Trigonométrie : Ce qu`il faut retenir

Trigonométrie
I) Sinus et cosinus d’un réel (en radians)
1°) Le cercle trigonométrique
On rappelle que le cercle trigonométrique est le
cercle de centre O et de rayon 1, qui a été gradué.
A un point M de ce cercle, on fait correspondre
un angle x, désigné comme angle en radians.
Si I est le point de coordonnées (1 ; 0) dans le
repère orthonormée (O, ;i, ;j), le réel x est la
mesure en radians de l’angle ;IOM(mesuré en
degré) et correspond en fait à la longueur de
l’arc ;I M.
Or le tour complet d’un cercle « en angle » est 360°.
Et le périmètre du cercle est 2.
On a donc la relation suivante : Si d est la mesure de l’angle en degré et x la mesure en radians :
x =
Error!
2°) Sinus et Cosinus du réel x
Comme indiqué sur le cercle ci-dessus, M étant le point associé à l’angle en radians x, les coordonnées
du point M dans le repère orthonormée (O, ;i, ;j) est M ( cos(x) ; sin(x) ).
Ainsi, le cosinus de x est l’abscisse du point M et le sinus de x est l’ordonnée du point M.
Le tableau suivant donnant quelques valeurs est alors à connaître par cœur :
Angle en
degré
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
Angle en
radian
0
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
2
Sinus
0
Error!
Error!
Error!
1
0
- 1
0
Cosinus
1
Error!
Error!
Error!
0
- 1
0
1
II) Fonction sinus et cosinus
1°) Périodicité des fonctions sinus et cosinus
x
y
o
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-1
-0.5
0.5
1
M
H1
H2

On définit sur  les fonctions x → sin(x) et x → cos(x), en faisant varier l’angle x en radians.
Comme le tour complet d’un cercle est 2, un point M du cercle associé à l’angle en radians x est
également associé aux angles x + 2, x + 4, x + 6… mais aussi x – 2, x – 4…
Ainsi pour tout x réel, on aura sin(x + 2) = sin(x) et cos(x + 2) = cos(x).
On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont 2 - périodiques.
Leur représentation graphique « se répète tous les 2 ».
Ainsi pour étudier ces fonctions, il suffit d’étudier les variations et représentations sur [0 ; 2].
2°) Sens de variations
La fonction sinus La fonction cosinus
Lorsque « x augmente de 0 à π/2 », l’ordonnée
du point M augmente donc sinus est croissante
sur [0 ; π/2].
Lorsque « x augmente de π/2 à 3π/2 »,
l’ordonnée du point M diminue donc sinus est
décroissante sur [π/2 ; 3π/2].
Lorsque « x augmente de 3π/2 à 2π »,
l’ordonnée du point M augmente donc sinus est
croissante sur [3π/2 ; 2π].
On a alors le tableau de variations :
Lorsque « x augmente de 0 à π », l’abscisse du
point M diminue donc cosinus est décroissante
sur [0 ; π].
Lorsque « x augmente de π à 2 π », l’abscisse
du point M augmente donc cosinus est
croissante sur [π ; 2π].
On a alors le tableau de variations :
3°) Représentation graphique
Représentation de sinus Représentation de cosinus
x
y
o
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
o
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4