Trigonométrie y I) Sinus et cosinus d’un réel (en radians) 1 1°) Le cercle trigonométrique On rappelle que le cercle trigonométrique est le H cercle de centre O et de rayon 1, qui a été gradué. M 2 0.5 A un point M de ce cercle, on fait correspondre un angle x, désigné comme angle en radians. H o -0.5 0.5 1 1 Si I est le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère orthonormée (O, ;i, ;j), le réel x est la -0.5 mesure en radians de l’angle ;IOM(mesuré en degré) et correspond en fait à la longueur de l’arc ;I M. -1 Or le tour complet d’un cercle « en angle » est 360°. Et le périmètre du cercle est 2. On a donc la relation suivante : Si d est la mesure de l’angle en degré et x la mesure en radians : x = Error! 2°) Sinus et Cosinus du réel x Comme indiqué sur le cercle ci-dessus, M étant le point associé à l’angle en radians x, les coordonnées du point M dans le repère orthonormée (O, ;i, ;j) est M ( cos(x) ; sin(x) ). Ainsi, le cosinus de x est l’abscisse du point M et le sinus de x est l’ordonnée du point M. Le tableau suivant donnant quelques valeurs est alors à connaître par cœur : Angle en degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Angle en radian 0 Error! Error! Error! Error! Error! 2 Sinus 0 Error! Error! Error! 1 0 -1 0 Cosinus 1 Error! Error! Error! 0 -1 0 1 II) Fonction sinus et cosinus 1°) Périodicité des fonctions sinus et cosinus On définit sur les fonctions x → sin(x) et x → cos(x), en faisant varier l’angle x en radians. Comme le tour complet d’un cercle est 2, un point M du cercle associé à l’angle en radians x est également associé aux angles x + 2, x + 4, x + 6… mais aussi x – 2, x – 4… Ainsi pour tout x réel, on aura sin(x + 2) = sin(x) et cos(x + 2) = cos(x). On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont 2 - périodiques. Leur représentation graphique « se répète tous les 2 ». Ainsi pour étudier ces fonctions, il suffit d’étudier les variations et représentations sur [0 ; 2]. 2°) Sens de variations La fonction sinus La fonction cosinus Lorsque « x augmente de 0 à π/2 », l’ordonnée Lorsque « x augmente de 0 à π », l’abscisse du du point M augmente donc sinus est croissante point M diminue donc cosinus est décroissante sur [0 ; π/2]. sur [0 ; π]. Lorsque « x augmente de π/2 à 3π/2 », Lorsque « x augmente de π à 2 π », l’abscisse l’ordonnée du point M diminue donc sinus est du point M augmente donc cosinus est décroissante sur [π/2 ; 3π/2]. croissante sur [π ; 2π]. Lorsque « x augmente de 3π/2 à 2π », On a alors le tableau de variations : l’ordonnée du point M augmente donc sinus est croissante sur [3π/2 ; 2π]. On a alors le tableau de variations : 3°) Représentation graphique Représentation de sinus -6 -4 -2 Représentation de cosinus y y 4 4 2 2 o 2 4 6 x -6 -4 -2 o -2 -2 -4 -4 2 4 6 x