DM1 correction - Lycée Henri BECQUEREL

TS1- TS2 Correction du DEVOIR MAISON N°1
Exercice 1 : La fonction f est définie par f(x) =
Error!
.
1) x² - 1 = 0 x = - 1 ou x = 1 donc f est une fonction rationnelle définie sur Df = IR \ {- 1 ; 1}.
2) Pour tout x Df, x +
Error!
–
Error!
=
)1)(1( )1(4 )1)(1( )1(5 )1)(1( )1)(1( xx x xx x xx xxx
=
1² 9 1² )44()55()( 33 x
x
xxxxx
= f(x)
3)
1
lim
x
x3 + 9 = (- 1)3 + 9 = 8 Le tableau de signes donne :
donc
 )1 (
lim
x
x² - 1 = 0+ et
 )1 (
lim
x
x² - 1 = 0-
Ainsi,
 )1 (
lim
x
f(x) = + et
 )1 (
lim
x
f(x) = -
Cf admet donc une asymptote verticale d’équation x = - 1.
De manière analogue, on montre que
1
lim
x
f(x) = - et
1
lim
x
f(x) = + .
Cf admet donc une asymptote verticale d’équation x = 1.
4) a/
lim
x
f(x) =
lim
x
1² 9
3
x
x
=
lim
x
)
²
1
1²(
)
9
1( 3
3
x
x
x
x
=
lim
x
)
²
1
1(
)
9
1( 3
x
x
x
Or,
lim
x
3
9
x
=
lim
x
²
1
x
= 0 et
lim
x
x = - d’où
lim
x
f(x) = - .
De manière analogue,
lim
x
f(x) = + .
b/ f(x) = x +
Error!
–
Error!
donc
lim
x
[f(x) – x] =
lim
x
[
Error!
–
Error!
]
lim
x
[f(x) – x] = 0.
De manière analogue,
lim
x
[f(x) – x] = 0.
Cf admet donc une asymptote oblique  d’équation y = x en - et en + .
c/ f(x) – x =
Error!
–
Error!
=
1² 9 )1)(1( )1(4)1(5 x
x
xx xx
.
Le tableau de signes donne :
Sur ] -
; - 9[ ] – 1 ; 1[ : f(x) – x < 0 f(x) < x Cf est en dessous de .
Sur ] - 9 ; - 1[ ] 1 ; + [ : f(x) – x > 0 f(x) > x Cf est au-dessus de .
Cf coupe en x = - 9.
5) a/ f est une fonction rationnelle (ou quotient de deux fonctions polynômes) dérivable sur son
ensemble de définition. f est du type
v
u
avec u(x) = x3 + 9 et v(x) = x² - 1.
Or, f ’ =
²'' vuvvu 
sachant que u’(x) = 3x² et v’(x) = 2x
D’où, f ’(x) =
)²1²( )2)(9()1²²(33 xxxxx
=
)²1²( 182²33 44 xxxxx
=
)²1²( 182²33 44 xxxxx
=
)²1²( 18²3
4
xxxx
f ’(x) =
Error!
avec P(x) = x4 – 3x² - 18x.
b/ P(3) = 34 – 3(3)² - 18(3) = 0 donc 3 est une racine de P.
x
-
- 1 1 +
x² - 1
+ 0 - 0 +
x
-
- 9 - 1 1 +
x + 9
- 0 + + +
x² - 1
+ + 0 - 0 +
f(x) - x
- 0 + || - || +

Alors le polynôme P est factorisable par (x – 3).
P(x) = x4 – 3x² - 18x = x(x3 – 3x – 18) = x(x – 3)(ax² + bx + c) où a, b et c sont des coefficients entiers à
déterminer. Or,(x – 3)(ax² + bx + c) = ax3 + bx² + cx – 3ax² - 3bx – 3c = ax3 + (b – 3a)x² + (c – 3b)x – 3c
Par identification, on a
183
33
03
1
c
bc
ab
a
6
3
1
c
b
a
Alors, P(x) = x(x – 3)(x² + 3x + 6).
c/ On a donc f ’(x) =
)²1²( )63²)(3( xxxxx
.
Le discriminant du trinôme x² + 3x + 6 vaut = 3² - 4(1)(6) = - 15. < 0 donc x² + 3x + 6 > 0 sur IR.
On a donc le tableau de signes suivant :
d/
Exercice 2 : On considère f(x) = 9x2 – 30x + 24 .
1) La fonction f est définie lorsque 9x² - 30x + 24 ≥ 0.
Ce trinôme a pour discriminant = (-30)² - 4(9)(24) = 36. Comme > 0, le trinôme admet deux
racines distinctes : x1 =
)9(2 3630 
= 2 et x2 =
)9(2 3630 
=
3
4
.
Le trinôme est du signe de a = 9 à l’extérieur des racines.
Donc 9x² - 30x + 24 ≥ 0 x ] - ;
3
4
] [ 2 ; + [ = Df.
2) a/ Le seul axe de symétrie  possible pour la courbe Cf de f doit « centrer » l’ensemble de définition,
donc devrait avoir pour équation x =
2
2
3
4
x =
3
5
.
b/
3
5
: x
est un axe de symétrie pour Cf si et seulement si pour tout x Df, f(
3
5
+ x) = f(
3
5
- x).
Or, f(
3
5
+ x) =
1²243050²302524)
3
5
(30)²
3
5
(9  xxxxxx
et f(
3
5
- x) =
1²243050²302524)
3
5
(30)²
3
5
(9  xxxxxx
Puisque f(
3
5
+ x) = f(
3
5
- x), la courbe de f admet donc
3
5
: x
comme un axe de symétrie.
x
-
- 1 0 1 3 +
x
- - 0 + + +
x - 3
- - - - 0 +
x² + 3x + 6
+ + + + +
(x² - 1)²
+ 0 + + 0 + +
f ’(x)
+ || + 0 - || - 0 +
f
+
- 9 +
+
-
-
-
2
9