generalites

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
FORMULAIRE M1 - F.1
FORMULAIRE.
MÉTHODE DE CALCUL DES FRACTILES.
Les données sont ordonnées par ordre croissant. On appelle i l’indice de chacune des valeurs et
on calcule (i-0,5)/n. n étant le nombre total de valeurs.
Un exemple de calcul est donné dans le tableau suivant :
x(i)
i
(i – 0,5 )/n
31,1
1
0,0625
35,2
2
0,1875
36,7
3
0,3125
41,6
4
0,4375
42,3
5
0,5625
44,5
6
0,6875
44,9
7
0,8125
46,3
8
0,9375
Les fractiles se calculent alors par interpolation linéaire à partir de la colonne de gauche.
Exemple de calcul du fractile 0,25 (premier quartile).
95,35
1875,03125,0 1875,025,0
)2,357,36(2,35)25,0(  f
LE DIAGRAMME EN BOÎTE ET BÂTONS.
Ce diagramme dont un exemple est représenté ci-dessus se compose d’une boîte limitée par les
fractiles à 25% et 75% qui sont aussi appelés quartiles parce qu’avec la médiane ils divisent la
population en 4 parties égales. La taille de la boite qui représente la distance entre les deux quartiles
s’appelle IQ pour inter quartile. La boite est coupée en deux parties par la médiane. La boite est
prolongée de chaque coté par deux bâtons qui s’étendent jusqu’aux plus grandes et plus petites
valeurs de la distribution se trouvant à une distance inférieure à 1,5 IQ du bout de la boite. Les points
se trouvant à l’extérieur de ces limites à 1,5 IQ sont considérés comme aberrants et sont représentés
de façon discrète.
f(25%) maximum f(75%) valeurs aberrantes
médiane
IQ 1,5 IQ1,5 IQ
minimum

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
FORMULAIRE M1 - F.2
VARIABLE NORMALE RÉDUITE.
Si X est une distribution normale de moyenne et d’écart type et N une distribution normale
réduite.
On passe de la distribution normale à la distribution normale réduite par la formule :
X N
On passe de la distribution normale réduite à la distribution normale par la formule :
NX
DROITE DE HENRY.
Les données sont ordonnées par ordre croissant. On appelle i l’indice de chacune des valeurs et
on calcule (i-0,5)/n. n étant le nombre total de valeurs.
En utilisant la table des fractiles de la loi Normale on calcule la valeur N(i) correspondant à
P = (i – 0,5 )/n.
Un exemple de calcul est donné dans le tableau suivant :
i
x(i)
(i – 0,5 )/n
N(i)
1
176
0,05
-1,64
2
183
0,15
-1,04
3
185
0,25
-0,67
4
190
0,35
-0,39
5
191
0,45
-0,13
6
192
0,55
0,13
7
201
0,65
0,39
8
205
0,75
0,67
9
214
0,85
1,04
10
220
0,95
1,64
On trace ensuite sur un graphique les points x(i) en abscisse et N(i) en ordonnées.
Si la distribution est Normale les points du graphique sont alignés.
170 180 190 200 210 220
1,5
1,0
0,5
0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
N(i)

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
FORMULAIRE M1 - F.3
LOI DE POISSON.
Si un événement se produit dans un intervalle et que la probabilité d’un événement dans un sous
intervalle est la même dans tous les intervalles et est proportionnelle à la longueur de l’intervalle.
Si le nombre moyen d’évènements dans un intervalle est égal à . La répartition X des défauts
dans un intervalle suit la loi de Poisson dont la distribution de probabilité est la suivante :
!
);()( x
e
xfxXP x
La moyenne de la distribution de Poisson est =
L’écart type est défini par :
2 =
LOI EXPONENTIELLE.
Si un événement se produit de façon aléatoire dans un intervalle suivant la loi de Poisson et que
le nombre moyen d’évènements par unité d’intervalle est égal à . La répartition X de la distance entre
deux évènements suit une distribution exponentielle dont la densité de probabilité est :
x
exf );(
La moyenne de la distribution exponentielle est :
1
L’écart type est défini par :
2
21
SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES.
Si Z = X + Y alors :
la moyenne de la variable Z est :
yxz
l’écart type de la variable Z est :
22 yxz
DIFFÉRENCE DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES.
Si Z = X - Y alors :
la moyenne de la variable Z est :
yxz
l’écart type de la variable Z est :
22 yxz
PRODUIT DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES.
Si Z = X . Y alors :
la moyenne de la variable Z est :
yxz
.
l’écart type de la variable Z est :
222222 yxxyyxz

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
FORMULAIRE M1 - F.4
QUOTIENT DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES.
Si
Y
X
Z
alors :
la moyenne de la variable Z est :
y
x
z
l’écart type de la variable Z est :
2
2222
y
xyyx
z
Formule approchée valable pour
yy
6
INVERSE D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE.
Si
Y
Z1
alors :
la moyenne de la variable Z est :
y
z
1
l’écart type de la variable Z est :
2
y
y
z
Formule approchée valable pour
yy
6
ADDITION D’ÉCHANTILLONS.
Il arrive parfois que l’on ne connaisse d’une variable aléatoire que les moyennes et les écart types
relevés sur différents échantillons. Les formules données dans ce paragraphe permettent de calculer
une moyenne globale et un écart type global pour l’ensemble des échantillons.
Nous avons p échantillons de taille n1, n2,…, ni,…,np.
Chaque échantillon a une moyenne
pi xxxx ...,,,...,, 21
Chaque échantillon a un écart type : s1, s2,…, si,…, sp
La taille de l’échantillon total est :
 p
iipi nnnnnN 1
21 ......
La moyenne globale est :
N
xn
nnnn
xnxnxnxn
X
p
iii
pi
ppii 
1
21
2211 ......
......
L’écart type global est :

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
FORMULAIRE M1 - F.5
1
12
1
2
1
2
N
Xxnsn
Si
p
iii
p
ii
Cette formule peut se mettre sous la forme :
1
122
1
2
1
2
N
XNxnsn
Si
p
iii
p
ii
ECART TYPE GROUPÉ.
Nous avons p échantillons de taille n1, n2,…, ni,…,np.
Chaque échantillon a un écart type : s1, s2,…, si,…, sp
L’écart type ‘moyen’ ou écart type groupé pourra se calculer en utilisant la formule :
pnnnn
snsnsnsn
s
pi
ppii
g
......
)1(...)1(...)1()1(
21
222
22
2
11
2
COMPARAISON D’UNE PROPORTION À UNE VALEUR DONNÈE.
Si nous prélevons un échantillon de n éléments dans une population comportant une proportion p
d’éléments présentant un caractère spécifié, qu’un nombre x de ces éléments possède ce caractère et
que nous voulons comparer p à une valeur donnée p0 :
Si
0
p
n
x
la probabilité pour que la proportion p soit inférieure à p0 est la suivante :
 x
i
inii
nppCppP 0000 )1(1)(
Si
0
p
n
x
la probabilité pour que la proportion p soit supérieure à p0 est la suivante :
 1
0000 )1()( x i
inii
nppCppP
COMPARAISON DE DEUX PROPORTIONS.
Si nous prélevons un échantillon de n1 éléments dans une population comportant une proportion
p1 d’éléments présentant un caractère spécifié et que un nombre k1 de ces éléments possède ce
caractère. Si, d’autre part, nous prélevons un échantillon de n2 éléments dans une population
comportant une proportion p2 d’éléments présentant le même caractère et que un nombre k2 de ces
éléments possède ce caractère. Les échantillons étant ordonnés de telle manière que k2>k1.
La probabilité pour que la proportion p2 soit supérieure à p1 peut se calculer de la manière
suivante :
 1
21
21
21
21
0
12 1)( k
ikk nn
ikk
n
i
nC
CC
ppP