L-S- Mahmoud Messeadi Département :Math

MESSEADI MAHMOUD -S -L
REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L'EDUCATION EXAMEN DU BAC BLANC MAI 2011
SBIKHA
MATHEMATIQUES
SECTION :
COEFFICIENT : 4
DUREE : 4 h
MATHEMATIQUES
EPREUVE :
Q-C-M ( 3 points )
Cocher la réponse correcte.
1°/ Soit z un nombre complexe tel que
2z 
, alors
 z
i
z
a)
22
b)
2
10
c)
2
d)
2
2°/ Soit la droite
uAD ,
de l’espace passant par
2,0,1A
et de vecteur directeur
kj2iu 
,et la droite d’équations :
03z3y2x 01zyx2
, Les droites
D
et sont :
a) confondues b) strictement parallèles c) sécant d) non coplanaires
3°/Soit le cube ABCDEFGH l’espace
est muni par le repère orthonormé direct
AE,AD,ABA,
.
On désigne par I le milieu de
EF
, le volume du tétraèdre ABIG est égal .
a)
6
1
b)
6
5
c)
1
d)
3
1
4°/ Soit f une fonction dérivable sur
1,0
, alors
  dtttf'dttf 1
0
1
0
:
a)
0f
b)
1f
c)
1f0f 
d)
01 ff 
Exercice 2 ( 3 points )
1°/ a)Montrer que 2011 est un nombre premier.
b)Quel est le reste de la division euclidienne de
14
2010
par
2011
? justifier.
2°/ Dans cette question
x
et
y
désignent des entiers relatifs.
a) Montrer que l’équation
1y142011x:E 
admet au moins une solution dans × .
b) Montrer que l’équation
1y7x2009:E' 
n’a pas de solution dans ×.
c) Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple
00 y,x
solution de
E
.
d) Résoudre l’équation
E
dans ×.

En déduire qu’il existe un unique entier naturel
n
inférieur à
14
tel que :
14mod1n2011 
.
Exercice 3 ( 4 points )
Les deux parties I et II sont indépendantes.
On considère l'équation
0i3zi6z4z:E 23 
ou
z
est un nombre complexe .
I -1 °/ a) Montrer que
E
admet une solution réelle , notée
1
z
.
b) Déterminer les deux nombres complexes
α
et
β
tels que,
pour tout
z
, on ait:
βαzi1zzzi3zi6z4z 1
23 
.
2°/ Resoudre
E
dans .
II - Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct
v,uO,
,on considère les trois points
BA,
et
C
d’affixes respectives
1
,
i1
et
i2
.
1 °/ Représenter
BA,
et
C
.
2°/ a) Déterminer le module et un argument de
i1 i1
.
b) En déduire que
ACOB 
.
3°/ a) Démontrer qu' il existe un unique déplacement
φ
qui envoie
O
en
A
et
B
en
C
.
b) Caractériser
φ
.
4°/ Soit
DAφ
. Déterminer l'affixe de
D
.
5°/ Quelle est la nature de
OACD
?
Exercice 4 ( 5 points )
On considère la fonction
h
définie sur
0,
par:
.lnx2x1xh 
et
h
C
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
j,iO, 
1°/ a) Dresser le tableau de variations de
h
.
b) Montrer qu'il existe uniquement deux réels
2α
et
2β
solution de
0xh
dans
0,
.
c) Vérifier que :
3.52β3.51 
.
d) Donner, le signe de
xh
sur
0,
.
2°/ Soit
f
la fonction définie sur
0,
par :
.
xlnx21
xf 2
a) Dresser le tableau de variations de
f
.
b) Montrer que
αβ2βα
αβf
.
3°/ Soit
n
I
la suite définie, pour tout entier
4n 
, par :
1n
n
ndxxfI
.
a) Démontrer que, pour tout
x
1
xf,04,x
b) En déduire que, pour tout entier
 n1n lnI,04n n
c) Déterminer la limite de la suite
n
I
.

Exercice 5 ( 5 points )
Un conseil municipal cherche à modéliser les dépenses dans un article A sur les derniers
années .
Anne
2006
2007
2008
2009
2010
Rang de l’année X
1
2
3
4
5
Dépenses en milliers de dinars Y
27.5
35
52
70.5
100
I - 1°/ Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal du plan .
(1cm pour une année , 1mm pour 1000 dinars).
2°/ Calculer les coordonnées du point moyen G.
3°/ On a réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D de Y en X avec la
méthode de moindres carres. Tracer la droite D.
4°/ Donner la dépense dans l’ article A, estimée par cet ajustement ,en 2011.
II - Apres clôture du budget , il s’est avère qu’ona dépense 140 mille dinars dans l’article A
en 2011.
1°/ Quelle est , en pourcentage, l’erreur commise par l’estimation précédente par rapport à la
dépense réelle?
2°/ Un ajustement exponentiel sera t –il plus adapte ! on pose
YlnZ
.
a) Compléter le tableau suivant :
X
1
2
3
4
5
6
Z = ln(Y)
b) Déterminer par la méthode de moindres carres la droite de régression de
Z
en X .
c) En déduire que
B.AY X
.
d) Estimer , a l’aide de ce nouvel ajustement , la dépense dans l’ article A , en 2012.

MESSEADI MAHMOUD -S -L
REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L'EDUCATION
EXAMEN DU BAC BLANC
MAI 2011
SBIKHA
ECONOMIE ET GESTIONS
SECTION :
COEFFICIENT : 2
DUREE : 2 h
MATHEMATIQUES
EPREUVE :
Q-C-M ( 3 points )
Pour chacune des propositions suivantes, seulement une réponse est correcte.
1°/ le point moyen associe a cette série est:
a)
24,4G
b)
8,4G
c)
24,16G
d)
5.2,7G
2°/
xlnx1
, sa primitive sur
,0
est :
a)
cxlnln 
b)
cxln 
c)
cxxlnx
d)
c
xxln 
3°/ si
56 45 A
alors
1
A
a)
56 45
b)
56 45
c)
56 45
d)
45 56
4°/ Soit f une fonction dérivable sur
10,
, alors
  dtttf'dttf 1
0
1
0
a)
0f
b)
1f
c)
1f0f 
d)
0f1f 
Exercice 1 ( 5 points )
Soit A , B ,C et X quatre matrices,définies par :
013 100 011
A
,
0
1
2
B
3
2
3
1
132
3
2
13
1
31
0
C
et
z
y
x
X
.
1°/ a) Calculer
Cdet
.
b) En déduire que la matrice
C
est inversible .
2°/ a) Calculer
AC
puis
CAC
b)Vérifier que
ICAC 
.
3°/ a) Montrer que
IAC 1
.
b) En déduire que
ACCA 
.
4°/ a) Calculer
AB
,
BAB
.
b) Montrer que si
BCX
alors
BABX
.
X
1
7
4
Y
1.5
2.5
20

5°/ En déduire la résolution de système
0z
3
2
y
3
1
x
1z
3
2
y
3
2
x
2z
3
1
y
31
:S
.
Exercice 2 ( 4 points )
On désigne
G
le graphe de sommets
1
S
,
2
S
,
3
S
et
4
S
, dont sa matrice associée est
M
.
1011 1010 0101 1111
M
1°/ Justifier que
G
est un graphe oriente .
2°/a) Compléter le tableau suivant .
b) Dire , en justifiant si le graphe
G
admet une chaîne orientée eulérienne, un cycle orienté eulérien ?
3°/ Dessiner le graphe
G
.
4°/ Déterminer les chaînes de longueur 2 reliant
1
S
et
2
S
.
Exercice 3 ( 3 points )
Un conseil municipal cherche à modeliser les depenses dans un article A sur les derniers annees .
Annee
2006
2007
2008
2009
2010
Rang de l’annee
i
X
1
2
3
4
5
Depenses en milliers de dinars
i
Y
27.5
35
52
70.5
100
1°/ Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal du plan .
(1cm pour une année , 1mm pour 1000 dinars).
2°/ On a realise un ajustement affine de ce nuage par la droite D de Y en X avec la méthode de
moindres carres. Tracer la droite D.
3°/ Donner la depense dans l’ article A, estimee par cet ajustement ,en 2011.
4°/ Apres cloture du budget , il s’est avere qu’ona depense 140 mille dinars dans l’article A en
2011.Quelle est , l’erreur commise par l’estimation precedente par rapport à la depense reelle?
Exercice 4 ( 4 points )
On considère la fonction numerique
f
de la variable reelle x définie par :
1e 1
lnxf x
.
On note
f
C
la courbe representative de
f
dans le plan rapporte , au repere orthonormé
j,i,O 
.
1°/ Etudier les variations de
f
.
2°/ Etudier les branches infinies de
f
.
3°/ Tracer la courbe
f
C
.
4°/ On designe par
g
la restriction de
f
sur
,0
.
a) Montrer que la fonction
g
realise une bijection de
,0
dans un intervalle J que l' on determinera.
b) Soit
1
g
la fonction reciproque de
g
sur
,0
.expliciter
1
g
.
1
S
2
S
3
S
4
S
i
Sd
i
Sd
ii SdSd  