LIMITES D`UNE FONCTION :

LIMITES D’UNE FONCTION
1. Limite en un point :
Soit I un intervalle, x0  I , f une fonction définie sur I sauf peut être en x 0 et
l R.
On dit que f admet l comme limite en x 0 , ou que f (x) tend vers l quand x
tend vers x 0 , si, lorsque x prend des valeurs très proches de x0, les nombres
f (x ) deviennent très proches de l ( ils finissent par appartenir à l'intervalle
 l   ; l    , aussi petit que soit le réel positif  )
On écrit : lim f ( x )  l ou lim f  l
x  x0
x0
On dit que la limite de f en x 0 est   et on écrit lim f ( x)   ou
x0
lim f ( x)   si lorsqu’on donne à x des valeurs de plus en plus proches de
x  x0
x 0 , f (x) prend des valeurs indéfiniment grandes. ( f(x) peut être plus grand
que n'importe quel nombre M, aussi grand soit-il, pourvu que x soit assez
proche de x0 )
1
x
10-1
10
Exemple : f ( x) 
x
f (x )
10-2
100
10-10
1010
10-100
10100
Quand x prend des valeurs très proches de 0, f(x) devient indéfiniment
grande donc lim f ( x)  
x 0
On dit que la limite de f en x 0 est   si lim  f ( x)   et on écrit
x0
lim f ( x)  
x x0
2. Limite à l’infini :
On dit que f a pour limite l en   si lorsqu’on donne à x des valeurs de plus
en plus grandes, f (x) devient très proche de l .
On écrit lim f ( x)  l
x  
1
x
lim f ( x)  0
Exemple : f ( x) 
x  
On dit que f est pour limite   en   si lorsque x prend des valeurs de plus
en plus grandes, f (x) devient indéfiniment grand
On écrit lim f ( x)  
x  
On dit que f a pour limite   en   si lim ( f ( x))  
x  
3. Fonctions de référence :

f ( x)  x
lim f ( x)  
x 
lim f ( x)  
x 
lim f ( x)  x0 ( x0  R)
x  x0

f ( x)  a (a  R)
lim f ( x)  a
x 
lim f ( x)  a
x 
lim f ( x)  a
x  x0

1
x
D f   ;0  0;
f ( x) 
lim f ( x)  0
x  
lim f ( x)  0
x  
4. Limite à gauche – limite à droite :
Soit une fonction définie sur x0 , x0      R* ; on dit que l est la limite de f à
droite en x 0 si l est la limite de f (x) quand x tend vers x 0 par valeurs
supérieurs, c'est-à-dire quand x tend vers x 0 et x  x0 .
On écrit l  lim
x  x0

f ( x)
Si f est définie sur x0   ; x0  , on dit que l est la limite de f à gauche de x 0 si l
est la limite de f (x) quand x tend vers x 0 par valeurs inférieurs, c'est-à-dire
quand x tend vers x 0 et x  x0 .
On écrit l  lim  f ( x)
x  x0
Exemple : f ( x) 
1
x
lim f ( x)  
x 0 
lim f ( x)  
x 0 
5. Opérations sur les limites

Limite d’une somme :
lim f
l



l

lim (f+g)
l+l’


Forme indéterminée

lim g
l’





lim (f.g)
l.l’




Forme indéterminée
lim g
l ' 0


0
0
0
0
lim (f/g)
l/l’
Forme indéterminée
0
Forme indéterminée



Limite d’un produit :
lim f
l



l0
0

lim g
l’




Limite d’un quotient :
lim f
l

l
0
l 0
l 0

Exemples :
 x 2  1  12  1

lim 
2
1
x 1 x 
1

lim   x   
o
x   x

 x 1 
o lim 
  
x 2  x 2  x  2 
o

Remarques :
Lorsque la limite d’une fonction est de la forme
l
où l  0 , alors le résultat
0
est  . Pour savoir si c’est   ou   , on étudie le signe du
dénominateur.
 x 
  
 x  1
Exemple : lim 

x 1
Limite d’une fonction irrationnelle :
o Si f ( x)  0 dans un intervalle ouvert contenant x 0 et lim f ( x)  l alors
x  x0
lim
x  x0
f ( x)  l
o Si lim f ( x)   alors lim
x  x0

x  x0
f ( x)  
Les formes indéterminées :
Limite d’un polynôme :
La limite d’une fonction polynôme quand x tend vers l’infini, est égale à la
limite de son terme du plus haut degré.
o
Exemple :
f ( x)  x ²  x  1
lim f ( x)    
x 
 1 1
lim f ( x)  lim x² 1     lim x²  
x 
 x x²  x
x 
Limite d’une fonction rationnelle
La limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des
termes du plus haut degré du numérateur et du dénominateur (quand x
tend vers l’infini)
o
2 x²  1
x3 1
2 x²  1  
lim f ( x)  lim 3

 F .I
x  
x   x  1

Exemple : f ( x) 
Levons l’indétermination :
1
x ²(2  )
x ²  lim 2 x ²  lim 2  0
lim f ( x)  lim
x 
x  3
x  x 3
x  x
1
x (1  3 )
x
Si la limite d’une fonction rationnelle en x 0 est de la forme
x  x0 en facteur et on simplifie
0
, on met
0
Exemple : f ( x ) 
x²  1
x 1
0
 F .I
0
x 1
x2  1
( x  1)( x  1)
lim f ( x)  lim
 lim
 lim ( x  1)  2
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1
x 1
lim f ( x) 
o
Limite d’une fonction irrationnelle
Si la limite d’une fonction irrationnelle est de la forme
0
ou     , on
0
lève l’indétermination en utilisant l’expression conjuguée..
Si elle est de la forme
facteur

, on met les termes de plus hauts degrés en
