MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 27
Applications linéaires
E désigne un espace vectoriel sur K
.
1- f:
2
R
3
R
Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f
(x,y) ( 4x- 3y , 5x+4y, x-y)
2- Mêmes questions qu’à l’exercice précédent pour (x,y,z) (6x-4y+z, 9x-6y)
3-
C
est considéré comme un
R
-espace vectoriel. Soit f :
C
C
définie par
zizizf )1()1()( 
Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f
4- E= C0 (
R
,
R
) Soit T l'application qui à f dans E associe T (f ) = F , F étant définie par
F x xf x( ) ( )
. Montrer que T est un endomorphisme et déterminer son noyau et son image.
5- f et g sont deux endomorphismes de E tels que g o f = f o g.
Montrer g (Ker f ) Ker f et g ( Im f ) Im f
6- Soit f dans L ( E ). On note f o f = f²
1) Montrer Ker f Ker f² puis Ker f = Ker f² Ker f Im f = {0}
2) Montrer Im f² Im f puis Im f = Im f² E = Ker f + Im f
7 - Soit f dans L ( E ) vérifiant f²+ f -2Id =0 . Montrer E= Ker(f-Id) Ker(f+2Id)
8- Soit p et q deux projecteurs de E .
a) Montrer que p + q projecteur
  p q q p  0
b) On suppose ces conditions vérifiées.
Montrer
Ker p q Ker p Ker q( ) ( ) ( )  
et
Im( ) Im( ) Im( )p q p q  
9- Soit f dans L(E) telle que pour tout u de E, il existe
u
dans K tel que
uuf u )(
a) Montrer que si u et v forment une famille libre alors
vuvu
b) Montrer que si u et v sont colinéaires non nuls alors
vu
c) Déterminer les endomorphismes de E tels que pour tout u dans E
)(uf
soit colinéaire à u.
10- Soit f dans L ( E ) vérifiant f²-3f +2Id =0
a) Montrer que f est un automorphisme de E et exprimer f-1 en fonction de f.
b) On pose
fIdp 2
et
Idfq 
. Montrer que p et q sont des projecteurs et déterminer
qp
ainsi
que
pq
.
c) Calculer f n en fonction de p et q pour n entier naturel. La formule trouvée reste-t-elle vraie pour n entier
négatif ?
11- Soit B
321 ,, eee
la base canonique de IR3 et f l’endomorphisme défini par
211 2
1
2
1
)( eeef 
212 2
1
2
1
)( eeef 
et
3213)( eeeef 
a) Déterminer une base de Ker f et une base de Im f. Ces sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires ?
b) Déterminer
ff 
et en déduire f