M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS FORMULAIRE. MÉTHODE DE CALCUL DES FRACTILES. Les données sont ordonnées par ordre croissant. On appelle i l’indice de chacune des valeurs et on calcule (i-0,5)/n. n étant le nombre total de valeurs. Un exemple de calcul est donné dans le tableau suivant : x(i) 31,1 35,2 36,7 41,6 42,3 44,5 44,9 46,3 (i – 0,5 )/n 0,0625 0,1875 0,3125 0,4375 0,5625 0,6875 0,8125 0,9375 i 1 2 3 4 5 6 7 8 Les fractiles se calculent alors par interpolation linéaire à partir de la colonne de gauche. Exemple de calcul du fractile 0,25 (premier quartile). f (0,25) 35,2 (36,7 35,2) 0,25 0,1875 35,95 0,3125 0,1875 LE DIAGRAMME EN BOÎTE ET BÂTONS. médiane f(25%) f(75%) minimum 1,5 IQ valeurs aberrantes maximum IQ 1,5 IQ Ce diagramme dont un exemple est représenté ci-dessus se compose d’une boîte limitée par les fractiles à 25% et 75% qui sont aussi appelés quartiles parce qu’avec la médiane ils divisent la population en 4 parties égales. La taille de la boite qui représente la distance entre les deux quartiles s’appelle IQ pour inter quartile. La boite est coupée en deux parties par la médiane. La boite est prolongée de chaque coté par deux bâtons qui s’étendent jusqu’aux plus grandes et plus petites valeurs de la distribution se trouvant à une distance inférieure à 1,5 IQ du bout de la boite. Les points se trouvant à l’extérieur de ces limites à 1,5 IQ sont considérés comme aberrants et sont représentés de façon discrète. FORMULAIRE M1 - F.1 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS VARIABLE NORMALE RÉDUITE. Si X est une distribution normale de moyenne et d’écart type et N une distribution normale réduite. On passe de la distribution normale à la distribution normale réduite par la formule : N X On passe de la distribution normale réduite à la distribution normale par la formule : X N DROITE DE HENRY. Les données sont ordonnées par ordre croissant. On appelle i l’indice de chacune des valeurs et on calcule (i-0,5)/n. n étant le nombre total de valeurs. En utilisant la table des fractiles de la loi Normale on calcule la valeur N(i) correspondant à P = (i – 0,5 )/n. Un exemple de calcul est donné dans le tableau suivant : i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(i) 176 183 185 190 191 192 201 205 214 220 (i – 0,5 )/n 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 N(i) -1,64 -1,04 -0,67 -0,39 -0,13 0,13 0,39 0,67 1,04 1,64 On trace ensuite sur un graphique les points x(i) en abscisse et N(i) en ordonnées. 1,5 N(i) 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 170 180 190 200 210 220 Si la distribution est Normale les points du graphique sont alignés. FORMULAIRE M1 - F.2 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS LOI DE POISSON. Si un événement se produit dans un intervalle et que la probabilité d’un événement dans un sous intervalle est la même dans tous les intervalles et est proportionnelle à la longueur de l’intervalle. Si le nombre moyen d’évènements dans un intervalle est égal à . La répartition X des défauts dans un intervalle suit la loi de Poisson dont la distribution de probabilité est la suivante : e x P( X x ) f ( x ; ) x! La moyenne de la distribution de Poisson est = L’écart type est défini par : 2 = LOI EXPONENTIELLE. Si un événement se produit de façon aléatoire dans un intervalle suivant la loi de Poisson et que le nombre moyen d’évènements par unité d’intervalle est égal à . La répartition X de la distance entre deux évènements suit une distribution exponentielle dont la densité de probabilité est : f ( x ; ) e x La moyenne de la distribution exponentielle est : L’écart type est défini par : 2 1 1 2 SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES. Si Z = X + Y alors : la moyenne de la variable Z est : z x y l’écart type de la variable Z est : z x2 y2 DIFFÉRENCE DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES. Si Z = X - Y alors : la moyenne de la variable Z est : z x y l’écart type de la variable Z est : z x2 y2 PRODUIT DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES. Si Z = X . Y alors : la moyenne de la variable Z est : z x . y l’écart type de la variable Z est : z x2 y2 y2 x2 x2 y2 FORMULAIRE M1 - F.3 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS QUOTIENT DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES. Si Z X alors : Y la moyenne de la variable Z est : z x y l’écart type de la variable Z est : z x2 y2 y2 x2 y2 Formule approchée valable pour y 6 y INVERSE D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE. Si Z 1 alors : Y la moyenne de la variable Z est : z 1 y l’écart type de la variable Z est : z y y2 Formule approchée valable pour y 6 y ADDITION D’ÉCHANTILLONS. Il arrive parfois que l’on ne connaisse d’une variable aléatoire que les moyennes et les écart types relevés sur différents échantillons. Les formules données dans ce paragraphe permettent de calculer une moyenne globale et un écart type global pour l’ensemble des échantillons. Nous avons p échantillons de taille n1, n2,…, ni,…,np. Chaque échantillon a une moyenne x1 , x2 ,..., xi , ..., x p Chaque échantillon a un écart type : s1, s2,…, si,…, sp La taille de l’échantillon total est : p N n1 n2 ... ni ... n p ni i 1 La moyenne globale est : p X n1 x1 n2 x2 ... ni xi ... n p x p n1 n2 ... ni ... n p n x i 1 i i N L’écart type global est : FORMULAIRE M1 - F.4 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS 2 p p 2 ni 1 si ni xi X i 1 S 2 i 1 N 1 Cette formule peut se mettre sous la forme : 2 2 p p 2 n 1 s i i ni xi N X i 1 S 2 i 1 N 1 ECART TYPE GROUPÉ. Nous avons p échantillons de taille n1, n2,…, ni,…,np. Chaque échantillon a un écart type : s1, s2,…, si,…, sp L’écart type ‘moyen’ ou écart type groupé pourra se calculer en utilisant la formule : sg2 (n1 1) s12 (n2 1)s22 ... (ni 1)si2 ... (n p 1) s 2p n1 n2 ... ni ... n p p COMPARAISON D’UNE PROPORTION À UNE VALEUR DONNÈE. Si nous prélevons un échantillon de n éléments dans une population comportant une proportion p d’éléments présentant un caractère spécifié, qu’un nombre x de ces éléments possède ce caractère et que nous voulons comparer p à une valeur donnée p0 : Si x p0 la probabilité pour que la proportion p soit inférieure à p0 est la suivante : n x P( p p0 ) 1 Cni p0i (1 p0 ) ni i 0 x p0 la probabilité pour que la proportion p soit supérieure à p0 est la suivante : Si n x 1 P( p p0 ) Cni p0i (1 p0 ) ni i 0 COMPARAISON DE DEUX PROPORTIONS. Si nous prélevons un échantillon de n1 éléments dans une population comportant une proportion p1 d’éléments présentant un caractère spécifié et que un nombre k1 de ces éléments possède ce caractère. Si, d’autre part, nous prélevons un échantillon de n2 éléments dans une population comportant une proportion p2 d’éléments présentant le même caractère et que un nombre k2 de ces éléments possède ce caractère. Les échantillons étant ordonnés de telle manière que k2>k1. La probabilité pour que la proportion p2 soit supérieure à p1 peut se calculer de la manière suivante : k1 Cni1 Cnk21 k2 i i 0 Cnk11nk22 P( p2 p1 ) 1 FORMULAIRE M1 - F.5 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS COMPARAISON D’UNE MOYENNE À UNE VALEUR DONNÉE. Écart type connu. x est la valeur moyenne d’un échantillon de n éléments prélevés dans une population de moyenne inconnue et d’écart type connu , la probabilité pour que la moyenne de la population soit supérieure ou inférieure à une valeur 0 donnée peut se déterminer en calculant z de la manière Si suivante : t x 0 n en recherchant dans les tables de la loi normale la probabilité la courbe entre - et z. P correspondant à la surface sous Si x 0 la probabilité pour que soit inférieure à 0 est égale à P. Si x 0 la probabilité pour que soit supérieure à 0 est égale à P. NB) Si l’écart type est connu avec un nombre de degrés de liberté fini, on utilisera la loi de Student avec le nombre de degrés de liberté donné au lieu de la loi Normale. On pourra éventuellement préciser l’écart type en calculant l’écart type groupé de l’écart type connu à l’avance avec celui mesuré sur l’échantillon. Écart type inconnu. x est la valeur moyenne et s l’écart type d’un échantillon de n éléments prélevés dans une population de moyenne et d’écart type inconnus, la probabilité pour que la moyenne de la population soit supérieure ou inférieure à une valeur 0 donnée peut se déterminer en calculant t de la Si manière suivante : t x 0 s n en recherchant dans la table de Student pour probabilité P associée. = n – 1 degrés de liberté la valeur de la Si x 0 la probabilité pour que soit inférieure à 0 est égale à P. Si x 0 la probabilité pour que soit supérieure à 0 est égale à P. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES. Écart type connu. Si x1 est la moyenne d’un échantillon de n1 éléments prélevés dans une population de moyenne 1 et si x 2 est la moyenne type d’un autre échantillon n2 éléments prélevés dans une population de moyenne 2. L’écart type des deux population étant supposé connu et les échantillons étant ordonnés de telle manière que x2 x1 . La probabilité pour que la moyenne 2 soit supérieure à 1 peut se déterminer en calculant t de la manière suivante : FORMULAIRE M1 - F.6 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS x 2 x1 t 1 1 n1 n2 en recherchant dans les tables de la loi normale la probabilité la courbe entre - et z. La probabilité pour que 2 soit supérieure à 1 est égale à P. P correspondant à la surface sous NB) Si l’écart type est connu avec un nombre de degrés de liberté fini, on utilisera la loi de Student avec le nombre de degrés de liberté donné au lieu de la loi Normale. On pourra éventuellement préciser l’écart type en calculant l’écart type groupé de l’écart type connu à l’avance avec ceux mesurés sur les deux échantillons. Écart type inconnu. Si x1 et s1 sont la moyenne et l’écart type d’un échantillon de population de moyenne 1 n1 éléments prélevés dans une et si x 2 et s2 sont la moyenne et l’écart type d’un autre échantillon éléments prélevés dans une population de moyenne 2. n2 Les échantillons étant ordonnés de telle manière que x2 x1 . La probabilité pour que la moyenne 2 soit supérieure à 1 peut se déterminer en calculant t de la manière suivante : t x 2 x1 (n1 1) s12 (n2 1) s22 n1 n2 2 1 1 n1 n2 en recherchant dans la table de Student pour avec n1 n2 2 degrés de liberté la valeur de la probabilité P associée. La probabilité pour que 2 soit supérieure à 1 est égale à P. TEST DE DEUX VARIABLES APPARIÉES. Si d et sd sont la moyenne et l’écart type des différences de deux échantillons ne n éléments appariés la probabilité pour que la moyenne des écarts soit supérieure ou inférieure à 0 peut se déterminer en calculant t de la manière suivante : t d sd n en recherchant dans la table de Student pour avec n 1 degrés de liberté la valeur de la probabilité P associée. La probabilité pour que la moyenne des écarts soit supérieure ou inférieure à 0 est égale à P. COMPARAISON D’UN ÉCART TYPE À UNE VALEUR DONNÉE. Si s est l’écart type d’un échantillon de n éléments prélevés dans une population d’écart type inconnu, la probabilité pour que cet écart type soit supérieur ou inférieur à une valeur 0 donnée peut se déterminer en calculant 2 de la manière suivante : FORMULAIRE M1 - F.7 M1 « Matériaux » 2 ( ) CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS (n 1) s 2 02 et en recherchant la valeur de la probabilité P( 2) correspondante dans la table de Pearson pour = n –1.degrés de liberté. Si s<0 la probabilité pour que l’écart type soit inférieur à 0 est égale à 1-P. Si s>0 la probabilité pour que l’écart type soit supérieur à 0 est égale à P. COMPARAISON DE DEUX ÉCARTS TYPES. Si s1 est l’écart type d’un échantillon de n1 éléments prélevés dans une population d’écart type 1 inconnu et s2 est l’écart type d’un échantillon de n2 éléments prélevés dans une population d’écart type 2 inconnu. Les échantillons étant ordonnés de telle manière que s1>s2 La probabilité pour que 1 soit supérieur à 2 peut se déterminer en calculant la variable F de la manière suivante. F ( 1 , 2 ) s12 1 s22 et en recherchant la valeur P correspondante dans la table de Fisher/Snedecor pour 1 2 = n2 -1 degrés de liberté. La probabilité pour que l’écart type 1 soit supérieur à 2 est égale à P. = n1 -1 et INTERVALLE DE CONFIANCE D’UNE MOYENNE (ÉCART TYPE CONNU). Pour un échantillon de n pièces de moyenne x avec un écart type connu. En utilisant la table des fractiles de la loi Normale on détermine la valeur N correspondant à (1+P)/2. Les limites de l’intervalle de confiance sont définis par : 1 P IC ( x) x N 2 n INTERVALLE DE CONFIANCE D’UNE MOYENNE (ÉCART TYPE INCONNU). Pour un échantillon de n pièces de moyenne x et d’écart type s. En utilisant la table des fractiles de la loi de Student on détermine la valeur t correspondant à (1+P)/2 pour n -1 degrés de liberté. Les limites de l’intervalle de confiance sont : 1 P s IC ( x) x t , n 1 2 n INTERVALLE DE CONFIANCE D’UN ÉCART TYPE. Pour un échantillon de n pièces et d’écart type s. En utilisant la table des fractiles de la loi du KHI2 on détermine les valeurs 2 correspondant à (1+P)/2 et à (1-P)/2 pour n –1 degrés de liberté. Les limites de l’intervalle de confiance de l’écart type sont : ICmin ( s) s (n 1) 1 P 2 , n 1 2 FORMULAIRE M1 - F.8 M1 « Matériaux » ICmax ( s) s CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS (n 1) 1 P 2 , n 1 2 UNILATERALITÉ OU BILATERALITÉ. Pour faire un test bilatéral avec une table unilatérale on utilisera la formule : PUni. 1 P Bi. 2 Pour faire un test Unilatéral avec une table bilatérale on utilisera la formule : PBi. 2 PUni. 1 CALCUL DE LA TAILLE D’UN ECHANTILLON PAR COMPARAISON D’UNE MOYENNE À UNE VALEUR DONNÉE. Nous voulons construire une expérimentation de telle manière que : S’il n’y a aucune différence entre la moyenne µ de la population dans laquelle a été prélevé notre échantillon et la moyenne de référence µ0 échantillon nous ayons une probabilité inférieure à PI de rejeter l’hypothèse nulle. Si la moyenne de la population dans laquelle a été prélevé notre échantillon présente une différence supérieure à µ1 - µ0 nous ayons une probabilité inférieure à PII d’accepter l’hypothèse nulle. La taille minimale n de l’échantillon à utiliser pour satisfaire ces deux conditions sera : N ( PI ) N ( PII ) n 1 0 2 étant l’écart type supposé connu de la dispersion. CALCUL DE LA TAILLE D’UN ECHANTILLON PAR COMPARAISON DE DEUX MOYENNES. Nous voulons construire une expérimentation de telle manière que : S’il n’y a aucune différence entre les moyennes µ1 et µ2 des deux populations dans lesquelles ont été prélevés nos échantillons nous ayons une probabilité inférieure à PI de rejeter l’hypothèse nulle. Si la différence entre les moyennes des deux populations dans lesquelles ont été prélevés nos échantillons est supérieure à µ2 - µ1 nous ayons une probabilité inférieure à PII d’accepter l’hypothèse nulle. La taille minimale n de l’échantillon à utiliser pour satisfaire ces deux conditions sera : Si le deux échantillons égaux. N ( PI ) N ( PII ) n1 n2 2 2 1 2 étant l’écart type supposé connu de la dispersion. FORMULAIRE M1 - F.9 M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS Si les deux échantillons inégaux. Nous pourrons calculer dans ce cas la relation entre la taille des deux échantillons par la formule suivante : N ( PI ) N ( PII ) nn n0 1 2 n1 n2 2 1 2 FORMULAIRE M1 - F.10