Chapitre_3

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Chapitre 3 :Les inéquations et les systèmes d’inéquations
SECTION 1 : LES INEQUATIONS ET LEURS MODES DE REPRESENTATION
SECTION 2 : LES CONTRAINTES
A) Définitions
 Variables : Lettres utilisées pour remplacer des nombres.
Ex. 4a où a est une variable
Note : Les variables sont toujours des lettres minuscules.
 Coefficient : Nombre multipliant une variable.
Ex. 5a  5 est le coefficient et a est la variable
Note : La multiplication est sous-entendue entre le coefficient et les
variables.
 Terme : Un nombre, une variable ou un produit de nombres et de
variables.
Ex 7a2 + 3n + 6 est une expression algébrique formée de 3 termes.

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B) Opérations sur les expressions algébriques
Addition
on additionne les termes
semblables (seulement les
coefficients)
Ex 1.
2n + 1 + 3n =
2n + 3n + 1 =
5n + 1
Soustraction
 on soustrait les termes
semblables (seulement
les coefficients)
 Lorsqu’une soustraction
devance une parenthèse,
on multiplie chaque terme
de la parenthèse par –1 ,
c’est-à-dire on change le
signe de chaque terme à
l’intérieur de la
parenthèse.
Ex 1.
8b + 7 – 5b – 3 =
8b –5b + 7 – 3 =
3b + 4
Ex 2.
4 – ( b – 3) =
4 – b +3
-b + 7
Multiplication
On applique la distributivité.
Ex 1. 4( m2 + 6n) = 4m2 + 24n
Ex 2. 3n(m + 2t) = 3mn +6nt
Ex 3.
32
4
12
4
8
)128(
4
1 x x
x
Division
 Diviser un tout, c’est
comme diviser chaque
terme.
 Diviser une fraction, c’est
l’équivalent à multiplier
par l’inverse.
Ex 1. (5n + 10)/5 = 5n/5 +10/5 = n + 2
Ex 2.
812
1
2
*)46(
2
1
)46(  aaa
Exemples : Réduis les expressions suivantes.
3a + 5a – 4=
(4a + 5) – (5d + 6a)=

3
8a ( 3 + 4b) – 2a=
28104xyx 
C) Remplacer une variable par une valeur numérique
Toujours placer entre parenthèses le changement de la variable par sa valeur
associée et résoudre cette parenthèse par la suite si elle est accompagnée d’un
exposant.
si a =2, alors 3a2 + 2a – 5 = ? si b = 4, alors 3b2 + 2b – 5 =
3(2)2 + 2(2) – 5 = 3(4)2 + 2(4) – 5 =
3*4 + 4 – 5 = 3*16 + 8 – 5 =
12 + 4 –5 = 11 48 + 9 – 5 = 52

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D) Les contraintes
En mathématique, une contrainte correspond à une condition restrictive imposée
à une ou à des variables. Une contrainte se traduit :
 par une équation
 par une inéquation.
L’ensemble-solution d’une inéquation est l’ensemble des valeurs de la variable
qui transforment l’inéquation en une inégalité vraie.
Exemple de vérification de l’ensemble-solution
3x + 6  12
3x + 6 – 6  12 – 6
3x  6
x  2
si x = 4
si x = 1
3 (4) + 6  12
12 + 6  12
18  12
3 (1) + 6  12
3 + 6  12
9  12
Vrai
Faux
Exemple :
Au Québec, l’âge minimal requis pour conduire une automobile est de 16
ans. Cette contrainte peut se traduire algébriquement par l’inéquation
a 16, où a représente l’âge.
L’ensemble P des âges, pour lesquels il est permis de conduire au Québec, est
exprimé ainsi :

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E) La traduction d’une situation par une inéquation
Une inéquation est un énoncé mathématique qui comporte une relation
d’inégalité et une ou plusieurs variables.
 C’est traduire des mots de manière algébrique
 Un nombre qui délimite les valeurs que peut prendre une variable
est appelé « une borne ».
 Une borne peut faire partie ou non des valeurs possibles de la
variable.
 Le symbole < ou > est appelé « une inéquation au sens strict ».
 Le symbole ou est appelé « une inéquation au sens large ».
x  12
x 12
x 12
x  12
x est inférieur à
12
x est supérieur à
12
x est inférieur ou égal
à 12
x est supérieur ou égal à
12
x est plus petit
que 12
x est plus grand
que 12
x est plus petit ou
égal à 12
x est plus grand ou égal
à 12
x est au plus égal à
12
x est au moins égal à 12
x égal au plus 12
x égal au moins 12
La valeur maximale
de x est 12
La valeur minimale de x
est 12
x est au maximum 12
x est au minimum 12
x n’est pas plus que
12
x n’est pas moins que 12
Traduire c’est : Identifier la variable
Trouver le symbole
Trouver la borne