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Cours de Trigonométrie
Prenons deux droites perpendiculaires et graduées et traçons depuis leur
intersection un cercle de rayon 1.
Tracons maintenant une droite passant par O et faisant un angle de 40°
avec l'axe horizontal, et notons M son point d'intersection avec le cercle.
Alors M a pour abscisse cos(40) et pour ordonnée sin(40).
Quel que soit l'angle x que l'on a pris au départ, vu que le point M est
toujours sur le cercle, on a toujours :
Quand le point M va sur la droite, son cosinus se rapproche de 1 et son
sinus se rapproche de 0, quand il va vers le haut, son cosinus se
rapproche de zéro et son sinus se rapproche de 1. Sinus et Cosinus sont
des fonctions : on leur donne des angles (en degrés ou en radians), elles
ressortent des nombres compris entre -1 et 1.
Le radian :
Le radian est une unité de mesure d'angle. Un angle vaut x radians si la
longueur de l'arc de cercle rouge vaut x.
Ainsi, un tour complet, qui vaut 360 en degrés, vaut en radians le
périmètre du cercle, soit 2 (le rayon du cercle est toujours de 1). Dans
le cas du dessin, l'angle x vaut un peu moins de 1 radian. Comme 2
rad=360°, on peut convertir avec un produit en croix les degrés en
radians et inversement. On a ainsi :
Tableau de valeurs du sinus et du cosinus :
Les valeurs du cosinus et du sinus des angles ci dessus sont à savoir par
coeur (pour les apprendre, tu peux apprendre le dessin).
angle x 0
cos x
1
0 -1
sin x
0
1 0
Petite propriété :
D'après le théorème de Pythagore
dans le triangle ONM rectangle en N,
on a
, et comme le
cercle est de rayon 1, cela donne :
Représentation graphique :
Si les angles sont des nombres plus grands que 2 , le point M fait le tour
du cercle, et quand il a fait 2 radians, il revient au même endroit. Donc :
On a donc par exemple
, on peut donc tracer
à partir du tableau de valeurs la représentation graphique de la fonction
cosinus, et celle de la fonction sinus :
Les deux courbes se prolongent comme ça jusqu'à l'infini. On voit sur le
graphique que la fonction cosinus est paire (symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées ), et que la fonction sinus est impaire (symétrique par
rapport à l'origine).
Tangente :
On a pas beaucoup parlé de la fonction tangente sur cette page. Il faut
néanmoins être au courant que :