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1ERE S CHAPITRE 7 : PROBABILITÉS : VARIABLES ALÉATOIRES
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I Variable aléatoire
1. Notion de variable aléatoire
Exemple 1
On lance une pièce de monnaie trois fois successivement, et on note le côté sorti pour chacune d’elles.
L’univers E de cette expérience contient 8 issues possibles :
FFF,FFP,FPF,PFF,FPP,PFP,PPF,PPPE 
.
Soit la règle du jeu suivante :
– si on obtient deux fois successivement P ou F, on gagne 1 €
– si on obtient trois fois successivement P ou F, on gagne 2 €
– sinon, on perd 3 €
Cette règle du jeu associe un nombre réel à chaque issue de E.
Issues
PPP
PPF
PFP
FPP
PFF
FPF
FFP
FFF
X
2
1
3
1
1
3
1
2
On dit alors que l’on a défini la variable aléatoire X qui donne le gain du joueur
2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Exemple 2
Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie ci-dessus, le gain 2 € est associé aux issues «
PPP
» et
«
FFF
», donc la probabilité de l’événement X = 2 est celle de l’événement
FFF,PPP
de E.
Ainsi par équiprobabilité dans E :
4
1
8
2
2 FFF;PPPpXp
On présente souvent les données sous forme d’un tableau, où la somme des probabilités est égale à 1.
Exemple 3
Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie, le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité de X
.
Gain
i
x
3
1
2
i
xXp 
4
1
8
2
2
1
8
4
4
1
8
2
Définition 1
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on
associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs
prises par X .
Définition 2
La probabilité de l’événement « X =
i
x
» est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues
associés
au nombre
i
x
.
Définition 3
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. On note
i
x
ki 1
les différentes valeurs prises par X
.
Définir la loi de probabilité de X consiste à associer à chaque valeur
i
x
la probabilité de l’événement « X =
».

1ERE S CHAPITRE 7 : PROBABILITÉS : VARIABLES ALÉATOIRES
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II Paramètres d’une variable aléatoire
X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée par le tableau suivant :
Valeur
i
x
1
x
.......
k
x
Probabilité
i
xXp 
1
p
.......
k
p
1. Espérance mathématique d’une variable aléatoire
2. Variance et écart-type
Exemple 4 Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie :
 L’espérance de X est
250
4
1
2
2
1
1
4
1
3,XE 
€
L’espérance peut s’interpréter en disant que si on joue un très grand nombre de fois, le gain moyen que
l’on peut « espérer » est de 0,75 €.
Lorsque
0XE
, le jeu est équitable ; ici
XE
> 0 donc le jeu est favorable au joueur.
 La variance de X est
687532502
4
1
2501
2
1
2503
4
1222 ,,,,XV 
 L’écart-type est
XVX 
donc
92168753 ,,X 
€
La variance ou l’écart-type permet de comparer la dispersion des valeurs de deux lois de probabilités
3. Espérance de aX+b et variance de aX
Pour tous nombres a et b , on définit une nouvelle variable aléatoire, en associant à chaque issue
donnant la valeur
i
x
, le nombre
baxi
; on note cette variable aléatoire
baX 
.
Définition 4
L’espérance mathématique de X est le nombre réel, noté
XE
, donné par :
 k
iiikk pxpx......pxpxXE 1
2211
Définition 5
 La variance de X , notée
XV
est la moyenne des carrés des écarts
XExi
:
2
1
22
22
2
11 XExpXExp......XExpXExpXV i
k
iikk  
(1)
La variance est aussi la moyenne des carrés des valeurs moins le carré de l’espérance :
2
1
2
 k
iii XExpXV
(2)
 L’écart-type de X, est le réel :
XVX 
Théorème
Pour tous nombres a et b :
bXaEbaXE
et
XVaaXV2

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III Répétition d’expériences identiques et indépendantes
O peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré.
La probabilité d’obtenir l’issue AA est égale à
qp
.
Démonstration
kk pbax......pbaxpbaxbaXE 2211
kkk bp.....bpbppax......paxpaxbaXE 212211
kkk p.......ppbpx.......pxpxabaXE 212211
Or
XEpx.....pxpx kk  2211
et
1
21  k
p.......pp
Donc
bXaEbaXE
 D’après la formule (2) de calcul de la variance :
2
22
22
2
11 aXEaxp.......axpaxpaXVkk 
2
2
22
22
2
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1XEaxp.....xpxpaXaExap.....xapxapaXVkkkk 
2
22
22
2
11
2XExp...xpxpaaXVkk 
, d’où
XVaaXV2
Propriété
Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité
d’une issue est le produit des probabilités de chaque branche qui compose cette issue