Télécharger

Sujet FENETRE
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et
sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9
Sujet COULOIR
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa
médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5
Sujet FENETRE
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et
sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9
Sujet COULOIR
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa
médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5
Sujet FENETRE
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et
sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9
Sujet COULOIR
Barème 5+6+4+5
Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa
médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8.
Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9.
Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2.
Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5
Sujet FENETRE
Ex 1 :
Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9.
Déterminez ses quartiles et sa médiane.
On ordonne dans l’ordre croissant la série : 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 11.
xmini = 2
xmaxi = 11
Effectif : N = 11
N/4 = 11/4 = 2,75
donc 1er quartile Q1 = x3 = 4
N = 11 = 5 + 1 + 5
donc Médiane Me = x6 = 7
3N/4 = 3(11)/4 = 8,25
donc 3ème quartile Q3 = x9 = 9
Déterminez sa moyenne et son écart-type.
∑ ni xi
Moyenne
m=
73
2 + 3 + 4 + … + 9 + 11
=
=
N
11
11
Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la
calculatrice ) : m ≈ 6,636….
∑ ni xi ²
σ=
Ecart-type
2² + 3² + 4² + … + 9² + 11²
– m²
=
-
N
571
=
73²
-
11
11
571×11
=
11²
72²
-
11²
73
11²
952
952
=
11
=
11²
11
Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la
calculatrice ) : σ ≈ 2, 8049….
²
Déterminez la fréquence de la valeur 9.
fi = ni / N =
3 / 11
Pour information facultative puisqu’imprécise : fi ≈ 0,2727….
Ex 2 :
Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
1°) Déterminez w pour que l’écart-type de la série soit de 10.
Remarque : cette nouvelle série est constituée de w et de la sous-série étudiée à l’exercice
précédent, qui nous avait donné un effectif de 11, une moyenne de 73/11, et un écart-type avec
une somme des carrés de 571, donc la nouvelle série aura un effectif de 11+ 1 = 12, une
moyenne de (73+w)/(11+1), et un écart-type avec une somme des carrés de 571+w² !
Σ ni xi
Moyenne
m=
4 + 6 + 8 + … + 10 + 12 + w
=
=
N
10
Σ ni xi ²
Ecart-type
σ=
10
2² + 3² + 4² + … + 9² + 11² + w²
– m² =
571 + w²
12
73² + 2×73×w + w²
–
73 + w ²
-
N
=
72 + w
12
12( 571 + w² ) - 73² - 2×73×w - w²
=
12
12²
12²
11w² - 146w + 1523
=
12
11w² - 146w + 1523
σ = 10 donc 10 =
120 =
11w² - 146w + 1523
12
120² = 11w² - 146w + 1523
11w² - 146w + 1523 – 120² = 0
11w² - 146w – 12877 = 0
C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant :
∆ = (- 146)² - 4 (11) (- 12877) = 587904
∆ > 0 donc deux racines :
- (- 146) + √587904
w1 =
- (- 146) - √587904
≈ 41,488… et w2 =
≈ - 28,21…
2 (11)
2 (11)
w2 qui est négatif ne peut convenir pour w.
146 +
587904
pour que l’écart-type soit de 10.
Réponse : w1 =
22
Remarque : on peut vérifier son résultat en rentrant la série dans sa calculatrice pour obtenir σ = 10.
Ex 3 :
Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20,
et un écart-type de 4.
Comme on n’a que deux données ( moyenne et écart-type une fois que l’on utilise l’effectif ),
on peut fixer numériquement 3 valeurs et en déduire les deux autres.
Mais la solution la plus simple est de constituer la série en 3 sous-séries symétriques :
une sous-série de 2 valeurs inférieures à m, une sous-série de 2 valeurs supérieures à m, et une
5ème valeur égale à m.
E1
Σ ni xi
Moyenne
m=
E2
2 x1 + x2 + 2 x3
=
N
2 ( m - E1 ) + m + 2 ( m + E2 )
=
5
5
5m = 2( m - E1 ) + m + 2( m + E2 )
5m = 5m – 2 ( E1 - E2 )
E1 = E2
E1 = E2 que je nomme ( et jeune fille ) E.
Σ ni ( xi – m )²
Ecart-type
σ=
2( - E1 ) ² + 0² + 2( + E2 )²
=
N
2E² + 0 + 2E²
=
5
5
4 E²
σ² =
5 σ² = 4 E²
E = √20 = 2√5
1,25 × 4² = E²
5
x1 = x2 = m – E1 = 20 – 2√5
x3 = m = 20
20 – 2 √5
Réponse :
20 – 2 √5
x4 = x5 = m + E = 20 + 2√5
20 + 2 √5
20
20 + 2 √5
Comme vérification facultative on peut utiliser le mode STAT de sa calculatrice avec les
réponses rentrées en valeurs exactes, pour retomber sur l’effectif, la moyenne et l’écart-type
imposés, en valeurs arrondies ( ou parfois exactes sans pouvoir prouver leurs exactitudes ).
Exercice 4 :
Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9
f ‘(x) = 14 ( 3x² ) – 5 ( 2x ) – 12 ( 1 ) + ( 0 ) = 42x² - 10x – 12
C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant :
∆ = (- 10)² - 4 (42) (- 12) = 100 + 2016 = 2116 = 46²
∆ > 0 donc deux racines :
- (- 10) + 46
w1 =
56
=
2 (42)
2
=
84
- (- 10) - 46
et w2 =
3
- 36
=
2 (42)
3
= -
84
7
le polynôme est du signe de a = 42 > 0 à l’extérieur des racines,
donc en déduit que f ‘(x) > pour x dans J = [ - 10 ; - 6/7 [ union ] 2/3 ; 20 ]
donc grâce au théorème de la monotonie que f est strictement croissante sur J.
Réponse :
x
f ‘(x)
f (x)
- 10
+
- 3/7
0
-
2/3
0
20
+
Sujet COULOIR
Ex 1 :
Soit la série statistique constituée des nombres 6 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9.
Déterminez ses quartiles et sa médiane.
On ordonne dans l’ordre croissant la série : 4 ; 6 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12.
xmini = 4
xmaxi = 12
Effectif : N = 9
N/4 = 9/4 = 2,25
donc 1er quartile Q1 = x3 = 8
N=9=4+1+4
donc Médiane Me = x5 = 8
3N/4 = 3(9)/4 = 6,75 donc 3ème quartile Q3 = x7 = 9
Déterminez sa moyenne et son écart-type.
∑ ni xi
Moyenne
m=
4 + 6 + 8 + … + 10 + 12
=
72
=
N
=
9
8
9
La réponse exacte sous forme de fraction 72/9 est obligatoire pour prouver que vous n’avez pas
utilisé votre calculatrice en oubliant de vérifier si elle a affiché une valeur exacte ou approchée.
∑ ni xi ²
σ=
Ecart-type
4² + 6² + 8² + … + 10² + 12²
– m²
=
N
622
=
72²
-
9
9
622×9
=
9²
73
-
72²
-
9²
414
=
9²
9
9²
46
414
=
=
9
3
Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la
calculatrice ) : σ ≈ 2,26077….
²
Déterminez la fréquence de la valeur 8.
fi = ni / N =
4/9
Pour information facultative puisqu’imprécise : fi ≈ 0,444…. ou 44,4%
Ex 2 :
Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1.
Déterminez w pour que l’écart-type de la série soit de 9.
Remarque : cette nouvelle série est constituée de w et de la sous-série étudiée à l’exercice
précédent, qui nous avait donné un effectif de 9, une moyenne de 72/9, et un écart-type avec
une somme des carrés de 622, donc la nouvelle série aura un effectif de 9+ 1 = 10, une
moyenne de (72+w)/(9+1), et un écart-type avec une somme des carrés de 622+w² !
Σ ni xi
Moyenne
m=
4 + 6 + 8 + … + 10 + 12 + w
=
=
N
10
Σ ni xi ²
Ecart-type
σ=
10
4² + 6² + 8² +… + 10² + 121² + w²
– m² =
622 + w²
10
72² + 2×72×w + w²
–
72 + w ²
-
N
=
72 + w
10
10( 622 + w² ) - 72² - 2×72×w - w²
=
10
10²
10²
9w² - 144w + 1036
=
10
9w² - 144w + 1036
σ = 9 donc 9 =
90 =
9w² - 144w + 1036
10
90² = 9w² - 144w + 1036
9w² - 144w + 1036 – 90² = 0
9w² - 144w – 7064 = 0
C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant :
∆ = (- 144)² - 4 (9) (- 7064) = 275040
∆ > 0 donc deux racines :
- (- 144) + √275040
- (- 144) - √275040
≈ 37,135… et w2 =
w1 =
≈ - 21,135…
2 (9)
2 (9)
w2 qui est négatif ne peut convenir pour w.
144 +
275040
pour que l’écart-type soit de 9.
Réponse : w1 =
18
Remarque : on peut vérifier son résultat en rentrant la série dans sa calculatrice pour obtenir σ = 9.
Ex 3 :
Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10,
et un écart-type de 2.
Comme on n’a que deux données ( moyenne et écart-type une fois que l’on utilise l’effectif ),
on peut fixer numériquement 1 valeur et en déduire les deux autres.
Mais la solution la plus simple est de constituer la série en 3 sous-séries symétriques :
E1
Σ ni xi
Moyenne
m=
E2
x1 + x2 + x3
=
N
( m - E1 ) + m + ( m + E2 )
=
3
3
3m = ( m - E1 ) + m + ( m + E2 )
3m = 3m - E1 + E2
E1 = E2
E1 = E2 que je nomme ( et jeune fille ) E.
Σ ni ( xi – m )²
Ecart-type
σ=
( - E1 ) ² + 0² + ( + E2 )²
=
N
E² + 0 + E²
=
3
3
2 E²
σ² =
3 σ² = 2 E²
E = √6
1,5 × 2² = E²
3
x1 = m – E1 = 10 – √6
10 – √6
Réponse :
x3 = m + E2 = 10 + √6
x2 = m = 10
10 + √6
10
Comme vérification facultative on peut utiliser le mode STAT de sa calculatrice avec les
réponses rentrées en valeurs exactes, pour retomber sur l’effectif, la moyenne et l’écart-type
imposés, en valeurs arrondies ( ou parfois exactes sans pouvoir prouver leurs exactitudes ).
Exercice 4 :
Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5
f ‘(x) = 7( 3x² ) – 2 ( 2x ) – ( 1 ) + ( 0 ) = 21x² - 4x – 1
C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant :
∆ = (- 4)² - 4 (21) (- 1) = 16 + 84 = 100 = 10²
∆ > 0 donc deux racines :
- (- 4) + 10
w1 =
14
=
2 (21)
1
=
42
- (- 4) - 10
et w2 =
3
-6
=
2 (21)
1
= -
42
7
le polynôme est du signe de a = 21 > 0 à l’extérieur des racines,
donc en déduit que f ‘(x) > pour x dans J = [ - 10 ; - 1/7 [ union ] 1/3 ; 20 ]
donc grâce au théorème de la monotonie que f est strictement croissante sur J.
Réponse :
x
f ‘(x)
f (x)
- 10
+
- 1/7
0
-
1/3
0
20
+