Chapitre_3

Chapitre 3 :Les inéquations et les systèmes d’inéquations
SECTION 1 : LES INEQUATIONS ET LEURS MODES DE REPRESENTATION
SECTION 2 : LES CONTRAINTES
A) Définitions

Variables : Lettres utilisées pour remplacer des nombres.
Ex. 4a où a est une variable
Note : Les variables sont toujours des lettres minuscules.

Coefficient : Nombre multipliant une variable.
Ex. 5a  5 est le coefficient et a est la variable
Note : La multiplication est sous-entendue entre le coefficient et les
variables.

Terme : Un nombre, une variable ou un produit de nombres et de
variables.
Ex 7a2 + 3n + 6 est une expression algébrique formée de 3 termes.
1
B) Opérations sur les expressions algébriques
Addition
on additionne les termes
semblables (seulement les
coefficients)
Ex 1.
2n + 1 + 3n =
2n + 3n + 1 =
5n + 1
Soustraction

on soustrait les termes
semblables (seulement
les coefficients)
Ex 1.
8b + 7 – 5b – 3 =
8b –5b + 7 – 3 =
3b + 4
Lorsqu’une soustraction
devance une parenthèse,
on multiplie chaque terme Ex 2.
de la parenthèse par –1 ,
c’est-à-dire on change le
4 – ( b – 3) =
signe de chaque terme à
4 – b +3
l’intérieur de la
parenthèse.
-b + 7
2
On applique la distributivité.
Ex 1. 4( m + 6n) = 4m2 + 24n

Multiplication
Ex 2. 3n(m + 2t) = 3mn +6nt
Ex 3.
Division


Diviser un tout, c’est
comme diviser chaque
terme.
Diviser une fraction, c’est
l’équivalent à multiplier
par l’inverse.
1
8 x 12
(8 x  12) 

 2x  3
4
4
4
Ex 1. (5n + 10)/5 = 5n/5 +10/5 = n + 2
Ex 2.
(6a  4) 
1
2
 (6a  4) *  12a  8
2
1
Exemples : Réduis les expressions suivantes.
3a + 5a – 4=
(4a + 5) – (5d + 6a)=
2
8a ( 3 + 4b) – 2a=
4 x  10 y  8 x
2
C) Remplacer une variable par une valeur numérique
Toujours placer entre parenthèses le changement de la variable par sa valeur
associée et résoudre cette parenthèse par la suite si elle est accompagnée d’un
exposant.
si a =2, alors 3a2 + 2a – 5 = ?
si b = 4, alors 3b2 + 2b – 5 =
3(2)2 + 2(2) – 5 =
3(4)2 + 2(4) – 5 =
3*4 + 4 – 5 =
3*16 + 8 – 5 =
12 + 4 –5 = 11
48 + 9 – 5 = 52
3
D) Les contraintes
En mathématique, une contrainte correspond à une condition restrictive imposée
à une ou à des variables. Une contrainte se traduit :
 par une équation
 par une inéquation.
L’ensemble-solution d’une inéquation est l’ensemble des valeurs de la variable
qui transforment l’inéquation en une inégalité vraie.
Exemple de vérification de l’ensemble-solution
3x + 6  12
3x + 6 – 6  12 – 6
3x  6
x2
si x = 4
3 (4) + 6  12
12 + 6  12
18  12
Vrai
si x = 1
3 (1) + 6  12
3 + 6  12
9  12
Faux
Exemple :
Au Québec, l’âge minimal requis pour conduire une automobile est de 16
ans. Cette contrainte peut se traduire algébriquement par l’inéquation
a  16, où a représente l’âge.
L’ensemble P des âges, pour lesquels il est permis de conduire au Québec, est
exprimé ainsi :
4
E) La traduction d’une situation par une inéquation
Une inéquation est un énoncé mathématique qui comporte une relation
d’inégalité et une ou plusieurs variables.
 C’est traduire des mots de manière algébrique
 Un nombre qui délimite les valeurs que peut prendre une variable
est appelé « une borne ».
 Une borne peut faire partie ou non des valeurs possibles de la
variable.
 Le symbole < ou > est appelé « une inéquation au sens strict ».
 Le symbole  ou  est appelé « une inéquation au sens large ».
x  12
x est inférieur à
12
x est plus petit
que 12
x 12
x 12
x  12
x est supérieur à x est inférieur ou égal x est supérieur ou égal à
12
à 12
12
x est plus grand x est plus petit ou x est plus grand ou égal
que 12
égal à 12
à 12
x est au plus égal à x est au moins égal à 12
12
x égal au plus 12
x égal au moins 12
La valeur maximale La valeur minimale de x
de x est 12
est 12
x est au maximum 12
x est au minimum 12
x n’est pas plus que x n’est pas moins que 12
12
Traduire c’est : Identifier la variable
Trouver le symbole
Trouver la borne
5
Exemple 1 : Traduis les situations suivantes et donne l’ensemble de référence.
a) Le coût d’un panier de pommes est inférieur à 5.
________________________________________________________
b) Ma mère veut m’acheter au plus 3 paires de jean.
________________________________________________________
c) Dans mon équipe de hockey, il y au moins 3 joueurs de centre.
________________________________________________________
d) Pour le voyage de fin d’année à mon école, nous n’avons pas le droit
d’être plus de 4 par chambre.
________________________________________________________
e) Le quadruple d’un nombre augmenté de 13 est au minimum 15.
_______________________________________________________
Exemple 2 :
Dans l’exemple, 60 est la borne
inférieure et 100 est la borne
supérieure.
Donc
60  v  100
En mots
La vitesse
maximale
permise est
de 100 km/h.
La vitesse
minimale
permise est
de 60 km/h.
Algébriquement
v  100
v  60
Remarque : v représente la
vitesse en kilomètres par heure.
Exemple 3:
2  x<7
 Le nombre 2 est une borne qui est incluse dans l’ensemble des valeurs
que peut prendre la variable.

Le nombre 7 est aussi une borne de la variable, même s’il n’est pas inclus
dans l’ensemble.

Le nombre d’invités à ma fête est compris entre 10 et 15.
_______________________________________________________
6
F) Les modes de représentation des sous-ensembles de nombres
Variable discrète
Extension
Pour représenter un sousensemble fini ou infini qui
présente une régularité.
Ex : { … }
On énumère les élèments entre
accolades et on les sépare par
une virgule.
Les
Les nombres entiers
nombres supérieurs à 1
entiers
compris
entre 5 et
8
2,3,4,…
 6,7
Variable continue
Compréhension
Intervalle
Pour représenter tout sousPour représenter un sousensemble de nombres réels qui ensemble de tous les nombres
se prête à une description.
réels compris entre les bornes.
Ces bornes peuvent être
Ex : { x € R l 5 < x < 9 }
comprises ou non dans
l’intervalle.
{x€Rlx>1}
Ex : ] 6 , 10 [
1) On définit entre
accolades, l’ensemble
de référence.
2) On décrit les éléments
de l’ensemble.
Les nombres
Les nombres
entiers compris réels
entre 5 et 9
supérieurs à
1
{x 
| 5 < x< 9}
{x 
| x 1}
On place les bornes de
l’intervalle entre
crochets et on
les sépare par
une virgule.
Les nombres réels entre 6
(inclus) et 9 (exclus)
6,9
Les nombres réels compris
entre -3 et 0
]-3,0[
Les nombres réels inférieurs à
3
-,3
Le nombre réel supérieur ou
égal à 4
4, +
7
Pour représe
de nombres
de nombres
Dans le cas d
 Un ce
pas in
 Un ce
inclus
On représen
segment ou d
intervalle.
-4
-3 -2 -1
0
Lorsqu’une inéquation n’a pas de borne inférieure, on indique -∞ dans l’intervalle.
Si l’inéquation n’a pas de borne supérieure, on indique +∞. Le crochet est orienté
vers l’extérieur, car on ne peut atteindre l’infini.
Exemples
Situation
Compréhension
Droite numérique
Extension ou intervalle
Amélie doit avoir
au moins 20
perles pour
créer un collier
{x 
| 12  x  24}
5
[250, 280
8
G) Les connecteurs logiques
Certains mots du langage courant, tels et, ou, ne… pas, permettent d’établir des
liens mathématiques entre des contraintes. On appelle ces mots « des
connecteurs logiques ». On peut associer ces connecteurs aux opérations de
l’intersection (  ), de l’union (  ) et du complément (´)
Exemples : Soit les deux contraintes suivantes.
1) Avoir au moins 5 ans. Les âges qui respectent cette contrainte
forment l’ensemble A :
2) Avoir moins de 14 ans. Les âges qui respectent cette contrainte forment
l’ensemble B :
Ensemble-solution
Opération Interprétation
A  B
À la fois
élément de A
ET de B
Droite numérique (en gras)
Intervalle
En
mots
[5, 14[
Les
âges
d’au
moins
5 ans
ET de
moins
de 14
ans.
L’ensemble-solution de l’intersection correspond, sur la droite
numérique, aux éléments qui sont communs aux deux
ensembles.
On peut dire qu’il s’agit des âges des enfants qui fréquentent l’école primaire.
9
A  B
Élément de A
OU de B
[0, +  [
Les
âges
d’au
moins
5 ans
OU
de
moins
de 14
ans.
L’ensemble-solution de l’union correspond, sur la droite numérique,
aux éléments qui sont dans l’ensemble A, dans l’ensemble B
ou dans les deux ensembles à la fois. L’union des contraintes
n’a pas de borne supérieure, bien que le contexte limite les
valeurs que peut prendre la variable.
On peut dire qu’il s’agit de tous les âges possibles.
A´
N’est PAS
élément de A
[0, 5[
Les
âges
qui
NE
sont
PAS
d’au
moins
5 ans.
L’ensemble-solution du complément de l’ensemble A correspond, sur la droite
numérique, à tous les éléments qui ne sont pas dans l’ensemble A.
On peut dire qu’il s’agit des âges des enfants qui ne fréquentent pas l’école primaire.
Pièges et astuces
Faire fiche 3.5 #8 -12-13
La droite numérique facilite la
recherche de l’ensemblesolution d’une opération qui
est faite sur un ensemble ou
sur des ensembles.
10
SECTION 3: LA RESOLUTION D’INEQUATIONS
A) Résoudre une équation
 Règle de transformation des égalités et des équations
On conserve les solutions d’une équation si on additionne, si on soustrait, si
on multiplie ou si on divise par la même quantité des 2 côtés de l’équation
 Résoudre une équation : C’est trouver la solution qui vérifie l’équation.
Méthode :
1) Il faut mettre d’un côté de l’équation les valeurs numériques
et de l’autre les termes algébriques.(isoler la variable)
2) Ensuite réduire le coefficient devant la variable à 1.
3) Vérifier en remplaçant dans l’équation par la valeur trouvée.
Exemples
Ex 1.
3x – 6 = 3
3x – 6 + 6 = 3 + 6
3x/3 = 9/3
x=3
On veut isoler x
On fait l’opposé de –6
On fait l’inverse de * 3
Exercices : Résous les expressions suivantes.
2x + 6 = 14
5x – 7 = 4x + 3
11
3x  7
 10
5
3 (5x – 9) = 2x
B) Problème écrit
Étapes pour résoudre un problème :
1)
2)
3)
4)
Identifier la ou les variables
Poser l’équation
Résoudre l’équation (trouver l’inconnu)
Vérifier la solution
Ajoute la moitié de l’aire de ce rectangle à mon âge et tu obtiens 47. Quel est
mon âge ?
 x + 44/2 = 47
4 * 11 = 44
4
x + 22 = 47
x =25 ans
11
C) Les règles de transformation des inégalités et des inéquations
Voici des règles qui permettent de résoudre des inéquations.
Règles de transformation
Additionner et soustraire une même quantité
aux deux membres d’une inéquation
conserve le sens de cette inéquation.
6<8
6+2<8+2
8 < 10
6<8
6–2<8–2
4<6
Multiplier ou diviser chaque membre d’une
inéquation par un même nombre positif
conserve le sens de cette inéquation.
6<8
6  2<8  2
12 < 16
6<8
6  2<8  2
3<4
6<8
6  -2 > 8  -2
-12 > -16
6<8
6  -2 > 8  -2
-3 > -4
Multiplier ou diviser chaque membre d’une
inéquation par un même nombre négatif
inverse le sens de cette inéquation.
Exemples
12
D) La résolution d’une inéquation à une variable

Il faut obtenir une inéquation dont un membre est composé uniquement de la
variable et l’autre membre, d’une valeur numérique correspondant à la borne
de l’ensemble-solution.
Pièges et
astuces
Lors de la
résolution d’une
inéquation, il faut
toujours isoler la
variable de façon
qu’elle soit
toujours positive.
Exemple :
3(x – 5)  5x + 7
3x – 15  5x + 7
3x – 3x – 15  5x – 3x + 7
– 15  2x + 7
– 15 - 7  7 - 7 + 2x
-22  2x
 22
2x

2
2
- 11  x
Exemples :Résous les inéquations suivantes
a) 4x + 5  29
b) 2x3  6
2
d) 7 (-3x) < -14
e) 3 x  3x2
2
5
c) 5 – 3x  2x + 6
13
E) La résolution de problèmes comportant des contraintes
La résolution d’un problème qui se traduit par des inéquations se fait en
plusieurs étapes.
Exemple : Zoé a reçu une carte-cadeau d’une valeur maximale de 50 $ qu’elle
peut utiliser dans un magasin de matériel d’artiste. Elle veut acheter une toile et
au moins 3 tubes de peinture acrylique. Elle choisit une toile qui coûte 23 $,
taxes incluses. Chaque tube de peinture coûte 4 $, taxes incluses. Combien de
tubes de peinture Zoé pourra-t-elle acheter avec sa carte-cadeau ?
Étapes pour résoudre un problème se traduisant par des inéquations
1. Définition de la
x représente le nombre de tubes de peinture
variable et de son x 
ensemble de
référence
2. Traduction des
• Contrainte reliée au prix
contraintes en
1 4x + 23  50
inéquations
• Contrainte reliée au besoin
(Souligner les mots2 x  3
clés)
3. Résolution des
inéquations
4. Vérification de
l’ensemblesolution en
substituant à x
une valeur de cet
ensemble
5. Interprétation de
l’ensemblesolution en
fonction du contexte
11
4x + 23  50
4x + 23 – 23  50 – 23
4x  27
4
4
x  6,75
2 x  3
Remplaçons x par 5.
4  5 + 23  50
43  50
L’inégalité est vraie.
x
3  x < 6,75
Le nombre de tubes de peinture achetés doit être à la
fois plus grand ou égal à 3 et inférieur ou égal à 6,75.
Réponse : Zoé pourra acheter 3, 4, 5 ou 6 tubes de
peinture.
Stop
14
SECTION 4 : LA REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SYSTEMES D’INEQUATIONS
SECTION 5 : LA RESOLUTION ALGEBRIQUE ET LA TABLE DE VALEURS
A) La représentation graphique d’un système d’équations
à deux variables
Un système d’équation c’est lorsqu’une situation présente en même temps deux
équations à deux variables.
Exemple :
y=x–2
y = 2x - 12
Changer les
équations
Faire table au tableau
Michel
Une graduation des axes appropriée illustre clairement, s’il existe, le point de rencontre
des deux droites.
B) La résolution graphique d’un système d’équations et l’interprétation de
la solution

Résoudre un système d’équations : C’est rechercher la valeur de la variable
indépendante(x) pour laquelle les variables dépendantes (y) prennent la même
valeur.

S’il existe une solution, celle-ci s’exprime sous la forme d’un couple-solution
(x,y) qui correspond au point d’intersection des droites.

Lorsqu’on trouve les coordonnées du point de rencontre, il faut vérifier cette
solution en remplaçant, dans les équations ou dans le contexte, les valeurs
trouvées.
Le couple-solution doit rendre les deux égalités vraies, sinon il s’agit
d’une approximation de la solution.

Méthode
15
Exemple : Cet après-midi, Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture
du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane reprend sa lecture à la page
147 et lit 44 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 111 et lit 52
pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même
nombre de pages ?
Étapes pour trouver graphiquement la solution d’un système d’équations
1. Traduire algébriquement et
graphiquement la situation par un
système d’équations et déterminer
la solution ou faire une
approximation
de la solution.
x : temps de lecture (en heures)
y : nombre de pages lues
Mégane : ym = 147 + 44 x
Noah : yn = 111 + 52 x
Approximation de la solution : (4, 320)
2. Vérifier la solution dans les deux
équations ou dans le contexte.
Remplacer (4, 320) dans les deux
équations.
Mégane : 320  147 + 44(4)
Noah : 320  111 +52(4)
Donc, (4, 320) n’est pas la solution.
3. Changer la graduation des axes,
représenter de nouveau le système
d’équations autour de la solution.
Vérification
Mégane : 345 = 147 + 44(4,5)
Noah : 345 = 111 + 52(4,5)
Nouvelle approximation de la solution :
(4,5, 345)
4. Répondre à la question.
Mégane et Noah auront lu 345 pages.
Mégane et Noah auront lu le même nombre
de pages de leur roman après 4 heures
30 minutes.
16
C) La résolution d’un système d’équations à l’aide d’une table de valeurs
On peut représenter les systèmes d’équations par une table de valeurs.
Exemple :
Marco et Ève-Lyne reviennent de la bibliothèque. Marco a emprunté un roman
de 438 pages. Il lit en moyenne 20 pages par heure. Ève-Lyne a emprunté un
roman de 492 pages. Elle lit en moyenne 24 pages par heure. Après combien
d’heures de lecture leur restera-t-il le même nombre de pages à lire ?
On peut traduire la situation par un système d’équations et la représenter dans
une table de valeurs.
Pages qui restent à lire à Marco : YM  438  20 x
Pages qui restent à lire à Ève-Lyne : YE  492  24 x
Où x est le temps consacré à la lecture.
x
yM
0
5
438
338
yE
492
372
10
238
252
15
138
132
20
38
12
Entre 0 et 10heures
de lecture :
YM  YE
Pour 15 heures et
plus de lecture :
YM  YE
La valeur
recherchée se situe
entre 10 et 15
heures.
Pour trouver le couple-solution du système d’équations, on peut procéder par
encadrements successifs en réduisant le pas de variation entre les deux valeurs
ciblées dans la première table de valeurs.
x
yM
yE
10
238 252
11
218 228
On cible des
12
198 204
valeurs
La valeur
13
178 180
recherchée
14
158 156
comprises
se situe
15
138 132
entre 13 et
entre 10 et 15
14 heures.
en diminuant le
pas de
variation.
17
On cible des
x
13
yM
yE
178 180
176 177,6
174 175,2
172 172,8
170 170,4
entre 13 et 14 en
13,1
13,2
13,3
diminuant le pas
13,4
13,5
de variation.
13,6
166 165,6
13,7
164 163,2
13,8
162 160,8
13,9
160 158,4
valeurs comprises
14
168
158
168
Réponse :
Après 13 heures 30
minutes de lecture, il
restera à Marco et à
Ève-Lyne 168 pages
de leur roman à lire.
156
18
D) La résolution algébrique d’un système d’équations
La relation d’égalité est transitive. Cela signifie que, si une expression est
équivalente à deux autres expressions, ces deux autres expressions sont
équivalentes.
Exemple : Si 12 = 5
7 et 12 = 2  6, alors
7=2 6
La propriété de transitivité peut être utilisée pour résoudre un système
d’équations. On appelle cette méthode algébrique « la résolution par
comparaison »
Méthode de comparaison
Étapes
1. Traduire la situation par
un système d’équations.
Exemples
Pages qui restent à lire à Marco : y M  438  20 x
Pages qui restent à lire à Ève-Lyne : y E  492  24 x
Où x est le temps consacré à la lecture.
2.

Poser une égalité
entre les deux
expressions :
yM  yE

438  20 x  492  24 x
438  20 x  24 x  492  24 x  24 x
438  4 x  492
438  438  4 x  492  438
4 x 54

4
4
x  13,5
Trouver la variable
indépendante (x)
3. Déterminer la valeur de y M  438  20  13,5
la variable
 438  270
dépendante(y) pour
 168
une des deux équations
4. Valider la solution avec
la deuxième équation.
y E  492  24  13,5
 492  324
 168
5. Interpréter la solution et Après 13 heures 30 minutes de lecture, il restera
répondre à la question. à Marco et à Ève-Lyne 168 pages de leur roman à lire.
En conclusion, il existe 3 méthodes de résolutions :
 Graphiquement
 Par tables de valeurs
 Méthode de comparaison
19
Cette dernière est la plus efficace, cependant les deux autres méthodes
permettent de voir ce qui se passe de part et d’autre du couple-solution.
F) Le nombre de solutions d’un système d’équations PEI seulement
1) Le graphique
Position relative des deux droites
Équations
Paramètres
Exemples
Droites
sécantes
a1  a2
Droites
parallèles
distinctes
a1 = a2
b1  b2
y = x + 10
y = 2x + 6
y = -3x + 10
y = -3x + 15
Nombre de solutions
Une solution (le point
de rencontre)
Aucune solution
(aucun point de
rencontre)
20
a1 = a2
Droites
confondues
b1 = b2
y=x+8
y=8+x
Infinité de solutions
(tous les points
appartenant à la droite)
D) La résolution algébrique d’un système d’équations
La relation d’égalité est transitive. Cela signifie que, si une expression est
équivalente à deux autres expressions, ces deux autres expressions sont
équivalentes.
Exemple : Si 12 = 5
7 et 12 = 2  6, alors
7=2 6
Méthode de comparaison
Étapes
Exemples
1. Traduire la situation par
un système d’équations.
2.


Poser une égalité
entre les deux
expressions :
y1  y2
Trouver la variable
indépendante (x)
21
3. Déterminer la valeur de
la variable
dépendante(y) pour
une des deux équations
4. Valider la solution avec
la deuxième équation.
5. Interpréter la solution et
répondre à la question.
En conclusion, il existe 3 méthodes de résolutions :
 graphique
 avec table de valeurs
 méthode de comparaison
Cette dernière est la plus efficace, cependant les deux autres méthodes
permettent de voir ce qui se passe de part et d’autre du couple-solution.
Exemple :
a) y = 2x + 3 et y = 4x -5
b) y = -x + 7 et y = 3x - 7
22
stop
2) La table de valeurs
Dans une table de valeurs, l’observation du taux de variation et de la valeur
initiale révèle le nombre de solutions du système d’équations.
Exemple :
Solution unique
Les taux de variation
sont différents. Le
système d’équations a
une seule solution, soit le
couple (8, 43).
Aucune solution
Les valeurs initiales
sont différentes et les
taux de variation sont
les mêmes. Le système
d’équations n’a aucune
solution.
Infinité de solutions
Les valeurs initiales et
les taux de variation
sont les mêmes. Le
système d’équations a
une infinité de solutions,
soit tous les couples qui
appartiennent aux
équations.
3) La résolution algébrique
Lors de la résolution algébrique d’un système d’équations, l’observation de
l’équation réduite permet de déterminer le nombre de solutions du système
d’équations.
Exemple :
Solution unique
y 1  6x  5
y 2  2x  27
6 x  5  2x  27
4 x  32
Aucune solution
y 1  4x  8
y 2  4x  2
4x  8  4x  2
0x   6
Infinité de solutions
y 1  6 x  10
y 2  2(3x  5)
6 x  10  2(3 x  5)
6x  10  6x  10
23
x8
0x  0
24