Probabilités

Probabilités
I) Vocabulaire
Les exemples de ce chapitre se reporteront à trois expériences différentes :
 Lancer une pièce de monnaie et regarder la face supérieure.
 Lancer un dé à six faces et regarder le nombre obtenu.
 Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes et regarder sa valeur, puis la remettre au hasard dans
le paquet.
Définition : Une issue d'une expérience est un des résultats possibles de l'expérience.
Exemples :  Pour la pièce de monnaie, deux issues : pile et face.
 Pour le dé, six issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
 Pour le jeu de cartes, trente-deux issues : du sept de  à l'as de .
Définition : Un évènement est une condition pouvant être réalisée (ou pas) lors d'une expérience, par une
ou plusieurs issues. S'il est réalisé par une seule issue, on dit qu'il est élémentaire.
Notation : Un évènement peut être désigné par une lettre majuscule : soit A l'évènement "Tirer un as".
Exemples :  La pièce : F : "Obtenir face" est un évènement élémentaire.
 Le dé : T : "Obtenir un multiple de 3" est un évènement réalisé par 3 et 6 ;
U : "Obtenir 1" est un évènement élémentaire.
 Le jeu de cartes : A : "Tirer un as" est un évènement réalisé par l'as de pique, l'as de
cœur, l'as de carreau et l'as de trèfle ; RC : "Tirer le roi de " est un évènement
élémentaire.
Définition : L'évènement contraire à un évènement A est l'évènement réalisé par toutes les issues ne
réalisant pas A. Il est noté A .
Exemples :  La pièce : F : "Ne pas obtenir face" (ou bien "Obtenir pile").
 Le dé : T : "Ne pas obtenir un multiple de 3" ; U : "Ne pas obtenir 1".
 Le jeu de cartes : A : "Ne pas tirer un as" ; R C : "Ne pas tirer le roi de ".
Définition : Une expérience est dite aléatoire si chaque issue ne dépend pas des issues des expériences
précédentes.
Exemple : Les trois expériences données en exemple sont des expériences aléatoires.
Remarque : L'issue d'une expérience aléatoire est due uniquement au hasard et une expérience aléatoire
peut être recommencée à l'identique à volonté.
Définition : Si on effectue une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de
réalisation d'un évènement se rapproche d'une fréquence "théorique", que l'on appelle
probabilité de l'évènement.
Exemples :  La pièce : si on la lance un grand nombre de fois, on obtient pile environ une fois sur
deux.
 Le dé : si on le lance un grand nombre de fois, on obtient 3 environ une fois sur six.
 Le jeu de cartes : si on recommence un grand nombre de fois, on obtient l'as de 
environ une fois sur trente-deux.
Notation : Soit A un évènement, la probabilité que l'évènement A se réalise est notée p(A).
Propriétés :  Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
 Un évènement dont la probabilité est nulle est dit impossible.
 Un évènement dont la probabilité vaut 1 est dit certain.
 La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.
Exemples :  La pièce : Soit A : "Obtenir pile ou face". A est certain, p(A) = 1.
 Le dé : Soit B : "Obtenir un multiple de 7". B est impossible, p(B) = 0.
Définition : Lorsque tous les évènements élémentaires d'une expérience ont la même probabilité d'être
réalisés, on dit qu'on a une situation d'équiprobabilité (et inversement).
Exemple : Le jeu de cartes : on a autant de chance de tirer chacune des cartes du paquet, on est dans
une situation d'équiprobabilité. SI ON RAJOUTE UN AS DE , IL Y AURA PLUS DE
CHANCES D'EN TIRER UN, IL N'Y AURA PLUS DE SITUATION
D'ÉQUIPROBABILITÉ.
II) Notations ensemblistes
Soient A et B deux évènements d'une même expérience aléatoire.
"inter"
 On note A  B l'évènement réalisé par les issues de A et de B en
même temps (on peut dire "A et B").
Exemples :  Le dé : on a P : "Obtenir un nombre pair" et S : "Obtenir
un nombre supérieur ou égal à quatre".
P  S : "Obtenir un nombre pair supérieur ou
égal à quatre 4" (ou bien "Obtenir 4 ou 6").
 Le jeu de cartes : on a A : "Tirer un as" et R : "Tirer une carte rouge".
A  R : "Tirer un as rouge" (ou bien "Tirer l'as de  ou l'as de ").
"union"
 On note A  B l'évènement réalisé par les issues de A ou bien celles
de B (ou inclusif, voir exemples avec le professeur ; on peut dire "A
ou B").
Exemples :  Le dé : P  S : "Obtenir un nombre qui est pair ou
supérieur ou égal à quatre 4" (ou bien "Obtenir
2, 4, 5 ou 6").
 Le jeu de cartes : A  R : "Tirer une carte qui est un as ou qui est rouge" (ou bien "Tirer
l'as de , de , de  ou de , ou un  ou un ").
Remarque :
AB  AB
et
AB  AB :
Pour le jeu de cartes : A  R  A  R :
" Ne pas tirer un as et ne pas tirer une
carte rouge"
III) Formules
Formule n°1 : Soit n le nombre d'issues possibles d'une expérience aléatoire en situation d'équiprobabilité.
Si un évènement est réalisé par un nombre p d'issues cas, sa probabilité est alors égale à
p
.
n
1
Exemples :  La pièce : Soit P : "Obtenir pile". On a : p(P) = .
2
1
 Le dé : Soit T : "Obtenir trois". On a : p(T) = .
6
 Le jeu de cartes : Soit A : "Tirer un as". Il y a quatre issues réalisant A : as de , de ,
1
4
de  et de . On a alors : p(A) =
= .
32 8
 On lance deux dés et on calcule la somme des faces supérieures :
Il y a 36 cas possibles, mais seulement 11 issues : de 2 à 12.
5
Soit H : "Obtenir huit". On a : p(H) =
(il y a cinq cas favorables : 2 et 6 ; 3 et 5 ; 4
36
et 4 ; 5 et 3 ; 6 et 2).
Formule n°2 : Soit A un évènement d'une expérience aléatoire. On a : p( A ) = 1 – p(A).
Exemples :  Le jeu de cartes : Soit N : "Tirer une carte qui est un nombre".
Il est judicieux de s'intéresser à N , car il y aura moins d'issues favorables à compter :
N : "Tirer une figure", il y a 12 issues favorables, donc :
12 20 5

 .
p(N) = 1 – p( N ) = 1 
32 32 8
 On lance deux dés et on calcule la somme des faces supérieures :
Soit A : "Obtenir un total inférieur ou égal à 10".
On a : A : "Obtenir 11 ou 12", il y a 3 cas favorables : 5 et 6 ; 6 et 5 ; 6 et 6.
3 33 11

 .
p(A) = 1 – p( A ) = 1 
36 36 12
Formule n°3 : Soient A et B deux évènements d'une même expérience aléatoire.
On a : p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).
Explication : Si on ne soustrait pas p(A  B), les issues de cette partie
auront été comptées en double…
Exemples :  Le dé : p(P  S) = p(P) + p(S) – p(P  S)
3 3 2 4 2
=     (sans la soustraction, on obtient une probabilité de
6 6 6 6 3
1, ce qui est impossible ici puisqu'on n'a pas retenu toutes les issues…)
4 16 2 18 9




 Le jeu de cartes : p(A  R) = p(A) + p(R) – p(A  R) =
.
32 32 32 32 16
(si on n'effectuait pas la soustraction, on compterait les deux as rouges 2
fois : avec les as et avec les rouges…)
IV) Arbre de probabilités
Lorsqu'on répète plusieurs fois une expérience aléatoire, on peut utiliser une représentation sous forme
d'arbre de probabilité. Il s'agit d'un schéma ayant un sens de lecture à respecter (gauche vers droite ou
haut vers bas), constitué de plusieurs branches réunies en groupes appelés "nœuds" de l'arbre. Il existe
plusieurs règles :
 À chaque évènement est associée une branche de l'arbre.
 Chaque branche est complétée par sa probabilité.
 Chaque nœud représente l'ensemble des possibilités (selon le caractère étudié), la somme des
probabilités des branches d'un nœud est donc toujours égale à 1.
 Si on "parcourt" plusieurs branches de l'arbre à la suite il faut multiplier les probabilités de chacune
pour obtenir la probabilité finale.
Exemple : Durant le mois de mars 2011, 125 clients ont réservé un voyage dans une agence. Pour chacun
de ces clients, un dossier a été constitué. En consultant ces dossiers, on constate que :
 50 clients ont choisi un voyage en France ;
 48% des clients ayant choisi un voyage en France ont souscrit une assurance annulation ;
 56% des clients ayant choisi un voyage à l’étranger ont souscrit une assurance annulation.
On choisit un dossier de ces clients au hasard. On suppose que chaque dossier a la même
probabilité d’être choisi. On définit les évènements suivants :
 F : « le dossier est celui d’un client ayant choisi un voyage en France » ;
 A : « le dossier est celui d’un client ayant souscrit une assurance annulation ».
On obtient l'arbre ci-contre :
On a p(F) = 0,4.
(lecture "directe" car on est au "début" de l'arbre.)
On a p(F  A) = 0,4 × 0,48 = 0,192.
(il faut suivre F puis A, donc on multiplie…)
On a p(A) = 0,4 × 0,48 + 0,6 × 0,56 = 0,192 + 0,336.
p(A) = 0,528.
(il y a 2 "chemins" possibles pour "atteindre" A : F  A et F  A, on va donc additionner les
probabilités de ces deux évènements…)