R.O.C.

Chapitre 2 : Introduction de la fonction exponentielle
Equations différentielles y' = ay
Propriété :
S'il existe une fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, alors f ne s'annule pas sur ℝ
Démonstration :
Soit Φ la fonction définie dans ℝ, par Φ(x) = f(x)  f(-x). En utilisant le théorème de dérivation
d'une fonction composée, on a
Φ'(x) = f'(x) f(-x) – f(x) f'(-x).
Puisque f' = f, Φ'(x) = f(x) f(-x) – f(x) f(-x) = 0 pour tout réel x.
La fonction Φ est donc constante et, comme f(0) = 1, Φ(0) = 1.
Ainsi pour tout réel x, Φ(x) = 1.
S'il existait un réel a tel que f(a) = 0, alors, puisque Φ(a) = f(a) f(-a), Φ(a) serait égal à 0, ce qui est
en contradiction avec Φ(x) = 1 pour tout x réel.
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.
Théorème
Le problème différentiel
 y'  y

 y ( 0)  1
admet une unique solution sur ℝ
Démonstration :
Si g est une fonction dérivable sur ℝ telle que g' = g et g (0) = 1 , la fonction h =
g
f
g ' f  gf '
. De f ' = f et g' = g, on déduit que h'
f²
g ( 0)
est la fonction nulle donc h est une fonction constante sur ℝ. Or h (0) =
= 1 donc
f ( 0)
pour tout réel x, h(x) = 1, c'est-à-dire g(x) = f(x) . Ainsi g = f.
est définie et dérivable sur ℝ, h' =
Théorème
Le problème différentiel
 y'  ky

 y(0)  y 0
admet une unique solution f sur ℝ qui est définie par :
f(x) = y0 exp(kx)
Démonstration
Existence.
La fonction f, définie par f(x) = y0 exp(kx), vérifie bien les conditions :
f(0) = y0 exp(0) = y0 et f '(x) - kf(x) = y0 k exp'(kx) – y0 k exp(kx) = 0
Unicité.
Soit g une solution quelconque du problème différentiel
 y'  ky

 y(0)  y 0
Soit h la fonction définie sur ℝ par :
h(x) =g(x) exp(-kx)
La fonction h est dérivable sur ℝ (g et l'exponentielle le sont) et pour tout réel x :
h'(x) = g'(x) exp(-kx) - k g(x) exp(-kx)
Et comme g' = kg :
h'(x) = 0
Donc h est constante sur ℝ. Comme h(0) = g(0) exp(0) = y0, on a :
h = y0 sur ℝ
D'après la propriété 3, on déduit : g(x) = y0 exp(kx)
Donc g = f sur ℝ
Ce qui prouve l'unicité.
Propriété
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits :
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = exp(x)  exp(y)
Démonstration
 f est distincte de la fonction nulle donc il existe un réel x0 tel que f(x0)  0
f(x0 + 0) = f(x0)  f(0) et comme f(x0)  0 alors f(0) = 1
On note y un réel fixé et on considère la fonction φ définie sur ℝ par :
φ(x) = f(x +y) = f(x)  f(y)
φ est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, φ’(x) = f ’(x + y) = f ’(x)  f(y)
Pour x = 0, on obtient f ’(y) = f ’(0)  f(y) et cette égalité est vraie pour y réel quelconque
Il existe donc un réel k (k = f ’(0)) tel que pour tout réel y, f ’(y) = k f(y)
D’après le théorème précédent la fonction f est définie sur ℝ par f(x) = exp(kx)
 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = exp(kx), où k est un réel
On note y un réel fixé et on considère la fonction φ définie sur ℝ par :
f ( x  y)
φ est la fonction définie sur ℝ par φ (x) =
(la fonction f ne s’annule pas sur ℝ)
f (x)
D'après les théorèmes de dérivation d'une fonction composée et d'un quotient, φ est
dérivable sur ℝ et :
f ' ( x  y )f ( x )  f ( x  y) f ' ( x )
φ '(x) =
[f ( x )]²
Or f ’(x + y) = k f(x + y) et f ’(x) = k f(x) donc φ’(x) = 0
f ( y)
φ est donc une fonction constante sur ℝ . Or φ (0) =
= f(y), donc pour tout réel x,
f ( 0)
f ( x  y)
= f(y) .
f (x)
Donc pour tout réel x, f (x + y) = f(x)  f(y). Or cette proposition est vraie pour
toute valeur de y, donc pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x)  f(y).
φ (x) = f(y) c'est-à-dire :
Propriété
Pour tout réel x :
exp(-x)  exp(x) = 1
Démonstration
On a vu (dans la démonstration de l'unicité de l'exponentielle) qu'une fonction f solution de
 y'  y

 y ( 0)  1
vérifie
pour tout x  ℝ, f(x) f( -x) = 1
C'est donc le cas de l'exponentielle.
Théorème : stricte positivité de l'exponentielle
Pour tout réel x, on a : exp(x) > 0
Démonstration
On a vu (propriété I 3-) que pour tout réel x :
exp(-x)  exp(x) = 1
Donc l'exponentielle ne s'annule pas. Mais d'après la propriété III 1-, on peut écrire aussi :
x x

exp(x) = exp( 2 2 ) =
  x 
exp  2 
  
2
2
  x 
exp  2   0
or   
On a prouvé que l'exponentielle est positive et ne s'annule pas donc pour tout réel x, on a :
exp(x) > 0
Théorème
Pour tout réel x, et tout entier relatif n on a :
exp(nx) = (exp(x))n
Démonstration
Dans un premier temps, on suppose n  ℕ
Montrons, par récurrence sur n, la propriété p définie par :
p(n) : exp(nx) = (exp(x))n
1) Comme exp(0) = 1 = (exp(x))0, on a bien p(0).
2) On suppose qu'il existe k n  ℕ tel que :
exp(kx) = (exp(x))k
P(k)
On a :
exp((k + l)x) = exp(kx + x)
Comme l'exponentielle transforme les sommes en produits:
exp(kx + x) = exp(kx)exp(x)
Et d'après P(k) :
exp(kx + x) = (exp(x))k exp(x) = (exp(x))k+1
D'où:
exp((k + l)x) = (exp(x))k+1
On a démontré que : P(k)  P(k+1)
3) Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
pour tout n  ℕ exp(nx) = (exp(x))n
Supposons maintenant n  ℤ \ ℕ. On pose alors m = -n
-n  ℕ.
D'après ce qui précède, on peut écrire :
exp(nx) = exp(-mx) = (exp(x))-m= (exp(x))n
Propriété : Exponentielle de l'opposé d'un réel
Pour tout réel x, exp(-x) =
1
exp x
Démonstration :
On sait que pour tous réels x et y, exp (x + y) = exp x  exp y .
En particulier, pour y = - x, on obtient : pour tout réel x, exp 0 = exp x  exp (- x) .
1
Or exp0 = 1 et exp x  0 donc exp (-x) =
exp( x )
Propriété : Exponentielle de la différence de deux réels
Pour tous réels x et y, exp (x - y) =
exp x
exp y
Démonstration :
Pour tous réels x et y, exp (x - y) = exp [x + (- y)] .
La relation fonctionnelle permet d'affirmer qu'alors: exp (x - y) = exp x  exp (- y)
1
Or exp (-y) =
exp y
exp x
donc exp (x-y) =
exp y
Propriété : Approximation affine de eh pour h proche de 0
L'approximation affine de eh pour h proche de 0 associée à la fonction exp est donnée par
eh  e0 + h exp'(0), c'est-à-dire eh = 1 + h .
eh 1
1
h 0
h
lim
Démonstration :
La fonction x  ex est dérivable en 0
eh 1
1
h 0
h
Le nombre dérivé en 0 est 1 ; on obtient donc, par définition, lim
Limites en +  et en - 
Propriétés
lim
lim
x   ex = +  et
x   ex = 0
Démonstration
. f est la fonction définie sur [0; +  [ par f(x) = ex - x. Pour tout réel x  0,
f '(x) = ex - 1 . Or pour tout x  0, e x  1 donc f '(x)  0. La fonction f est croissante sur [0; +  [ ;
f(0) = 1 donc pour tout réel x  0, f(x)  0, c'est-à-dire e x  x.
lim
x  
x = +  , et d'après une propriété de comparaison,
lim
x  
ex = + 
1
X
.Pour tout x réel, on pose X = -x, alors ex = e-X = e
1
lim X  0
lim X  
X


x  
e
et
donc d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée,
lim
x   ex = 0
Propriétés : croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances
ex
 
(1) x  x
lim
(2)
lim xe x  0
x 
Démonstration :
1
x²
(1) f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f (x) = ex - 2 , on a f '(x) = ex - x et
f "(x) = ex - l
f " est positive sur [0 ; + ∞[, donc f ' est croissante sur [0 ; + ∞[ ; or f '(0) = l, donc f ' est positive sur
[0 ; + ∞[, Alors f est croissante sur [0 ; + ∞[ et comme f (0) = l, f est positive sur [0; + ∞[
ex 1
 x
On en déduit que pour tout réel x de]0; + ∞[, x 2
1
ex
x  
lim
 
D'après les propriétés de comparaison de deux fonctions, x  2
, donc x  x
X
X
(2) On effectue le changement de variable X = - x, alors x ex = - X e- X = - e
lim
lim X  
x  
 X
lim   X
X  
 e
et d'après le résultat précédent,
Avec la propriété de composition, on obtient
lim
x  

0

x ex = 0
Propriétés : extension aux puissances de x
Pour tout entier naturel non nul n :
ex
lim n  
(2) lim x n e x  0
x  x
x 
(1)
Démonstration :
(1) Pour tout réel non nul x, on a :
x
On pose t = n
n
 et 
ex
et n
1
   n


n
n
x
(t n)
 t  n
ex
lim
 
Or x  x
n
 et 
lim    
t  
 t 
Donc
ex
lim n  
Et x  x
(2) On pose X = -x
exxn = e-X(-X)n = (-1)ne-XXn
Xn
lim X   et lim X  0
X  e
Or x 
D'où le résultat