MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 27
Applications linéaires
E désigne un espace vectoriel sur K
.
1- f: R 2  R 3
Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f
(x,y)  ( 4x- 3y , 5x+4y, x-y)
2- Mêmes questions qu’à l’exercice précédent pour (x,y,z)
 (6x-4y+z, 9x-6y)
3- C est considéré comme un R -espace vectoriel. Soit f : C  C définie par f ( z )  (1  i) z  (1  i) z
Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f
4- E= C0 ( R , R ) Soit T l'application qui à f dans E associe T (f ) = F , F étant définie par
F ( x)  xf ( x) . Montrer que T est un endomorphisme et déterminer son noyau et son image.
5- f et g sont deux endomorphismes de E tels que g o f = f o g.
Montrer g (Ker f )  Ker f et g ( Im f )  Im f
6- Soit f dans L ( E ). On note f o f = f²
1) Montrer Ker f  Ker f² puis Ker f = Ker f²
2) Montrer Im f²  Im f
puis Im f = Im f²
 Ker f  Im f = {0}
 E = Ker f + Im f
7 - Soit f dans L ( E ) vérifiant f²+ f -2Id =0 . Montrer E= Ker(f-Id)
 Ker(f+2Id)
8- Soit p et q deux projecteurs de E .
a) Montrer que p + q projecteur  p  q  q  p  0
b) On suppose ces conditions vérifiées.
Montrer Ker ( p  q)  Ker ( p)  Ker (q) et Im( p  q)  Im( p)  Im(q)
9- Soit f dans L(E) telle que pour tout u de E, il existe  u dans K tel que f (u)  u u
a) Montrer que si u et v forment une famille libre alors u v  u  v
b) Montrer que si u et v sont colinéaires non nuls alors u   v
c) Déterminer les endomorphismes de E tels que pour tout u dans E f (u ) soit colinéaire à u.
10- Soit f dans L ( E ) vérifiant f²-3f +2Id =0
a) Montrer que f est un automorphisme de E et exprimer f-1 en fonction de f.
b) On pose p  2Id  f et q  f  Id . Montrer que p et q sont des projecteurs et déterminer p  q ainsi
que q  p .
c) Calculer f n en fonction de p et q pour n entier naturel. La formule trouvée reste-t-elle vraie pour n entier
négatif ?
11- Soit B  e1 , e 2 , e3  la base canonique de IR3 et f l’endomorphisme défini par f (e1 ) 
1
1
e1  e 2
2
2
1
1
e1  e 2 et f (e3 )  e1  e2  e3
2
2
a) Déterminer une base de Ker f et une base de Im f. Ces sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires ?
b) Déterminer f  f et en déduire f
f (e 2 )  