1 - CSMM
publicité
3.3 Le triangle rectangle Date prévue : 18 octobre au 24 octobre p.120 http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geoplan/feuerbach.html#bissectrice http://www.ecurie.net/Site_maths/transformations/theor_bissect.htm http://www.mathpichette.com/documents/grmt.doc http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/oaim52/536a/Ttriangles.html http://www.mathsgeo.net/rep/dbis.html http://www.animath.fr/cours/deho_geo/deho_geo3.html http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/oaim52/536a/triangles.html http://perso.wanadoo.fr/debart/geoplan/construc_elem.html#ch2 http://perso.wanadoo.fr/debart/geoplan/feuerbach.html http://www.mathsgeo.net/rep/triang.html THÉORÈME DE LA BISSECTRICE (1) ÉNONCÉ Dans tout triangle, la bissectrice d'un angle divise le côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents. HYPOTHÈSE SCHÉMA soit un triangle ABC ACE est un angle extérieur au triangle ABC CONCLUSION m ACB = m a + m b AFFIRMATION JUSTIFICATION 1. Tracer une droite parallèle à CD passant pas A et qui coupe BC en E 2. m BCD = m CEA Angles correspondants 3. m ACD = m CAE Angles alternes-internes 4. m BCD= m ACD Transitivité de l’égalité 5. Triangle ACE est isocèle et AC CE Aux angles congrus sont opposés des angles congrus Des droites parallèles découpent des sécantes en segments proportionnels Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE LA HAUTEUR RELATIVE À L’HYPOTÉNUSE (2) ÉNONCÉ Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse. HYPOTHÈSE Soit le triangle ABC rectangle en B : SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION BAD CBD = 53,1 ADB BDC = 36,9 JUSTIFICATION Comme complément de C. Comme angles droits dans un triangle rectangle 2. ADB BDC D’après le cas de la similitude AA 3. Alors, Comme éléments homologues de triangles semblables 1. On a C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DU PRODUIT DES CATHÈTES (3) ÉNONCÉ Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit. HYPOTHÈSE Soit le triangle ABC rectangle en B : SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION 1. Si, ABC ADB A A ABC ADB 2. Et, 3. Donc, JUSTIFICATION Comme angles droits Comme angle commun Par la similitude AA Côtés homologues de triangles semblables. Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE PROJECTION SUR L’HYPOTÉNUSE (4) ÉNONCÉ Dans un triangle rectangle, chaque cathète est moyenne proportionnelle entre la longueur de sa projection sur l'hypoténuse et l'hypoténuse entière. HYPOTHÈSE SCHÉMA Le ABC est rectangle en C CONCLUSION AFFIRMATION 1. Si, CAB CAC’ ACB AC’C ABC AC’C 2. Alors, JUSTIFICATION Comme angle commun Comme angles droits Par le cas de similitude AA a2 = c2 x c 3. Si, CBA CBC’ ACB BC’C ABC BC’C 4. Alors, Comme côtés homologues de triangles semblables Comme angle commun Comme angles droits Par le cas de similitude AA Comme côtés homologues de triangles semblables b2 = c 1 x c C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Théorème de la médiatrice Théorème de l’angle de 30 THÉORÈME DE LA MÉDIANE ÉNONCÉ Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse a pour mesure la moitié de l'hypoténuse. HYPOTHÈSE SCHÉMA Le ABC est rectangle en C et inscrit dans un cercle. CONCLUSION AFFIRMATION JUSTIFICATION Une médiane coupe le côté opposé en deux segments congrus. Dans un cercle, tous les rayons sont congrus. La mesure du rayon est égale à la moitié de la mesure du diamètre. C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Autre démonstration à la page 284 THÉORÈME DE LA MÉDIANE ÉNONCÉ Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse a pour mesure la moitié de l'hypoténuse. HYPOTHÈSE SCHÉMA Le ABC est rectangle en C et le segment CE est la médiane relative à l’hypoténuse AB. CONCLUSION AFFIRMATION ABC AEF CEF AEF JUSTIFICATION Par la similitude AA Par l’isométrie CAC La médiatrice coupe le côté opposé en deux segments égaux. Dans deux figures isométriques, les côtés sont congrus. Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Autre démonstration à la page 284 Théorème de Pythagore (pp.275-276) Investissement 4 (p.280) : # 1,3, 4, 6 à 8, 10 à 12,19, 20
