LIMITES de FONCTIONS I - LIMITES en + ou

LIMITES de FONCTIONS
I - LIMITES en + ou - 
1) Limites infinies
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [c ; +  [
Dire que f admet pour limite +  en +  signifie :
Pour tout A > 0 , l’intervalle [ A ; +  [ contient toutes les valeurs de f(x) pourvu que x soit
assez grand
C'est-à-dire : pour tout A >0 , il existe x0 tel que , pour tout x x0 , f(x) A .
De même , on a par exemple, pour f définie sur ] -  ; c ] la limite de f en -  est +  si et
seulement si :
pour tout A >0 , il existe x0 tel que , pour tout x x0 , f(x) A
De plus : f a pour limite -  si et seulement la fonction opposée – f a pour limite + 
Exemple : (à savoir traiter) : démontrer que, pour la fonction f où f(x ) = x² sa limite en +
est +  :
Soit A quelconque si on choisit x0 =
A
, pour tout
0
xx 
on a bien
Axx  2
0
2
donc
[,[)( Axf
RESULTATS : pour les fonctions usuelles
En +  : les fonctions puissances x  x n , pour n entier naturel non nul, la fonction
exponentielle, la fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée ont pour limite + 
On peut utiliser les résultats ci-dessus , les théorèmes de comparaison (ci-dessous) et des
opérations sur les limites (voir tableau du cours des limites de suites ou de fonctions dans le
livre)
Enoncé d’un théorème de comparaison pour une limite égale à en + ∞ :
Soient deux fonctions f , g définies sur [ c ; + [
Si : - il existe x0 tel que , pour tout
cxx  0
,
)()( xgxf 
et si
)(lim xg x
alors
Lxf
x )(lim
Exemples :
x
xelim
et
x
ex
xlim
démonstrations à l’aide des th de
comparaison : on compare à x pour la première et à x²/2 pour la seconde
Asymptotes obliques :
C’est dans le cas d’un limite infinie à l’infini qu’on peut être conduit à faire la recherche d’une
asymptote oblique à la courbe de f , c’est-à-dire d’une droite d’équation y = ax + b telle que
0)()(lim 
baxxf x
ou
0)()(lim 
baxxf x
Et pour étudier la position de cette courbe par rapport à l’asymptote il faut étudier le signe de
f(x) – (a x + b)

2) Limites finies
Définition : Soit L un réel et f une fonction définie sur [ c ; + [
f admet pour limite L en + signifie :
Tout intervalle ouvert de centre L , contient toutes les valeurs f(x) pourvu que x soit assez grand.
C’est-à-dire pour tout >0, il existe x0 tel que, pour tout x x0 , f(x) appartienne à ] L - ; L + [
Définition identique en -
RESULTATS : pour les fonctions usuelles
On a
0
1
lim 
n xx
pour tout n entier naturel non nul
0
1
lim 
x x
0lim 
x
xe
et aussi
0 x lim 
x
xe
Démonstration pour la fonction inverse en 0 :
Soit >0 , si on choisit x0 =
/1
, pour tout
0
xx 
on a bien
 0 /1/10 xx
donc
[;]/1 x
donc la limite de la fonction inverse en +∞ est 0+.
Asymptote horizontale : si
Lxf
x )(lim
ou
Lxf
x )(lim
alors la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à la courbe de f
pour étudier la position de cette courbe par rapport à l’asymptote il faut étudier le signe de f(x) - L
Théorème de comparaison (des gendarmes) énoncé ici en +
( Ce théorème existe aussi pour les limites en a )
Soit L un réel et trois fonctions f , g et h définies sur [ c ; + [
Si : - il existe x0 tel que , pour tout x x0 ,
)()()( xhxfxg 
.
-
Lxg
x )(lim
et
Lxh
x )(lim
alors
Lxf
x )(lim
II - LIMITES en a où a est un réel -
1er cas : si f est définie sur un intervalle I , avec a appartenant à I ,
Si f est continue en a, alors
)()(lim afxf
ax 
C’est le cas des fonctions usuelles et des composées des fonctions usuelles qui sont continues
sur les intervalles sur lesquelles elles sont définies.
2ème cas : si f n’est pas définie en a mais est définie sur un intervalle I privé de a.
On a des définitions analogues à celles pour les limites en +  et en - 
Mais on s’appuiera sur les résultats à connaître, sur les opérations avec les limites, sur les
théorèmes de comparaison, et sur le théorème de limite de fonctions composées:
RESULTATS :
1
lim
0x x
1
lim
0x x
et
1
lim ax
ax
1
lim ax
ax
1
lim
0x x
 lnlim 0x x

Cas de fonctions prolongeables par continuité
Cas particulier : si la limite cherchée est celle du taux d’accroissement d’une fonction f entre a et
a + h lorsque h tend vers 0 ,et si la fonction est dérivable en a , alors la limite cherchée est f ’ (
a)
Exemple :
2
3
)
6
cos(
6
5,0sin
lim
6
x
x
x
ASYMPTOTE VERTICALE : si
ouxf ax )(lim
ou
-ou )(lim xf ax
on dit
que la droite d’équation x = b est asymptote verticale à la courbe de la fonction f
III - LES METHODES
- la définition et les résultats de base
- les opérations et les limites
- les théorèmes de comparaison
- Théorème de la limite d’une fonction composée
Théorème de la limite d’une fonction composée
Soient
et ,
trois symboles qui peuvent représenter un réel ou ou
Si
)(lim xf x
et si
)(lim xg x
alors
))((lim xfg x
Exemples : (a) Soit
)1ln()(  xxh
on cherche la limite en 1 pour x > 1
On a
01lim
1x x
et
)ln(lim0X X
alors
)(lim 1xh x
(b) soit
x
exxh )( 
on cherche la limite en -
on écrit
 )( )( )( xux e
xu
e
x
xh
et on a
x xlim
et
0
e
u
lim u
u
car
u u
u
e
lim
donc
0h(x) lim 
x
Applications : limite de suites définies par une fonction :
pour
)( nn ufv 
, si
n
u lim
et si
)(lim xf x
alors
n
vlim
et ainsi pour les
suites définies par récurrence on peut prouver que :
si
Lun lim
où L est un réel et si
)(
1nn ufu 
avec f une fonction continue en L
alors L est solution de f (L) = L
IV- COMPLEMENTS
On verra plus tard les croissances comparées des fonctions puissances, exponentielle et logarithme
avec les limites des quotients ou produit de ces fonctions dans les situations où on obtient une forme
indéterminée.