R.O.C.

Chapitre 2 : Introduction de la fonction exponentielle
Equations différentielles y' = ay
Propriété :
S'il existe une fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, alors f ne s'annule pas sur ℝ
Démonstration :
Soit Φ la fonction définie dans ℝ, par Φ(x) = f(x) f(-x). En utilisant le théorème de dérivation
d'une fonction composée, on a
Φ'(x) = f'(x) f(-x) – f(x) f'(-x).
Puisque f' = f, Φ'(x) = f(x) f(-x) – f(x) f(-x) = 0 pour tout réel x.
La fonction Φ est donc constante et, comme f(0) = 1, Φ(0) = 1.
Ainsi pour tout réel x, Φ(x) = 1.
S'il existait un réel a tel que f(a) = 0, alors, puisque Φ(a) = f(a) f(-a), Φ(a) serait égal à 0, ce qui est
en contradiction avec Φ(x) = 1 pour tout x réel.
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.
Théorème
Le problème différentiel
1)0(y
y'y
admet une unique solution sur ℝ
Démonstration :
Si g est une fonction dérivable sur ℝ telle que g' = g et g (0) = 1 , la fonction h =
f
g
est définie et dérivable sur ℝ, h' =
²f 'gff'g 
. De f ' = f et g' = g, on déduit que h'
est la fonction nulle donc h est une fonction constante sur ℝ. Or h (0) =
)0(f )0(g
= 1 donc
pour tout réel x, h(x) = 1, c'est-à-dire g(x) = f(x) . Ainsi g = f.
Théorème
Le problème différentiel
0
y)0(y
ky'y
admet une unique solution f sur ℝ qui est définie par :
f(x) = y0 exp(kx)
Démonstration
Existence.
La fonction f, définie par f(x) = y0 exp(kx), vérifie bien les conditions :

f(0) = y0 exp(0) = y0 et f '(x) - kf(x) = y0 k exp'(kx) – y0 k exp(kx) = 0
Unicité.
Soit g une solution quelconque du problème différentiel
0
y)0(y
ky'y
Soit h la fonction définie sur ℝ par :
h(x) =g(x) exp(-kx)
La fonction h est dérivable sur ℝ (g et l'exponentielle le sont) et pour tout réel x :
h'(x) = g'(x) exp(-kx) - k g(x) exp(-kx)
Et comme g' = kg :
h'(x) = 0
Donc h est constante sur ℝ. Comme h(0) = g(0) exp(0) = y0, on a :
h = y0 sur ℝ
D'après la propriété 3, on déduit : g(x) = y0 exp(kx)
Donc g = f sur ℝ
Ce qui prouve l'unicité.
Propriété
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits :
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
Démonstration
 f est distincte de la fonction nulle donc il existe un réel x0 tel que f(x0) 0
f(x0 + 0) = f(x0) f(0) et comme f(x0) 0 alors f(0) = 1
On note y un réel fixé et on considère la fonction φ définie sur ℝ par :
φ(x) = f(x +y) = f(x) f(y)
φ est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, φ’(x) = f ’(x + y) = f ’(x) f(y)
Pour x = 0, on obtient f ’(y) = f ’(0) f(y) et cette égalité est vraie pour y réel quelconque
Il existe donc un réel k (k = f ’(0)) tel que pour tout réel y, f ’(y) = k f(y)
D’après le théorème précédent la fonction f est définie sur ℝ par f(x) = exp(kx)
 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = exp(kx), où k est un réel
On note y un réel fixé et on considère la fonction φ définie sur ℝ par :
φ est la fonction définie sur ℝ par φ (x) =
)x(f )yx(f 
(la fonction f ne s’annule pas sur ℝ)
D'après les théorèmes de dérivation d'une fonction composée et d'un quotient, φ est
dérivable sur ℝ et :
φ '(x) =
)]²x(f[ )x('f)yx(f)x(f)yx('f 
Or f ’(x + y) = k f(x + y) et f ’(x) = k f(x) donc φ’(x) = 0
φ est donc une fonction constante sur ℝ . Or φ (0) =
)0(f )y(f
= f(y), donc pour tout réel x,

φ (x) = f(y) c'est-à-dire :
)x(f )yx(f 
= f(y) .
Donc pour tout réel x, f (x + y) = f(x) f(y). Or cette proposition est vraie pour
toute valeur de y, donc pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) f(y).
Propriété
Pour tout réel x :
exp(-x) exp(x) = 1
Démonstration
On a vu (dans la démonstration de l'unicité de l'exponentielle) qu'une fonction f solution de
1)0(y
y'y
vérifie
pour tout x ℝ, f(x) f( -x) = 1
C'est donc le cas de l'exponentielle.
Théorème : stricte positivité de l'exponentielle
Pour tout réel x, on a : exp(x) > 0
Démonstration
On a vu (propriété I 3-) que pour tout réel x :
exp(-x) exp(x) = 1
Donc l'exponentielle ne s'annule pas. Mais d'après la propriété III 1-, on peut écrire aussi :
exp(x) = exp(
2
x
2
x
) =
2
2
x
exp 
or
0
2
x
exp
2
On a prouvé que l'exponentielle est positive et ne s'annule pas donc pour tout réel x, on a :
exp(x) > 0
Théorème
Pour tout réel x, et tout entier relatif n on a :
exp(nx) = (exp(x))n
Démonstration
Dans un premier temps, on suppose n ℕ
Montrons, par récurrence sur n, la propriété p définie par :
p(n) : exp(nx) = (exp(x))n
1) Comme exp(0) = 1 = (exp(x))0, on a bien p(0).
2) On suppose qu'il existe k n ℕ tel que :
exp(kx) = (exp(x))k P(k)
On a :
exp((k + l)x) = exp(kx + x)

Comme l'exponentielle transforme les sommes en produits:
exp(kx + x) = exp(kx)exp(x)
Et d'après P(k) : exp(kx + x) = (exp(x))k exp(x) = (exp(x))k+1
D'où: exp((k + l)x) = (exp(x))k+1
On a démontré que : P(k) P(k+1)
3) Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
pour tout n ℕ exp(nx) = (exp(x))n
Supposons maintenant n ℤ \ ℕ. On pose alors m = -n
-n ℕ.
D'après ce qui précède, on peut écrire :
exp(nx) = exp(-mx) = (exp(x))-m= (exp(x))n
Propriété : Exponentielle de l'opposé d'un réel
Pour tout réel x, exp(-x) =
xexp
1
Démonstration :
On sait que pour tous réels x et y, exp (x + y) = exp x exp y .
En particulier, pour y = - x, on obtient : pour tout réel x, exp 0 = exp x exp (- x) .
Or exp0 = 1 et exp x
0
donc exp (-x) =
)xexp(
1
Propriété : Exponentielle de la différence de deux réels
Pour tous réels x et y, exp (x - y) =
yexp xexp
Démonstration :
Pour tous réels x et y, exp (x - y) = exp [x + (- y)] .
La relation fonctionnelle permet d'affirmer qu'alors: exp (x - y) = exp x exp (- y)
Or exp (-y) =
yexp
1
donc exp (x-y) =
yexp xexp
Propriété : Approximation affine de eh pour h proche de 0
L'approximation affine de eh pour h proche de 0 associée à la fonction exp est donnée par
eh e0 + h exp'(0), c'est-à-dire eh = 1 + h .
1
h1e
lim h
0h 
Démonstration :

La fonction x ex est dérivable en 0
Le nombre dérivé en 0 est 1 ; on obtient donc, par définition,
1
h1e
lim h
0h 
Limites en + et en -
Propriétés
x
lim
ex = + et
x
lim
ex = 0
Démonstration
. f est la fonction définie sur [0; + [ par f(x) = ex - x. Pour tout réel x 0,
f '(x) = ex - 1 . Or pour tout x 0, e x 1 donc f '(x) 0. La fonction f est croissante sur [0; + [ ;
f(0) = 1 donc pour tout réel x 0, f(x) 0, c'est-à-dire e x x.
x
lim
x = + , et d'après une propriété de comparaison,
x
lim
ex = +
.Pour tout x réel, on pose X = -x, alors ex = e-X =
X
e1
Xlim x
et
0
e1
lim X
X
donc d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée,
x
lim
ex = 0
Propriétés : croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances
(1)
x
e
lim x
x
(2)
0xelim x
x
Démonstration :
(1) f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f (x) = ex -
²x
2
1
, on a f '(x) = ex - x et
f "(x) = ex - l
f " est positive sur [0 ; + ∞[, donc f ' est croissante sur [0 ; + ∞[ ; or f '(0) = l, donc f ' est positive sur
[0 ; + ∞[, Alors f est croissante sur [0 ; + ∞[ et comme f (0) = l, f est positive sur [0; + ∞[
On en déduit que pour tout réel x de]0; + ∞[,
x
2
1
x
ex
D'après les propriétés de comparaison de deux fonctions,
x
2
1
lim
x
, donc
x
e
lim x
x
(2) On effectue le changement de variable X = - x, alors x ex = - X e- X = -
X
e
X
Xlim x
et d'après le résultat précédent,
0
e
X
lim X
X
Avec la propriété de composition, on obtient
x
lim
x ex = 0