naturels et calculer leur somme pour 0  k 
n(n - 1)/2.
d) Remplir un tableau à 5 lignes où cn,k figure en n-ième ligne et k-ième colonne pour 1  n  5 et
0  k  n(n -1)/2. Déterminer la loi et retrouver l'espérance de Yn pour n  5.
Partie II. On considère un tableau s = (s[1], s[2], ... , s[n]) dans lequel toutes les variables sont de
type entier et où les n entiers 1, 2, ... , n sont affectés dans un ordre quelconque aux n variables s[1],
s[2], ... , s[n] . L'objet de cette partie est l'étude de la complexité de l'algorithme suivant, visant à
ranger dans l'ordre croissant les éléments de ce tableau s :
begin
for i := 1 to n - 1 do
for j := 1 to n - i do
if s[j] > s[j+1] then Echanger ( s[i] , s[i+1] );
end.
(La procédure Echanger( x , y ) permute les valeurs des variables x et y.)
1°) Exemples de mise en œuvre de l'algorithme. On suppose dans cette question que n = 3. Indiquer
les valeurs contenues dans les variables s[1], s[2], s[3] après chaque appel de la procédure Echanger
lorsque l'on affecte initialement à (s[1], s[2], s[3] ) les 6 valeurs suivantes
(1, 2, 3)
(2, 3, 1) (3, 1, 2) (1, 3, 2)
(3, 2, 1)
(2, 1, 3) .
On précisera à chaque fois le nombre total d'appels de la procédure Echanger.
(On présentera les résultats obtenus dans six tableaux distincts.)
2°) Action de l'algorithme.
a) Déterminer la valeur contenue dans s[n] à l'issue de du passage dans la boucle suivante :
for j := 1 to n - 1 do
if s[j] > s[j+1] then Echanger ( s[i] , s[i+1] );
b) En déduire la valeur contenue en fin d'algorithme dans s[k] pour 1  k  n.
3°) Complexité de l'algorithme.
a) Exprimer en fonction de n le nombre de comparaisons d'entiers (>) effectuées au cours de
l'algorithme.
b) Ex primer en fonction de n les nombres maximal et minimal d'appels de la procédure Echanger
au cours de l'algorithme. On explicitera des tableaux s pour lesquels ces maximum et minimum sont
atteints.
Gn(t) =
On associe au tableau s et à tout entier k tel que 1  k  n :
- le nombre Uk(s) des entiers i tels que 1  i <k
et s[i] > s[k](avec U1(s) = 0.)
- la somme Vn(s) = U1(s) + U2(s) + ... + Un(s) .
On dit que Vn(s) est le nombre d'inversions du tableau s, autrement dit le nombre de couple d'entiers
(i, k) tels que : 1  i < k  n et
s[i] > s[k].
6
4°) Nombre d'appels de la procédure Echanger.
a) Lorsque s[j] > s[j + 1] , indiquer quel est l'effet de l'échange des valeurs de s[j] et s[j + 1] sur le
nombre des inversions du tableau s = (s[1], s[2], ... , s[n]) . En déduire le nombre d'appels de la
procédure Echanger lors du tri de s.
b) On suppose dans cette question que n = 3. Préciser ( U1(s) , U2(s) , U3(s) ) et V3(s) lorsque l'on
affecte initialement à s = ( s[1] , s[2] , s[3] ) les six valeurs :
(1, 2, 3)
(2, 3, 1) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (3, 2, 1)
(2, 1, 3) .
c) Rédiger un algorithme de calcul de Uk(s) (où 1  k  n) et de Vn(s).
(Les candidats sont tenus de rédiger les algorithmes en langage PASCAL, en conservant toutefois les
noms des variables introduites dans l'énoncé.)
On suppose dans la suite que les différentes façons d'affecter les n entiers 1, 2, ... , n aux n variables
s[1], s[2], ... , s[n] sont équiprobables et l'on note S n l'ensemble des différents tableaux s ainsi
obtenus. On considère U1, U2, ... , Un comme des variables aléatoires sur Sn.
5°) Lois des variables aléatoires U1, U2, ... , Un.
a) Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable Uk pour 1  k  n.
b) Déterminer la valeur contenue dans s[n] lorsque Un(s) = j (0  j  n). En déduire la loi de la
variable aléatoire Un.
c) Soit k un entier tel que 1  k < n. On suppose les valeurs de s[k + 1] , s[k + 2] , ... , s[n] choisies
de façon à ce que :
Uk+1(s) = uk+1 , Uk+2(s) = uk+2 , .... , Un(s) = un ,
où uk+1, uk+2 , ... , un sont des entiers tels que :
0  uk+1 < k + 1 , 0  uk+2 < k + 2 , ... , 0  un < n.
Il reste alors k nombres entiers s1 < s2 < ... < sk dans l'ensemble {1, 2, ... , n}, destinés à être affectés
dans un ordre quelconque à s[1] , s[2] , ... , s[k].
Déterminer la valeur contenue dans s[k] lorsque Uk(s) = j (0  j < k). En déduire la probabilité : P(
Uk = j / Uk+1 = uk+1 , ... , Un = n ) . Etablir que Uk est indépendante de Uk+1, Uk+2, ... , Un et déterminer
la loi de Uk.
6°) Conclusion
a) Déterminer en fonction de n l'espérance et la variance du nombre d'appels de la procédure
échanger au cours de l'algorithme, et donne des équivalents simples de ces expressions lorsque n tend
vers +.
b) Déterminer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé - Tchebichev des réels an et bn tels que le
nombre d'appels de la procédure Echanger lors du tri d'un tableau soit compris entre an et bn avec une
probabilité supérieure à 0,75. On précisera des valeurs entières approchées de an et bn pour n = 10 ²,
n = 104.
8. (edhec93) On effectue des lancers successifs au hasard d'un dé cubique non truqué jusqu'à ce que
certains événements soient réalisés.
1°) On suppose que l'on dispose d'une fonction PASCAL, notée die1, sans paramètre, qui fournit à
chaque appel, un entier pris au hasard entre 1 et 6 et on considère le programme PASCAL suivant qui
simule l'expérience décrite ci-dessus.
program X;
var c, k:integer;
begin
c:= 1;
k:=0;
while c <> 6 do
begin
k:=k+l;
7
c.=die;
end;
writeln(k);
end.
(a) Quel est l'événement qui doit être réalisé pour que l'on arrête les lancers du dé ? Que
représente l'entier k ?
(b) Exprimer en fonction de la valeur de k qui est affichée à la fin le nombre a(k)d'affectations et
le nombre c(k) de comparaisons effectuées lors de l'exécution du programme.
2°) Pour tout entier i compris au sens large entre 1 et 6, on note Xi la variable aléatoire égale au
nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre i pour la première fois.
Montrer que Xi suit une loi usuelle et donner les valeurs de l'espérance et de la variance de Xi.
3°) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le hiffre 1 et le
chiffre 2.
(a) Quel est l'ensemble E des valeurs prises par Y ?
(b) Montrer que, pour tout entier k de E :
P(Y =k) = P((X1 =k)  (X2 < k)) + P((X1 < k)  (X2 = k)),
et P(X1 = k) = P((X1 = k)  (X2 < k)) + P((X1 = k)  (X2  k))
(c) En déduire que, pour tout entier k de E :
P(Y = k) = 2[P(X1 = k) - P((X1 = k)  (X2  k))]
(d) Utiliser l'égalité précédente pour calculer P(Y = k) pour tout entier k de E.
(e) Ecrire un programme PASCAL qui simule les lancers successifs du dé et qui compte le
nombre de tirages nécessaires pour obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2. (On pourra utiliser la fonction
die ainsi que deux variables booléennes.)
1
die (pl.dice) signifie dé en anglais
9. (edhec97) Dans ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Partie I. On effectue des tirages au hasard dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à n.
Un tirage consiste à extraire une boule de l’urne, la boule tirée étant ensuite remise dans l’urne. On
note N la variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a
obtenu une boule déjà obtenue auparavant.
1°) On note N() l’ensemble des valeurs que peut prendre N.
Montrer que N() = [[2, n +1]].
Ak
2°) Montrer que :  k  [[1, n]], P( N > k) = kn . Rappel : A kn désigne le nombre d’arrangements de
n
k éléments d’un ensemble à n éléments.
3°) a) Montrer que :  k  [[2, n]], P(N = k) = P(N > k – 1) – P(N > k).
b) Calculer P(N = n + 1) puis en déduire la loi de N.
n
A kn
4°) Montrer que l’espérance E(N) de la variable aléatoire N est : E(N) =  k .
k 0 n
+
Partie II. Soit X une variable aléatoire, à valeurs dans R , de densité f (nulle sur R-* ) et de fonction
de répartition F. On suppose, de plus, f continue sur R+ .
On pose, pour tout réel x positif : (x) =

x
0
t f ( t ) dt .
1°) Montrer, grâce à une intégration par parties, que :
2°)
x
 [1  F(t)]dt  x.P(X  x) .
On suppose, dans cette question, que l'intégrale  [1  F(t )]dt converge.
x  R+ (x) =
0

0
a) Calculer  '(x) et en déduire que la fonction  est croissante sur R+.
b) Montrer que  est majorée et en déduire que X a une espérance.
8
c) Montrer que : x  R+, 0  x.P(X>x) 

 t f (t) dt .
x
d) En utilisant le fait que X a une espérance, montrer que lim


x   x
En déduire lim x P(X > x), puis montrer que : E(X) =
x  


0
t f ( t ) dt = 0.
[ 1 - F ( t )] dt .
Fn ( x )  0 si x  0

n
Partie III. On considère la fonction Fn, définie par : 
.
 x  -x
F
(
x
)

1

1


 e si x  0
 n
 n

1°) Montrer que Fn est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité Tn.

2°) a. Montrer que pour tout entier naturel k, l'intégrale Ik =  x k e  x dx converge.
0
b. Montrer que Ik+1 = (k + 1)Ik puis donner la valeur de Ik.
3°) En déduire, en utilisant la partie II, que Tn a une espérance et que E(Tn) = E(N).
Partie IV. On considère la déclaration de fonction suivante, rédigée en turbo-pascal :
function f(p,q:integer):real;
var j : integer ; z : real ;
begin if (p <= 0) or (q < 0) then write ('valeurs incorrectes')
else if (q = 0) or (q = 1) then f := 1
else begin
z := 1;
for j := 1 to (q - 1) do z := z * (1 - j/p) ;
f := z ;
end ; end ;
1°) Montrer que, si p est un entier naturel non nul et si q est un entier naturel :
A qp
f(p,q) =
.
pq
2°) Utiliser cette déclaration pour écrire un algorithme en turbo-pascal donnant la valeur commune de
E(N) et E(Tn) lorsque l'utilisateur entre la valeur de n au clavier.
turbo-pascal et analyse
10.(edhec 96) Partie I. On considère la fonction f définie sur R+* , par : f(x) = x - ln(x).
1) Etudier f et résumer cette étude par un tableau de variations.
2) Etudier le signe de f(x) - x , pour tout réel x strictement positif.
Partie II. On considère l'algorithme suivant :
Program iter ;
Var n, k : integer ;
a, u, p : real ;
Function f{x : real) : real ;
Begin
If x > 0 then f := x - ln(x) ;
End ;
Begin
Readln(n,a) ; u := a ; p := a ;
For k := 1 to n do begin
u := f(u) ;
p := p*u ;
end ;
9
Writeln(u, p) ;
End.
1) Dans le cas particulier où n = 3 et a = 2, donner les valeurs approchées à 10-4 près par défaut des
contenus des variables u et p à la fin de l'algorithme.
Dorénavant, dans le cas général, on note un et pn les contenus respectifs des variables u et p à la fin de
l'algorithme, lorsque leur calcul est possible.
2) a. Pour quelles valeurs de a peut-on définir la suite (un)nN dont le premier terme est
uo = a, et dont le terme général un est calculé par l'algorithme précédent ?
b. Pour les valeurs de a trouvées ci-dessus, donner en fonction de n le nombre d'appels de fonction
utilisés au cours de cet algorithme, ainsi que le nombre de soustractions, de multiplications et
d'affectations nécessaires au calcul de u et de p.
NB : le symbole := utilisé dans l'écriture "for k := 1 to n" ne sera pas considéré comme une
affectation, mais chaque appel de fonction nécessite une affectation (f:= ) et une soustraction.
3) Lorsque la suite (un)nN est bien définie, écrire, pour tout entier naturel n, la relation liant un+1 et un.
4) Pour quelle valeur de a la suite (un )nN est-elle constante ?
5) On suppose, dans cette question que a > 1 .
a. Montrer que, pour tout entier naturel n : un > 1 .
b. Etudier les variations de la suite (un)nN
c. En déduire que (un )nN converge et donner sa limite.
6) On suppose, dans cette question, que 0 < a < 1 .
a. Montrer que u1 > 1 .
b. En déduire que (un)nN est convergente et donner sa limite.
Partie III 1) En considérant ln(pn ), exprimer pn en fonction seulement de a et un+1 , puis calculer
lim p n .
n  
2) Ecrire alors un nouvel algorithme en Turbo Pascal, ne contenant aucune multiplication et
permettant le calcul de pn.
Partie IV Dans cette partie, on choisit a > 1 .
On pose, pour tout entier naturel n : vn = 
un
u n 1
f ( t )dt
1) Vérifier que la suite (vn)nN est bien définie.
2) a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+2 ln(un)  vn  un+1 ln(un).
b. En déduire que vn est équivalent à ln(un) quand n tend vers +.
Analyse
11. (d'après iscid 92) 1°) Rappeler le développement limité de ln(1 + u) à l'ordre 2 au voisinage de 0.
2°) Soit f la fonction définie sur R par : x  0 f(x) =
ln( 1  x 2 )
, et f(0) = 1.
x2
a) Montrer que f est continue et dérivable en 0.
b) Quelle est la nature de la courbe représentative de f au voisinage de + ?
c) Montrer que f est continue et dérivable sur R.
2
d) Etudier les variations de f : on montrera que : x  0 f '(x) = 3 g ( x ) , et on déterminera le sens
x
de variation de g et son signe.
e) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé.
2°) Soit I =


0
f (t )dt .
a) Avec une intégration par parties, déterminer les primitives de f sur R*+ .
10
b) Calculer I.
c) Déterminer la constante k telle que la fonction k.f soit une densité de probabilité.
3°) Soit, pour n  1, Sn =
k n
 f (k )
= f(1) + f(2) + ... + f(n).
k 1
a) Montrer que f(k) 

k
k 1
f (t )dt , pour tout entier k non nul.
b) En déduire que la suite (Sn)n1 converge (on ne cherchera pas sa limite).
c) Ecrire, en turbo-pascal, un programme qui calcule et affiche Sn, pour une valeur de n donnée
par l'utilisateur.
f ( x )  0 si x  0
On se propose d'étudier la
f ( x )  x si x  0
suite réelle (un) définie par la donnée de son premier terme u0 et la relation de récurrence
12. (escl 92) On considère la fonction définie sur R par : 
n  N un+1 = un +
1
 f(t - u
0
n
)dt
1°) Etude du cas 0  u0  1. On suppose 0  u0  1.
a) Montrer que la suite (un) est décroissante.
1
2
b) Montrer que, si 0  un  1, alors un+1 = 1  u n  . En déduire que, pour tout entier n positif ou
2
nul, un  1.
c) Montrer que la suite (un) est convergente ; déterminer sa limite.
2°) Etude des cas u0 < 0 et u0 > 1.
a) On suppose u0 < 0. Calculer u1. En déduire l'étude de la suite (un).
b) On suppose u0 > 1. Calculer u1, puis, pour tout entier positif n, un. Que dire de la suite (un) ?
3°) Interprétation graphique. On considère la fonction g définie sur R par :
g(x) = x +
1
 f (t  x)dt
0
.
a) Calculer pour tout nombre réel x la valeur de g(x). Construire le graphe de g dans un repère
orthonormé (unité graphique 2 cm).
b) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (un) dans les cas suivants :
u0 = -2
u0 = 0
u0 = 2.
13. (edhec 98) La partie I permet d'établir des résultats utiles pour les parties II et III. Les parties II et III
sont indépendantes entre elles.
On considère la fonction définie pour tout x  0 par f(x) = 1 - e -x .
Partie I
1°) a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Montrer que :  x  R f(x)  x, l'égalité ayant lieu seulement pour x = 0.
2°) a. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x :
n
n
x (x  t )
(1) k x k
n 1
-x
e =
 (1) 
e  t dt
0
k!
n!
k 0
b. En écrivant l'égalité précédente pour n = 2, puis pour n = 3, montrer que :
x2 x3
x2

 x  f (x) 
 x  R+
2
6
2
Partie II On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation :
n  N un+1 = f(un).
1°) a) Montrer que : n  N un  ]0, 1].
b) Montrer, grâce à la question I 1°), que : n  N un - un+1  0.
11
c) Conclure quant à la convergence de la suite (un) et donner sa limite.
n 1
2°) a) Simplifier, pour tout n élément de N,
 (u
k 0
k
 u k 1 ) .
b) En déduire que la série de terme général (un - un+1) est convergente.
u2
c) En utilisant la question I 2°), montrer que un - un+1 ~+ n .
2
2
d) Donner enfin la nature de la série de terme général un .
Partie III
1°) On note  la fonction, définie sur R, par : (0) = 1 et x  R*+, (x) =
f (x)
. Montrer que  est
x
continue sur R+.
On considère la fonction réelle g, définie par : g(0) = 0 et x  R*+, g(x) =
1 x
(t)dt .
x 0
2°) a) Montrer que g est bien définie et continue sur R*+.
x
x x2
b) Montrer que : x  R*+ 1 -  g(x)  1 - 
.
4
4 18
c) En déduire que g est continue en 0, dérivable en 0, puis donner g'(0).
3°) a) Montrer que : x  ]1, +[

x
1
(t)dt  ln(x).
b) En déduire que g a une limite finie en + et donner la valeur de cette limite.
4°) a) Pour tout réel x strictement positif, calculer g'(x) et l'écrire sous la forme :
h(x)
g'(x) = 2 .
x
b) Montrer alors que : x h'(x) = (x + 1)e-x - 1.
c) Etudier la fonction, notée k, définie par : x  R+ k(x) = (x + 1)e-x - 1.
d) Donner le signe de k, puis les variations de h, et enfin celles de g.
e) Dresser le tableau de variations de g, et tracer l'allure de sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
14. (esc 99) Partie A : étude d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = ln(1 + x2). On désigne par C sa courbe représentative dans
le plan muni d'un repère orthonormé.
1. Montrer que f est une fonction paire.
2. Etudier ses variations et préciser sa limite en +.
3. Montrer que f(x) est équivalent à 2 ln(x) quand x tend vers +. En déduire la nature de la branche
infinie de C en +.
4. Etudier la concavité de C et calculer les coordonnées des points d'inflexion.
5. Construire C ainsi que ses tangentes à l'abscisse 0 et aux points d'inflexion. On donne ln(2)  0,7.
Partie B : étude d'une intégrale.
1
x 2 n 1
Pour n  N, on pose : In = 
dx .
2
0 1 x
1. Calculer I0.
2. (a) Calculer I0 + I1. (b) En déduire I1.
1
3. (a) Quel est le signe de In ? (b) Montrer que In+1 + In =
.
2n  2
12
1
.
2n  2
(d) Montrer que la suite (In) est convergente et calculer sa limite.
Partie C : étude d'une série.
1. (a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :
n
(1) k 1
(-1)n In = 
- ln 2 .
k
k 1
n
(1) k 1
(b) En déduire lim 
.
n  
k
k 1
2. (a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
1
1
1
x 2 n 3
In =

dx .
4n  1 n  1 0 (1  x 2 ) 2
(c) En déduire que In 
1
x 2 n 3
0 (1  x 2 ) 2 dx  2n  4 .
1
(b) Etablir les inégalités : 0 
(c) En déduire lim n In .
n  
(1) k 1
A l'aide des questions précédentes, donner un équivalent de 
- ln 2 quand n tend vers
k
k 1
n
3.
+.
15. (edhec 99) Pour tout réel a, on considère la fonction fa de R dans R définie par :
 (x,y)  R x R fa(x,y) = (1 +y + xy +a x2) ey .
Partie 1 : étude des extrema de fa
1
Dans cette partie, on suppose a  0 et a  - .
2
1) a. Calculer les dérivées partielles premières de fa.
b. En déduire que fa possède deux points critiques (c'est à dire deux couples de R x R en lesquels fa est
susceptible de présenter un extremum local) et donner leurs coordonnées.
2) Calculer les dérivées partielles secondes de fa.
3) a. Examiner, pour chacun des deux points critiques, à quelle condition portant sur a, fa présente en
ces points un extremum local.
b. Déterminer, en distinguant trois cas, si fa présente sur R x R un maximum local ou un minimum
local et donner sa valeur en fonction de a.
Partie 2 : étude d'une fonction définie à l'aide fa.
x
1) a. Pour tout réel x et tout réel t inférieur à x, calculer  e y dy . En déduire que l'intégrale
t
x
I=
e
y
dy converge et donner sa valeur.

b. Pour tout réel x, montrer grâce à une intégration par parties que l'intégrale
x
J=
 ye
y
dy converge et donner sa valeur.

2) a. Déduire des deux questions précédentes que l'on définit bien une fonction Fa de R dans R en
x
posant : Fa(x) =
f
a
( x , y)dy .

13
b. Après avoir écrit Fa(x) en fonction de a et de x, donner le tableau de variation de Fa. (On
distinguera les trois cas : a = -1, a < -1, a > -1.)
Un peu de tout...
16. (ecricome 98) Dans tout le problème, X désigne une variable aléatoire définie sur un espace
probabilisé (  , A, P) et à valeurs dans N et E(X) l'espérance de X si elle existe. On note A
l'événement « X prend une valeur paire » (on écrira dorénavant pour abréger « X est pair »). On
rappelle que 0 est pair. On pose a = P( A ).
* On dit que X a la propriété P si et seulement si a> 1/2. On définit deux variables aléatoires X0 et X1 :
X si X est pair
X si X est impair
X0 = 
X1 = 
sinon
0 sinon
0
* On dit que X a la propriété Q si et seulement si E(X1) > E(X0).
Préliminaires
1°) Déterminer X0 + X1.
si X est pair
1
2°) On note Y la variable aléatoire qui vaut 
 1 si X est impair
1
1
Montrer les relations : X0 = (1  Y)X et
X1 = (1  Y)X
2
2
Partie A
Dans cette partie on suppose que X suit la loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) et on pose
q = 1-p.
q
1°) Montrer que a =
, puis que X ne vérifie pas la propriété P.
q 1
q2 1
.
(1  q )(1  q 2 )
3°) Montrer que X0 admet aussi une espérance que l'on précisera, puis que X vérifie la propriété Q.
Partie B
1°) Pour tout entier naturel n, on pose pn = P(X = n) et on suppose que la suite (pn)nN est strictement
décroissante. En écrivant P(A) et P( A ) à l'aide des nombres pn, montrer que X vérifie P.
2°) On suppose maintenant que X admet une espérance.
a) Montrer que X0 et X1 admettent aussi des espérances.
b) Montrer, à l'aide des préliminaires, que X vérifie Q si et seulement si E(YX) < 0.
Partie C
On suppose ici que la variable aléatoire X est en fait à valeurs dans l'intervalle d'entiers
[0, 20] et donc que, pour tout entier n > 21 ,pn = 0.
On définit un type : TYPE TABLE=ARRAY[0..2O] OF REAL ; et on demande d'écrire un
programme en Turbo Pascal :
-contenant une procédure ENTRE_LOI (à écrire ) qui permet à l’utilisateur d'entrer dans une variable
T de type TABLE les nombres P(X = k)pour k= 0, 1, ... , 20.
- calculant E(YX) et indiquant par un message Si X vérifie Q ou non.
Partie D
Le but de cette partie est d'étudier le cas où X suit la loi binomiale B(n, p) avec n > 2 et 0 < p < 1/2
1
1°) Soit f la fonction de deux variables définie sur l’ouvert U = ]1, +[ x ]0, [ de R2 par :
2
x-1
(x, y)  f(x, y) = xy(1 – 2y) = x.y.exp[(x – 1).ln(1 – 2y)]
2°) Montrer que X1 admet une espérance donnée par E (X1) =
14
a) Montrer que f admet en tout point (x,y) de U des dérivées partielles premières
f
(x,y) et
x
f
(x,y). Les calculer et les mettre sous forme de produits. Montrer que f est de classe C1 sur U.
y
b) Montrer que pour tout n élément de ]0, 1[ ln(1 – u) < -u .En déduire que f n’a pas d’extremum
sur U.
2°) Dans cette question, p est un réel vérifiant : 0 < p < 1.On réalise une suite d'épreuves de Bernoulli
indépendantes, de probabilité «de succès » p et de probabilité « d'échec » q = 1 – p. Pour tout élément n
de N* on définit l'événement Fn = « au cours des n premières épreuves, on obtient un nombre pair de
succès » et on pose un = P(Fn).
a) Montrer que pour tout élément n de N*, un+1 = (1 – p)un + p(1 – un).
On pose par convention u0 = 1. Vérifier que la relation précédente est encore vraie pour n = 0.
b) Donner l’expression générale de un en fonction de n pour tout entier naturel n.
3°) On se place maintenant dans le cas annoncé au début de la partie D : X suit la loi binomiale B(n,p)
1
avec n >2 et 0< p < .
2
a) En reprenant la définition du réel a associé à la variable X, montrer que a = un.
Montrer que X vérifie la propriété P.
b) Calculer E(YX). En déduire que E(X1) - E(X0) = f (n, p) (où f est la fonction introduite en D-1)
puis que X a la propriété Q.
c) On considère l’application partielle g : y  g(y) = f(n, y) définie sur ]0, 1/2[ (n > 2). Montrer
que g admet un maximum Mn = 1/2.((n-1)/n)n-1.
d) Montrer que la fonction  : x  (x – 1) ln(1 – 1/x) est de classe C2 sur [2, + [, que sa dérivée
seconde est strictement positive sur [2, +[, et que limx+  ’(x) = 0. En déduire que la suite (Mk)k>2
est strictement décroissante.
e) Montrer que la suite (Mk)k>2 converge, préciser sa limite et montrer que pour tout entier k
supérieur ou égal à 2 : 1./(2.e) < Mk < 1/4.
4°) On suppose que deux joueurs Alain et Béatrice jouent à pile ou face avec une pièce déséquilibrée,
la probabilité d’obtenir « face » étant égale à p (0 < p < 1/2). Une pièce est lancée n fois (n > 2), les
lancers successifs sont indépendants. Alain empoche un gain égal au nombre de faces apparues si ce
nombre est pair, et Béatrice un gain égal au nombre de faces apparues si ce nombre de faces est
impair.
a) Quel est celui des joueurs qui a le plus de chances de gagner ?
b) Quel est celui des joueurs qui a la plus forte espérance de gain ?
c) Comment interpréter l’encadrement obtenu à la question 3°)e) de cette partie ?
16. (edhec 99) Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
n
Partie 1 On pose, pour tout élément n de N* : un =
1
p.
p 1
p 1
1) a. Montrer que :  p  N* ,

p
dt
1

.
t
p 1
b. En déduire que :  n  N* , un  1 + ln(n).
 (0)  0
2) On considère la fonction 1 définie sur R+ par :  1
1 ( x )  x (1  ln( x )) si x  0
Montrer que 1 est continue sur R+.
3) Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n non nul, on pose :
15
x
n+1(x) =   n ( t )dt . (On rappelle que 1 a été définie à la question 2.)
0
a. Montrer que pour tout élément n de N* la fonction n est parfaitement définie et continue sur
R+. Que vaut n(0) ?
b. Vérifier qu'il existe deux suites (an)nN* et (bn)nN* telles que :
 n  N* ,  x  R*+ n(x) = xn (an + bn ln x ).
b
a
bn
On montrera que :  n  N* an+1 = n 
et bn+1 = n .
2
n 1
n  1 (n  1)
4) Ecrire un programme en turbo Pascal qui calcule et affiche les n premiers termes de chacune des
suites (an)nN* et (bn)nN* pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.
5) Calculer bn.
6) Pour tout élément n de N*, on pose : cn = n! an.
a. Montrer que cn = 2 - un.
b. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : cn   1 + ln(n).
c. Conclure que lim an = 0.
n  
d. Montrer enfin que la série de terme général an est absolument convergente.
Partie 2 On considère les fonctions e1, e2, e3 et e4 définies par :
 x  R*+ e1(x) = x , e2(x) = x2 , e3(x) = x ln(x) et e4(x) = x2 ln(x).
On note E l'espace vectoriel engendré par e1, e2, e3 et e4.
1) On suppose dans cette question que a, b, c et d sont 4 réels tels que :
(*)  x  R*+ a x + b x2 + c x ln(x) + d x2 ln(x) = 0.
a. Montrer que a + b = 0
a
b
c
b. Etablir que :  x > 1

  d  0 . En déduire que d = 0.
x ln( x ) ln( x ) x
a
ln( x )
 0 . En déduire que b = 0.
c. Etablir ensuite que :  x  R*+  b  c
x
x
d. Montrer finalement que a = b = c = d = 0.
1) a. Déduire de la question précédente que (e1, e2, e3, e4) est une famille libre.
b. Montrer que (e1, e2, e3, e4) est une base de E.
3) On note u l'application qui à toute fonction f de E associe la fonction g = u(f) définie par
 x  R*+ g(x) = x f '(x).
a. Montrer que u est une application linéaire.
b. Déterminer u(e1), u(e2), u(e3) et u(e4).
c. En déduire que u est un endomorphisme de E
4) a. Donner la matrice A de u dans la base (e1, e2, e3, e4) .
b. Montrer que u est un automorphisme de E.
(ecricome 99)Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de l’ensemble E des matrices
carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Soit O la matrice nulle, I la matrice unité,
H = {M  E / il existe   R tel que M = I }, et,
a b
 : (M) = a + d , (M) = ad – bc.
avec M = 
c d
17.
bn 
a
 , converge vers la matrice O si
Question 1 On dit que la suite de matrices (An), où An =  n
 cn d n 
(an), (bn), (cn), (dn) sont des suites réelles de limite nulle. Justifier les résultats suivants :
1 a) Soient (An), (Bn) deux suites de matrices,  un réel et M une matrice : si (An), (Bn) convergent
vers la matrice O, alors (An + Bn), (An), (MAn) et (AnM) convergent aussi vers O.
16
 0
 avec   < 1 et   < 1 , la suite de matrices (Dn) converge vers O.
1 b) Si D = 
0



1 c) Si une matrice A est diagonalisable, de valeurs propres  et  avec   < 1 et   < 1, alors la
suite (An) converge vers O.
Question 2 Dans toute cette question, A désigne un élément de E tel que (A) < 0. On se propose de
montrer qu’une telle matrice est diagonalisable.
2 a) Montrer que A n’est pas un élément de H.
2 b) Vérifier par le calcul que pour tout élément M de E, on a : M2 = (M) M - (M) I . (*)
2 c) Montrer qu’il existe deux réels distincts  et  tels que :  + = (A) et   = (A).
2 d) On pose M = A -  I et N = A -  I. Montrer que M N = O et en déduire que l’hypothèse « M est
inversible » conduit à une contradiction. Montrer de même que N n’est pas inversible.
2 e) En déduire que A est diagonalisable et qu’il existe une matrice P de E inversible telle que :
 0
 .
A = P D P-1 avec D = 
 0 
1 2
Question 3 On note U l’ouvert de R2 défini par U = ] , [ x ]0,1[ et f l’application définie sur U par :
3 3
(x,y)  f(x,y) = x2 – x + xy2 – xy.
3 a) Montrer que f est strictement négative sur U.
3 b) Montrer (en rédigeant soigneusement) que f admet un unique extremum sur U et que celui-ci est
un minimum dont on donnera la valeur.
25
En déduire que pour tout (x,y) de U: 
 f(x,y) < 0.
64
Question 4 Soient a et b deux réels tels que (a,b) soit un élément de l’ouvert U défini précédemment.
b 
 a
 . On se propose de montrer que la suite de matrices (Qn) converge vers
On pose Q = 
a
(
1

b
)
a

1


O.
4 a) Calculer (Q) et (Q). Vérifier que les résultats de la question 2 s’appliquent pour A = Q et en
déduire que Q admet deux valeurs propres distinctes  et  telles que :
1
25
1
 <+<
et 
0
3
3
64
4 b) Exprimer 2 + 2 en fonction de  +  et   et en déduire que 2 + 2 < 1. Pourquoi peut-on
affirmer que la suite (Qn) converge vers O ?
19. (hec math2 1999) On désire tester si un algorithme générateur de nombres aléatoires est satisfaisant.
On étudie quelques aspects probabilistes répondant à cette question.
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
La partie 3 utilise les notations et les résultats des parties précédentes.
Partie 1
Soit n et s des entiers supérieurs ou égaux à 2. On considère une urne contenant des boules de couleur
s
C1, ... , Cs. Les boules de couleur Ci sont en proportion pi. On a donc
p
i 1
i
= 1 et on suppose que,
pour tout i, pi > 0. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise. Pour tout i de {1,...,s},on
note Xi la v.a égale au nombre de boules de couleur Ci obtenues à l'issue des n tirages (on remarque
s
X i  np i 2
que la variable Xi dépend de n). On définit la v.a Un par : Un = 
.
np i
i 1
A. Etude des variables Xi.
1) Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance.
17
2) Soit (i, j)  {1,...,s}2 tel que i  j. Déterminer la loi de Xi + Xj et sa variance. En déduire que
cov(Xi,Xj) = -npipj.
B. On suppose dans cette partie que s = 2.
X  np 1
1) Montrer que Un = Z12 ,où Z1 = 1
np 1 p 2
2) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z1 lorsque n est grand ?
C. On suppose dans cette partie que s = 3 et que p1 = p2 =
1
1
e t p3 = .
4
2
n
2
(X 3  ) et Z 2 
(X1  X 2 ) .
2
n
n
1) Montrer que Un = Z12 + Z22. (On utilisera la relation : X1 + X2 + X3 = n.)
2) Déterminer les espérances et les variances de Z1 et Z2 et cov(Z1, Z2).
3) Par quelle loi peut-on approcher celle de Z1 lorsque n est grand ?
4) Pour i élément de {1,...,n}, on définit la variable Ti par : Ti = 1 si au i-ième tirage on a obtenu une
boule de couleur C1, Ti = -1 si au i-ième tirage on a obtenu une boule de couleur C2, Ti = 0 si au i-ième
tirage on a obtenu une boule de couleur C3.
a) Exprimer X1 - X2 à l'aide des variables Ti.
b) En déduire que l'on peut approcher la loi de Z2, quand n est grand, par la loi normale centrée
réduite.
5) On suppose avoir défini dans un programme Pascal :
Type Tableau = Array[1..100] of integer ;
a) Ecrire une procédure procedure Tirage(var C : tableau); permettant de simuler le tirage avec
1 1 1
remise de 100 boules de couleur C1 ou C2 ou C3 en proportion respectivement , , . L'élément C[i]
4 4 2
vaut 1, 2 ou 3 et représente la couleur de la i-ième boule tirée (C1, C2 ou C3). On utilisera la fonction
random : random(4) retourne un entier aléatoire compris entre 0 et 3.
b) Ecrire une fonction Difference de paramètre C qui retourne la valeur de X1 - X2.
On pose Z1 =
2
1
D. On suppose s = 4 et p1 = p2 = p3 = p4 = .
4
Soit a une matrice réelle à p lignes et m colonnes dont le c est noté aij. On définit la matrice à m lignes
et p colonnes appelée transposée de A et notée tA dont le coefficient en ligne i et colonne j vaut aji. on
utilisera sans le démontrer que, pour toutes matrices A et B telles que le produit AB existe,
t
(A B) = tB tA.
X  np i
1) Pour i élément de {1,2,3,4}, on pose Yi = i
. On note M la matrice carrée d'ordre 4 dont le
np i
coefficient n ligne i et colonne j vaut cov(Yi,Yj). On définit N la matrice carrée d'ordre 4 dont tous les
1
coefficients sont égaux à .
4
Exprimer M en fonction de N et I, où I désigne la matrice unité.
2) a) On définit 4 vecteurs de R4 :
1
1
1,1,2,0) , e3 = 1 (1,1,1,3) , e4 = 1 (1,1,1,1) .
e1 =
(1,1,0,0) , e2 =
2
2
6
2 3
Montrer que ces 4 vecteurs sont des vecteurs propres de N et qu'ils forment une base de R4.
18
t
b) Soit Q la matrice de passage de la base canonique de R4 à la base (e1,e2,e3,e4). Montrer que
Q Q = I. Expliciter la matrice tQ M Q.
 Z1 
 Y1 
 
 
 Z 2  t  Y2 
3) On définit les variables Z1, Z2, Z3 et Z4 par :    Q  .
Z
Y
 3
 3
Z 
Y 
 4
 4
a) Exprimer chaque Zi en fonction de Y1, Y2, Y3 et Y4 et montrer que Z4 = 0.
b) Montrer que, pour i = 1, 2, 3, les variables Zi sont centrées.
 Y1 
 
Y 
2
2
2
c) Montrer que Un = Z1 + Z2 + Z3 . (On pourra calculer (Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) 2  .)
Y
 3
Y 
 4
Partie 2
1) Soit r un entier supérieur ou égal à 2 Montrer la convergence de l'intégrale


0
x
r
x
1 
2
2
e dx . On note
Jr sa valeur.
2)


1
2

x
2
a) Pour tout réel t strictement positif, établir la convergence de l'intégrale  x e dx . On note
t
G(t) sa valeur.
b) Montrer à l'aide d'un changement de variable que, pour tout réel t strictement positif,
e dt ij où
G(t) = 2 2 1  
 désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
c) En déduire la convergence et la valeur J1 de


0

1
2

x
2
x e dx
3) Soit r un entier naturel non nul. On définit la fonction fr par :
r
x
1 2 1  2
x e
x > 0 fr(x) =
x  0 fr(x) = 0.
Jr
a) Montrer que fr est une densité de probabilité.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi du 2 (lire khi-deux) à r degrés de liberté si et seulement si
X admet fr pour densité.
b) Quelle loi reconnaît-on pour r =2 ?
c) Recopier le graphique ci-dessous en identifiant les courbes représentatives des trois fonctions
f1, f2, f7 en justifiant avec précision la réponse.
19
Partie 3
On reprend les notations de la partie 1, avec s entier quelconque supérieur ou égal à 2.
On admet que, n étant grand, la variable Un suit la loi du 2 à s - 1 degrés de liberté.
On considère un algorithme générateur de nombres entiers aléatoire compris entre 1 et 4.
On utilise cet algorithme pour créer un échantillon de 10000 nombres compris entre 1 et 4. On obtient
alors :
2602 fois le nombre 1
2534 fois le nombre 2
2422 fois le nombre 3
2442 fois le nombre 4
On se propose de tester la fiabilité de cet algorithme par l'examen de l'échantillon précédent. On fait
l'hypothèse que le nombre (aléatoire) fourni par le générateur suit une loi uniforme sur l'ensemble
{1,2,3,4}. On donne les valeurs numériques suivantes :
* 0,95 = F3(7,81), où F3 désigne la fonction de répartition de la loi du 2 à 3 degrés de liberté.,
1
(102 2  34 2  78 2  58 2 )  8,4032
*
2500
En introduisant des variables convenables X1, X2, X3, X4 et la variable Un associée, justifier le rejet de
l'hypothèse de répartition uniforme des nombres fournis par le générateur.
20. (ecricome 2000) T est l'ensemble des couples (x, y) de réels solutions du système d'inéquations
1
1
3
, y
, x+y .
4
4
4
On noteT ' " l ' intérieur " de T, à savoir l'ensemble des couples (x, y) solutions du système d '
inéquations
1
1
3
x>
, y>
, x+y< .
4
4
4
1 1
2
Soit f la fonction définie sur T par : f(x, y) =  
.
x y xy
x
20
1) Représenter sur un même graphique T et T '.
2) On admet que T ' est un ouvert de R2.
a) Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 sur T ' de la fonction f.
b) Montrer que f n'admet pas d'extremum local ( et donc a fortiori absolu) sur T '.
3) Démontrer par de simples considérations sur des inégalités que l'on a pour tout couple (x, y) de T :
16
2  f(x, y)
.
3
On considère une urne contenant des boules blanches (en proportion p), des boules rouges (en
1
1
1
proportion r) et des boules vertes (en proportion u) . On suppose que p  , q 
,u
et que
4
4
4
p + r + u =1.
On effectue indéfiniment des tirages successifs d'une boule dans cette urne avec remise entre deux
tirages. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note Bn (respectivement Rn, Vn)
l'événement :
" Tirer une boule blanche (respectivement rouge, verte) au n - ième tirage."
On appelle X (resp.Y) la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule blanche
(resp. rouge). On définit alors la variable D = X - Y égale au nombre de tirages séparant la sortie de
la première blanche et de la première rouge.
4) Déterminer la loi et l'espérance de X. Faire de même pour Y.
5) Soient i et j des entiers naturels non nuls. En distinguant les cas i = j, i < j et i > j , exprimer
l'événement (X = i )  (Y = j ) à l'aide des événements décrits dans l'énoncé. En déduire la loi du
couple (X, Y).
6) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
p.r
7) Soit k un entier naturel non nul, montrer l'égalité
P(D = k) =
[(l - p)k-1 + (1 - r )k- 1].
pr
8) Montrer que D admet une espérance et que E(D) = f(p, r). Encadrer alors E(D).
21