chap-1-cinematique

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Chap. 1
Cinématique du point matériel
I. Introduction : ........................................................................................................................... 2
I.1. Généralités : ..................................................................................................................... 2
I.2. Point matériel : ................................................................................................................. 2
I.3. Référentiels et repères : .................................................................................................... 3
I.3.1. Description : .............................................................................................................. 3
I.3.2. Référentiels galiléens et non galiléens : .................................................................... 4
I.4. Les systèmes de coordonnées usuels : ............................................................................. 5
I.4.1. Coordonnées cartésiennes : ....................................................................................... 5
I.4.2. Coordonnées cylindriques : ....................................................................................... 6
II. Vecteur vitesse – vecteur accélération :................................................................................. 8
II.1. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes : .................................................... 8
II.2. Vitesse et accélération en coordonnées polaires :......................................................... 10
II.2.1. Expression générale de la vitesse : ........................................................................ 10
II.2.2. Expression générale de l'accélération : .................................................................. 11
II.2.3. Cas particulier – Mouvement circulaire : .............................................................. 12
II.3. Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques : ................................................. 13
II.4. Vitesse et accélération dans une base de Frenet : ......................................................... 14

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Chap. 1
Cinématique du point matériel
I. Introduction :
I.1. Généralités :
L'étude du mouvement des corps ne date pas d'aujourd'hui. Elle a commencé depuis
plusieurs millénaires déjà. Dans la mesure où la curiosité a pris le pas sur l'habituel, le
mouvement a été mis en question. Nous pouvons citer le plus illustre des précurseurs,
Aristote, qui a, dans son traité du ciel, essayé de bâtir une théorie qualitative du mouvement,
ou des mouvements. Selon lui, par exemple, les corps terrestres se meuvent en ligne droite, et
les corps célestes en cercles. Avant lui, Héraclite (576-480 av.J.C.) a lui aussi parlé du
mouvement. Lui est plus intéressé par le devenir des choses que par ce qu'elles sont.
La cinématique traite des mouvements, quels qu'ils soient, des plus simples aux plus
complexes, sans chercher à savoir l'origine de ces mouvements. En mécanique dite classique,
un objet en mouvement est complètement déterminée par sa position dans l'espace et dans le
temps, donc par sa vitesse et son accélération, contrairement à la mécanique quantique, qui
est une mécanique non déterministe. Nous nous arrêterons dans ce chapitre à la cinématique
classique non relativiste, autrement dit au mouvement d'objets dont la vitesse est très
inférieure à celle de la lumière.
I.2. Point matériel :
Dans la réalité, le point matériel n'a pas de sens. Un point est une notion mathématique, et
non physique. Cependant, cette notion est malgré tout bien utile parce qu'elle simplifie les
problèmes. Prenons l'exemple d'une clef à molettes (Figure 1), lancée en l'air. La clef a un
mouvement ascendant puis descendant, et en même temps un mouvement de rotation sur elle-
même. Si le mouvement est aisé à décrire, le calcul de la position de chacun des points est
certainement très difficile. Malgré tout, il est décomposable en deux mouvements : le
mouvement de la clef par rapport à son centre de gravité G, et un mouvement du centre de
gravité lui-même. Or ce dernier est un mouvement simple. Le point G suit une parabole

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(Figure 2). Par cet exemple, nous voyons que l'introduction d'un point particulier simplifie le
tout.
Figure 1
Figure 2
Un point matériel n'a pas de dimension, ce qui signifie en fait que ses dimensions sont
très inférieures aux dimensions d'observation (< 0.1 mm). Cependant, il a une masse. Un des
objets les plus proches du point matériel est l'électron, dont les dimensions classiques sont de
l'ordre du fm, et dont la masse est ~ 10-30 kg.
I.3. Référentiels et repères :
I.3.1. Description :
Les notions de référentiel et de repère sont à bien différentier. Un référentiel est lié à un
observateur. Par exemple, je suis dans un train qui roule avec une certaine vitesse. En tant
qu'observateur, je me considère comme étant fixe, et j'observe le mouvement d'objets. Dans
mon référentiel, la vitesse d'une vache qui broute dans un champ n'est pas nulle. Sa vitesse est
la même que celle du train dans un référentiel lié à la terre, mais avec le signe opposé. Le
référentiel étant défini, il faut, pour décrire le mouvement, connaître la position de l'objet à
tout instant, donc définir un repère. A un référentiel donné, il existe une infinité de repères
possibles. Cependant, pour des raisons pratiques, il est plus judicieux de choisir un repère lié
au référentiel qui a été fixé. En effet, toutes les descriptions étant réalisées par l'observateur,
celui-ci rapportera ses propres conclusions, dans son propre référentiel.

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Prenons un homme marchant à côté d'une voie ferrée (Figure 3) sur laquelle passe un
train animé d'une vitesse vt. Cet observateur peut choisir un repère lié au train pour donner la
vitesse de ce train. Il dira que, dans ce repère, la vitesse est nulle. Mais ce n'est plus là la
conclusion d'un observateur, mais plutôt d'un mathématicien. L'observateur va plutôt prendre
un repère lié à lui. Dans ce repère, il dira que sa vitesse est vt.
Figure 3
Nous verrons des exemples dans le chapitre sur la dynamique qui feront mentir en
apparence ce que nous venons d'énoncer.
I.3.2. Référentiels galiléens et non galiléens :
Un référentiel est galiléen s'il a un mouvement de translation uniforme par rapport à un
référentiel fixe, appelé aussi référentiel absolu. Evidemment, un référentiel fixe n'existe pas,
puisque tous les objets sont en mouvement les uns par rapport aux autres. Mais à l'échelle
d'une observation, certains référentiels sont plus fixes que d'autres. L'un de ceux-ci a pour
centre le soleil, et des axes caractérisés par la position de trois étoiles. Ce référentiel est
appelé référentiel héliocentrique ou copernicien. Rappelons que l'héliocentrisme, attribué à
Copernic (XVIème siècle), a en fait été déjà mentionné vers 300 av. J. C., par Aristarque de
Samos, dont le seul ouvrage existant actuellement est "Sur les dimensions et des distances du
Soleil et de la Lune".

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Un référentiel est non galiléen s'il a un mouvement accéléré par rapport à un référentiel
galiléen. Un référentiel lié à la Terre, ou géocentrique, n'est pas galiléen puisque la Terre
tourne autour du Soleil (rappelons sans entrer dans les détails que le fait de tourner est dû à
une accélération dirigée vers la courbure de la trajectoire). Cependant, avec une bonne
approximation, nous considèrerons ce référentiel comme galiléen dans la plupart des
expériences faites. En effet, dans le temps d'une expérience, la Terre parcourt une trajectoire
qui peut être considérée comme rectiligne, avec une vitesse constante (Figure 4).
Figure 4
I.4. Les systèmes de coordonnées usuels :
I.4.1. Coordonnées cartésiennes :
Nous vivons dans un espace à trois
dimensions. Nous avons dans cet espace des
repères presque naturels, définis par des axes
perpendiculaires entre eux. Chacun des axes
est défini par un point et un vecteur unitaire.
Un système de coordonnées cartésiennes est
donc composé d'un point O et de trois axes
portés par trois vecteurs unitaires et
orthogonaux
x
u
,
y
u
et
z
u
(Figure 5).
Figure 5