Exercice 1 : ABC est un triangle équilatéral, M, N, P sont des points

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Exercice 1 : ABC est un triangle équilatéral, M, N, P sont des points de
[BC], [CA], [AB] tels que BM = CN = AP.
1. Démontrer que les triangles BMP, CNM et NAP sont isométriques
deux à deux.
ABC equilateral:
BC = AC = AB et A  B  C  60 °
Par hypothèse:
BM = CN = AP,
Par soustraction :
MC = AN = PB,
Donc : BMP, CNM et NAP sont isométriques (cas n°3 : 2 cotes egaux chacun à chacun et
l’angle formé par les 2 cotés)
2. En déduire que MNP est équilatéral.
Déduction : les 3° cotes sont égaux chacun à chacun : PM = MN = NP
Donc : MNP est équilatéral
1
2
Exercice 2 : ABCD est un carré, (DM) est tangente au cercle C de diamètre [AB].
1. Démontrer que les triangles OAD et OMD sont isométriques.
AOD  OMD  90 ° (angle du carré & tangente)
OD est cote commun
OA = OM = rayon
Dans un triangle rectangle, si je connais 2 cotés, je peux calculer le 3°.
AD  OD2  AO2  MD  OD2  MO2 = côté du carré(*)
Donc : les triangles OAD et OMD sont isométriques (cas n°1 : les 3 cotes égaux chacun à
chacun)
2. Démontrer que les triangles DMR et DCR sont isométriques.
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RCD  RMD  90 ° (angle du carré & tangente)
On a (question ci-dessus) : MD = côté du carré(*)= DC
DR est cote commun
Meme raisonnement que ci-dessus : les 2 triangles rectangles ont 2 cotés egaux chacun a
chacun : donc le 3° cote est egal chacun a chacun : MR = CR
Les triangles DMR et DCR sont isométriques (cas n°1 : les 3 cotes égaux chacun à chacun)
1
3. En déduire la nature du triangle CMR.
Ci-dessus on a montré que MR = CR, alors CMR est isocele en R
Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme, N un point du segment [DC] distinct de D et C.
La droite (AN) coupe (BC) en M.
1. Démontrer que les triangles ADN et ABM sont des triangles semblables.
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M
D
1
A
1
N
C
ADN  ABM (Angles opposés dans le parallélogramme)
DAN  AMB (Angles alternes-internes : (AD)//(BM)
ADN et ABM sont des triangles semblables cas n°1 : ayant
2 angles egaux chaun a chacun
2. En déduire que DN  BM = AB  AD.
Dans 2 triangles semblables, les cotes opposes aux angles
AD DN AN


égaux sont proportionnels :
; le produit en croix donne la réponse
MB BA MA
B
2
1
1
1
1
Exercice 4 : Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle, H le projeté orthogonal de A sur
[BC], BAH = 45°, HAC = 30° et AH = 6 cm.
Le cercle C de diamètre [AH] et de centre O coupe (AB) en D et (AC) en E.
1. montrer que les triangles AHC et AEH sont semblables
AHC est rectangle avec un angle de 30° ; l’autre angle mesure alors 60°.
AHE est inscrit dans le cercle avec [AH] diametre –
donc : AHE est rectangle avec le meme angle de 30° ; donc le 3° angle de
60°
les triangles AHC et AEH sont semblables (cas n°1 : les 3 angles egaux
chacun a chacun)
2. Montrer que AC = 4 3 cm
AHC est rectangle avec l’angle HAC  30° :
3
6
AH
12 12 3

cos( HAC )  cos(30 ) 
;
Produit en croix : AC =

4 3
2
AC
AC
3
3
3. Montrer que AE = 3 3 cm.
AHE est rectangle avec l’ angle HAC  30° :
3 AE
6 3
AE
3 3
cos( HAE )  cos(30 ) 

;
Produit en croix : AE =
2
AH
2
6
4. déduire le rapport de réduction pour passer de AHC à AEH
AHC et AEH ont les cotes (en face des angles egaux) proportionnels :
AE 3 3
3


; C’est le rapport de réduction
AH
6
2
(En bonus pour les élèves qui aiment les maths)
5. montrer que AB = 6 2 (valeur exacte)
2
6
AH

Dans AHB rectangle en H : cos( HAB)  cos(45 ) 
;
AB
2
AB
12 12 2

6 2
Produit en croix : AB =
2
2
6. Démontrer que AHE = ADE = 60°
AHE = ADE car ils interceptent le meme arc AE
Or : AHE = 60° (car l’autre angle du triangle rectangle AHE mesure 30°)
donc : AHE = ADE = 60°
7. Démontrer que BAC et EAD sont semblables.
BAC  DAE  75 ° (angle commun)
AHE = ADE = 60°(démontré ci-dessus)
Donc le 3° angle est égal chacun a chacun : BAC et EAD sont semblables (cas n°1)
6
8. En déduire que
est le rapport de réduction qui fait passer du triangle BAC à EAD.
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BAC et EAD son semblables alors ils ont les côtés (en face des angles égaux) proportionnels :
AE 3 3
3
6
; C’est le rapport de réduction



AB 6 2 2 2
4