L-S- Mahmoud Messeadi Département :Math

REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L'EDUCATION
L- S - MAHMOUD MESSEADI
EXAMEN DU BAC BLANC
MAI 2011
SBIKHA
MATHEMATIQUES
SECTION :
EPREUVE :
MATHEMATIQUES
DUREE : 4 h
COEFFICIENT : 4
Q-C-M ( 3 points )
Cocher la réponse correcte.
1°/ Soit z un nombre complexe tel que z  2 , alors z 
a) 2 2
b)
10
2
c) 2
i

z
d)
2
 
2°/ Soit la droite D A, u de l’espace passant par A1,0,2 et de vecteur directeur
 2 x  y  z 1  0
, Les droites D et  sont :
u  i  2 j  k ,et la droite  d’équations : 
x  2 y  3 z  3  0
a) confondues
b) strictement parallèles
3°/Soit le cube ABCDEFGH l’espace
c) sécant

d) non coplanaires

est muni par le repère orthonormé direct A, AB, AD, AE .
On désigne par I le milieu de EF , le volume du tétraèdre ABIG est égal .
a)
1
6
b)
5
6
c) 1
4°/ Soit f une fonction dérivable sur 0,1 , alors
a) f 0
b) f 1
d)
1
1
0
0
1
3
 f t dt  tf' t dt  :
c) f 0  f 1
d) f 1  f 0
Exercice 2 ( 3 points )
1°/ a)Montrer que 2011 est un nombre premier.
b)Quel est le reste de la division euclidienne de 201014 par 2011? justifier.
2°/ Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs.
a) Montrer que l’équation E : 2011x 14 y  1admet au moins une solution dans
b) Montrer que l’équation E' : 2009 x 7 y  1 n’a pas de solution dans
× .
c) Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple x 0 , y 0  solution de E .
d) Résoudre l’équation E dans
× .
×
.
En déduire qu’il existe un unique entier naturel n inférieur à 14 tel que :
2011n  1mod14 .
Exercice 3 ( 4 points )
Les deux parties I et II sont indépendantes.
On considère l'équation E : z 3  4 z 2  6  i z 3  i  0 ou z est un nombre complexe .
I -1 °/ a) Montrer que E admet une solution réelle , notée z1 .
b) Déterminer les deux nombres complexes α et β tels que,
pour tout z 
, on ait: z 3  4 z 2  6  i z 3  i  z z1 z 1  iαz  β .
2°/ Resoudre E dans
.


II - Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct O, u, v ,on considère les trois points
A,B et C d’affixes respectives 1 , 1 i et 2  i .
1 °/ Représenter A,B et C .
2°/ a) Déterminer le module et un argument de
1 i
.
1 i
b) En déduire que OB  AC .
3°/ a) Démontrer qu' il existe un unique déplacement φ qui envoie O en A et B en C .
b) Caractériser φ .
4°/ Soit φA   D . Déterminer l'affixe de D .
5°/ Quelle est la nature de OACD ?
Exercice 4 ( 5 points )
On considère la fonction h définie sur 0, par: hx  1 x 2 lnx .

 

et Ch  sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i , j
1°/ a) Dresser le tableau de variations de h .
b) Montrer qu'il existe uniquement deux réels α  2 et β  2 solution de hx   0 dans
0, .
c) Vérifier que : 3.51  β  3.52 .
d) Donner, le signe de hx  sur 0, .
2°/ Soit f la fonction définie sur 0, par : f x  
1  2 lnx
.
x2
a) Dresser le tableau de variations de f .
b) Montrer que f


αβ 
α β
.
2 αβ
3°/ Soit In  la suite définie, pour tout entier n  4 , par : In 
n 1
 f x dx .
n
1
a) Démontrer que, pour tout x  4,,0  f x  
x
 n 1 
b) En déduire que, pour tout entier n  4 ,0  In  ln

 n 
c) Déterminer la limite de la suite In  .
Exercice 5 ( 5 points )
Un conseil municipal cherche à modéliser les dépenses dans un article A sur les derniers
années .
Anne
2006
2007
2008
2009
2010
Rang de l’année X
1
2
3
4
5
Dépenses en milliers de dinars Y
27.5
35
52
70.5
100
I - 1°/ Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal du plan .
(1cm pour une année , 1mm pour 1000 dinars).
2°/ Calculer les coordonnées du point moyen G.
3°/ On a réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D de Y en X avec la
méthode de moindres carres. Tracer la droite D.
4°/ Donner la dépense dans l’ article A, estimée par cet ajustement ,en 2011.
II - Apres clôture du budget , il s’est avère qu’ona dépense 140 mille dinars dans l’article A
en 2011.
1°/ Quelle est , en pourcentage, l’erreur commise par l’estimation précédente par rapport à la
dépense réelle?
2°/ Un ajustement exponentiel sera t –il plus adapte ! on pose Z  lnY  .
a) Compléter le tableau suivant :
X
1
2
3
4
5
6
Z = ln(Y)
b) Déterminer par la méthode de moindres carres la droite de régression de Z en X .
c) En déduire que Y  A X .B .
d) Estimer , a l’aide de ce nouvel ajustement , la dépense dans l’ article A , en 2012.
REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L'EDUCATION
EXAMEN DU BAC BLANC
MAI 2011
SECTION :
L- S - MAHMOUD MESSEADI
SBIKHA
ECONOMIE ET GESTIONS
EPREUVE :
MATHEMATIQUES
DUREE : 2 h
COEFFICIENT : 2
Q-C-M ( 3 points )
Pour chacune des propositions suivantes, seulement une réponse est correcte.
1°/ le point moyen associe a cette série est:
X
Y
1
1.5
7
2.5
4
20
b) G4,8
G4,24
1
2°/
, sa primitive sur 0, est :
x ln x
a)
a) ln ln x
3°/ si
c
b)
c)
lnx   c
c)
G16,24
x lnx   x  c
d)
G7,2.5
d)
lnx 
c
x
5 4
 alors A 1 
A  
6 5
5  4
a) 
  6 5 


5  4
c) 
 6 5 


5 4
b) 
  6 5 


1
4°/ Soit f une fonction dérivable sur


1°/ a) Calculer
 2
 
, B   1
0
 
detC .
0
0
c)
1 1 

0

3
3 

2  2
C 1

3
3 

1
2 
 1

3
3 

b) En déduire que la matrice C est inversible .
2°/ a) Calculer AC puis AC  C
b)Vérifier que AC  C  I .
1
1
0,1 , alors  f t dt  tf' t dt 
a) f 0
b) f 1
Exercice 1 ( 5 points )
Soit A , B ,C et X quatre matrices,définies par :
 1 1 0


A   0 0 1
3 1 0


6  5
d) 
  5 4 


3°/ a) Montrer que C  A  I .
b) En déduire que CA  AC .
4°/ a) Calculer AB , AB  B .
b) Montrer que si CX  B alors X  AB B .
f 0  f 1
x
 
et X   y  .
z
 
d)
f 1  f 0
1
 1
 3 y 3 z  2

5°/ En déduire la résolution de système
S :  x  2 y  2 z  1 .
3
3

 x  1 y  2 z  0

3
3
Exercice 2 ( 4 points )
On désigne
1

1
M
0

1

1
0
1
1
G le graphe de sommets S1 , S2 , S 3 et S 4 , dont sa matrice associée est M .
1
1
0
0
1

0
1

1 
d Si 
d Si 
d  S i   d  S i 
S1
S3
S2
S4

1°/ Justifier que G est un graphe oriente .
2°/a) Compléter le tableau suivant .
b) Dire , en justifiant si le graphe G admet une chaîne orientée eulérienne, un cycle orienté eulérien ?
3°/ Dessiner le graphe G .
4°/ Déterminer les chaînes de longueur 2 reliant S1 et S 2 .
Exercice 3 ( 3 points )
Un conseil municipal cherche à modeliser les depenses dans un article A sur les derniers annees .
Annee
Rang de l’annee
Xi
Depenses en milliers de dinars Yi
2006
2007
2008
2009
2010
1
2
3
4
5
27.5
35
52
70.5
100
1°/ Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal du plan .
(1cm pour une année , 1mm pour 1000 dinars).
2°/ On a realise un ajustement affine de ce nuage par la droite D de Y en X avec la méthode de
moindres carres. Tracer la droite D.
3°/ Donner la depense dans l’ article A, estimee par cet ajustement ,en 2011.
4°/ Apres cloture du budget , il s’est avere qu’ona depense 140 mille dinars dans l’article A en
2011.Quelle est , l’erreur commise par l’estimation precedente par rapport à la depense reelle?
Exercice 4 ( 4 points )
 
1
.
e 1

On note Cf la courbe representative de f dans le plan rapporte , au repere orthonormé O, i , j .
1°/ Etudier les variations de f .
2°/ Etudier les branches infinies de f .
3°/ Tracer la courbe Cf .
4°/ On designe par g la restriction de f sur 0, .
a) Montrer que la fonction g realise une bijection de 0, dans un intervalle J que l' on determinera.
1
1
b) Soit g la fonction reciproque de g sur 0, .expliciter g .
On considère la fonction numerique f de la variable reelle x définie par : f x  ln
x

