II_ relation tension-courant pour le condensateur et l`inductance

Chapitre 3 :
Circuits linéaires en régime variable
I_ Introduction :
1) position du problème :
Soit un dipôle passif constitué d’éléments R, L ou C ; commandé par un générateur
délivrant une grandeur de commande connue et modélisable par une fonction
analytique simple (constante, sinusoïdale, exponentielle) on cherche à déterminer
l’évolution pour t positif d’une grandeur notée y(t) à laquelle on s’intéresse (tension
ou courant).
Le dipôle linéaire passif est décrit en général par une équation différentielle
linéaire (on se limite à l’ordre 2).
2) Préalables mathématiques :
on note
y’ (t) = dy
dt
y’’ (t) = d² y
dt²
L’équation différentielle à résoudre est de la forme :
a2.d²y + a1 . dy + a0.y = f(t) connue
dt²
dt
premier membre
second membre (lié à la présence du générateur de commande)
La solution comporte 2 parties : y(t) = y1(t) + y2(t)
_ d’une solution générale y1(t) de l’équation homogène (sans second membre), ou
régime libre,
_ d’une solution particulière y2(t) de l’équation complète, ou régime forcé
 ordre 1 :
dy +
dt
calcul de y1 : dy +
dt
y1(t) = K. e^(-t/)
1 .y = f(t)

1 .y = 0

K constante à déterminer
y2(t) est fonction de f(t) (selon f(t) on saura qu’elle est la forme de y2)
 ordre 2 :
d²y + 2z . dy + 1 .y = f(t)
dt²
o dt o²
On définit alors l’équation caractéristique associée à cette équation :
R² + 2z .r + 1 = 0
o
o²
1
La forme de y1(t) dépend des racines de l’équation caractéristique.
Y2 : même chose que pour ordre 1, y2 dépend de la forme de f(t)
II_ relation tension-courant pour le condensateur et l’inductance :
1) le condensateur :
 symbole :
Il est caractérisé par sa capacité en Farads (F)
 relation tension courant :
on a U(t) = q(t)
or i(t) = dq
C
dt
Donc :
I(t) = C . du(t)
dt
u(t) = 1/C  i(t) .dt
 schéma équivalent en régime continu :
 aspect énergétique :
L’énergie emmagasinée par un condensateur soumis à une tension u(t) a pour
expression :
Ec = ½ Cu² (t) = ½ q²(t)
C
Remarque : L’énergie est une grandeur qui ne peut admettre de discontinuité, donc
pour le condensateur : la tension aux bornes d’un condensateur ne peut être
discontinue.
 schéma équivalent en régime « rapidement variable » :
 règles d’association :
_ en série :
2
1 = 1 + 1 soit
Ce C1 C2
Ce =
C1.C2
C1 + C2
_ en parallèle :
Ce = C1 + C2
2) La bobine :
 symbole :
L en Henry (H)
 relation tension-courant :
u(t) = L .di(t)
dt
 schéma équivalent en régime continu :
 schéma équivalent en régime « rapidement variable » :
 aspect énergétique :
Une bobine d’inductance L soumise à un courant i emmagasine une énergie :
E (L) = ½ Li²
 continuité du courant
 règles d’association :
_ en série :
Le = L1 + L2
_ en parallèle :
3
1 = 1 + 1 soit Le = L1 .L2
Le L1 L2
L1 + L2
III_ Régime transitoire dans un circuit RC :
Soit le circuit suivant :
Hypothèse :
Le condensateur est initialement déchargé
A t = 0 on ferme l’interrupteur
1) résolution mathématique :
_ Loi des mailles
R.ic + Uc = E or ic(t) = C . dUc(t)
Dt
Donc RC . dUc(t) + Uc(t) = E
dt
Soit dUc(t) + 1 Uc(t) = E
dt
RC
RC
on pose  = RC en secondes
 solution de l’équation homogène associée : U1(t)
dU1(t) + 1 U1(t) = 0
dt

U1(t) = K e^(-t/)
 solution particulière : U2(t)
si U2(t) est constante, alors dU2(t) = 0
dt
1 U2(t) = E


soit
U2(t) = E
 solution de l’équation globale :
Uc(t) = U1(t) + U2(t)
Donc Uc(t) = K e^(-t/) + E
Uc(0) = 0
Uc(0) = K + E  K = -E
Uc(t) = E ( 1-e ^(-t/))
4
q(t) = C . Uc(t) = CE (1-e ^(-t/))
ic(t) = C dUc(t) = CE . e ^(-t/) = E . e^(-t/)
dt

R
 représentation graphique :
q(t) = C . Uc(t) = CE ( 1- e^(-t/))
ic(t) = C dUc(t) = CE e ^ (-t/) = E e^(-t/)
dt

R
2) résolution par schémas équivalents :
 Principe :
Cette méthode est applicable à tous les circuits faisant intervenir des sources réelles
et pour lesquelles on peut donner un schéma équivalent ne comportant qu’une seule
bobine ou une seule capacité.
Pour de tels circuits on sait que la tension ou le courant ont une équation de la
forme :
y(t) = (yo – yf) . e ^(-t/) + yf
_  constante de temps du circuit  schéma équivalent en régime libre donc à
sources éteintes
5
_ yo (valeur initiale de y)  schéma équivalent en régime rapidement variable
_ yf (valeur finale de y)  schéma équivalent en régime forcé
3) mise en application :
 schéma équivalent en régime libre :
 = RC
 Schéma équivalent en régime rapidement variable :
Uco = 0
ico = E/R
 schéma équivalent en régime forcé :
Ucf = E
Icf = 0
Donc Uc(t) = (0 – E).e^(-T/) + E = E(1 – e^(-t/))
Ic(t) = (E/R –0 ).e^(-t/) + 0 = E/R . e^(-t/)
IV_ Régime transitoire dans un circuit RL :
1) résolution mathématique :
_ Loi des mailles :
R.iL + UL = E
Or UL(t) = L. diL(t)
Dt
Donc R.iL + L diL(t) = E
dt
6
Soit : diL(t) + R iL(t) = E
dt
L
L
on pose :
 = L en s
R
 solution de l’équation homogène associée : i1(t)
di1(t) + 1 i1(t) = 0
dt

i1(t) = K e^(-t/)
 solution particulière : i2(t)
1 i2(t) = E

L
i2(t) =  .E = E
L
R
 solution de l’équation globale :
iL(t) = i1(t) + i2(t) donc iL(t) = K.e^(-t/) + E/R
or iL(0) = K + E/R = 0
donc K = -E/R d’où
iL(t) = E .(1-e^(-t/))
iL(t) = E (1-e^-t/) or UL(t) = L di(t)
R
dt
Donc UL(t) = L (E – 1 .E (1-e^(-t/)))
L  R
= E – LE (1-e^(-t/)) or E = E
R
L
R
 LE = l . E
R  
= E – E .(1-e^(-t/)) = E (1- (1-e^(-t/)))
= E(e^(-t/)
_ Méthode
des schémas équivalents :
 en régime libre :
7
ici  = L/R
 en régime rapidement variable :
Ubo = E et ibo = 0
 en régime forcé :
Ubf = 0 et i bf = E / R
Donc
UL(t) = (U bo – Ubf) e^(-t/) + Ubf
IL(t) = (ibo – ibf) e^(-t/) + i bf
= - E e ^(-t/) + E = E (1-e^(-t/)
R
R R
8