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1ERE S
CHAPITRE 7 : PROBABILITÉS : VARIABLES ALÉATOIRES
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I Variable aléatoire
1. Notion de variable aléatoire
Définition 1
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on
associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs
prises par X .
Exemple 1
On lance une pièce de monnaie trois fois successivement, et on note le côté sorti pour chacune d’elles.
L’univers E de cette expérience contient 8 issues possibles :
E  PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF .
Soit la règle du jeu suivante :
– si on obtient deux fois successivement P ou F, on gagne 1 €
– si on obtient trois fois successivement P ou F, on gagne 2 €
– sinon, on perd 3 €
Cette règle du jeu associe un nombre réel à chaque issue de E.
Issues
X
PPP
2
PPF
1
PFP
3
FPP
1
PFF
1
FPF
3
FFP
1
FFF
2
On dit alors que l’on a défini la variable aléatoire X qui donne le gain du joueur
2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 2
La probabilité de l’événement « X = x i » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues
associés
au nombre x i .
Exemple 2
Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie ci-dessus, le gain 2 € est associé aux issues « PPP» et
« FFF », donc la probabilité de l’événement X = 2 est celle de l’événement PPP, FFF de E.
2 1
Ainsi par équiprobabilité dans E : p X  2  p PPP; FFF  
8 4
Définition 3
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. On note x i 1  i  k  les différentes valeurs prises par X
.
Définir la loi de probabilité de X consiste à associer à chaque valeur x i la probabilité de l’événement « X =
».
On présente souvent les données sous forme d’un tableau, où la somme des probabilités est égale à 1.
Exemple 3
Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie, le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité de X
.
Gain x i
pX  xi

3
2 1

8 4
1
4 1

8 2
2
2 1

8 4
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II Paramètres d’une variable aléatoire
X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée par le tableau suivant :
Valeur x i
Probabilité p X  xi

x1
p1
.......
.......
xk
pk
1. Espérance mathématique d’une variable aléatoire
Définition 4
L’espérance mathématique de X est le nombre réel, noté E X  , donné par :
k
E X   x 1p1  x 2 p 2  ...... x k pk   x i pi
i 1
2. Variance et écart-type
Définition 5
 La variance de X , notée V X  est la moyenne des carrés des écarts x i  E X  :
k
V X   p1x 1  E X 2  p 2 x 2  E X 2  ...... pk x k  E X 2   pi x i  E X 2
(1)
i 1
La variance est aussi la moyenne des carrés des valeurs moins le carré de l’espérance :
k
2
V X    pi x i  E X 
2
(2)
i 1
 L’écart-type de X, est le réel : X   V X 
Exemple 4 Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie :

L’espérance de X est E X   3 
1
1
1
 1  2 
 0 ,25 €
4
2
4
L’espérance peut s’interpréter en disant que si on joue un très grand nombre de fois, le gain moyen que
l’on peut « espérer » est de 0,75 €.
Lorsque E X   0 , le jeu est équitable ; ici E X  > 0 donc le jeu est favorable au joueur.
1
1
1
 3  0 ,252  1 0 ,252  2  0 ,252  3,6875
4
2
4

La variance de X est V X  

L’écart-type est X   V X  donc X   3,6875  1,92 €
La variance ou l’écart-type permet de comparer la dispersion des valeurs de deux lois de probabilités
3. Espérance de aX+b et variance de aX
Pour tous nombres a et b , on définit une nouvelle variable aléatoire, en associant à chaque issue
donnant la valeur x i , le nombre axi  b ; on note cette variable aléatoire aX  b .
Théorème
Pour tous nombres a et b : E aX  b   aEX   b et
V aX   a 2V X 
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Démonstration
 E aX  b   ax1  b p1  ax2  b p2  ...... axk  b pk
E aX  b   ax1p1  ax2 p2  ...... axk pk  bp1  bp2  ..... bpk
E aX  b   ax1p1  x 2 p2  ....... xk pk   bp1  p2  ....... pk 
Or x1p1  x 2 p2  .....xk pk  E X  et p1  p2  ....... pk  1
Donc E aX  b   aEX   b
 D’après la formule (2) de calcul de la variance :
V aX   p1ax12  p2 ax2 2  ....... pk axk 2  E aX 2


V aX   p1a2x12  p2a2x 22  ..... pk a2xk 2  aEX 2  a2 p1x12  p2x 22  ..... pk xk 2  a2 E X 2
V aX   a
2

p1x12

 p2x 2  ...  pk xk  E X  , d’où V aX   a V X 
2
2
2
2
III Répétition d’expériences identiques et indépendantes
O peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré.
Propriété
Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité
d’une issue est le produit des probabilités de chaque branche qui compose cette issue
La probabilité d’obtenir l’issue AA est égale à p  q .