1 - CSMM

3.3 Le triangle rectangle p.120
Date prévue : 18 octobre au 24 octobre
 http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geoplan/feuerbach.html#bissectrice
 http://www.ecurie.net/Site_maths/transformations/theor_bissect.htm
 http://www.mathpichette.com/documents/grmt.doc
 http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/oaim52/536a/Ttriangles.html
 http://www.mathsgeo.net/rep/dbis.html
 http://www.animath.fr/cours/deho_geo/deho_geo3.html
 http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/oaim52/536a/triangles.html
 http://perso.wanadoo.fr/debart/geoplan/construc_elem.html#ch2
 http://perso.wanadoo.fr/debart/geoplan/feuerbach.html
 http://www.mathsgeo.net/rep/triang.html
THÉORÈME DE LA BISSECTRICE (1)
ÉNONCÉ
Dans tout triangle, la bissectrice d'un angle divise le côté opposé en deux
segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
soit un triangle ABC
 ACE est un angle extérieur au
triangle ABC
CONCLUSION
m  ACB = m  a + m  b
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. Tracer une droite parallèle à CD passant
pas A et qui coupe BC en E
2. m  BCD = m  CEA
Angles correspondants
3. m  ACD = m  CAE
Angles alternes-internes
4. m  BCD= m ACD
Transitivité de l’égalité
5. Triangle ACE est isocèle et AC  CE
Aux angles congrus sont opposés des angles congrus
Des droites parallèles découpent des sécantes en
segments proportionnels
Par substitution
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DE LA HAUTEUR RELATIVE À L’HYPOTÉNUSE (2)
ÉNONCÉ
Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu'elle détermine sur
l'hypoténuse.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Soit le triangle ABC
rectangle en B :
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. On a
BAD  CBD = 53,1 
ADB  BDC = 36,9 
Comme complément de C.
Comme angles droits dans un
triangle rectangle
2.
ADB  BDC
D’après le cas de la similitude
AA
3. Alors,
Comme éléments homologues
de triangles semblables
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DU PRODUIT DES CATHÈTES (3)
ÉNONCÉ
Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de
l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Soit le triangle ABC
rectangle en B :
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. Si,
ABC  ADB
A  A
ABC  ADB
Comme angles droits
Comme angle commun
Par la similitude AA
2. Et,
Côtés homologues de triangles
semblables.
3. Donc,
Dans une proportion, le produit des
extrêmes est égal au produit des
moyens
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DE PROJECTION SUR L’HYPOTÉNUSE (4)
ÉNONCÉ
Dans un triangle rectangle, chaque cathète est moyenne proportionnelle entre
la longueur de sa projection sur l'hypoténuse et l'hypoténuse entière.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Le ABC est rectangle en C
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. Si,
CAB  CAC’
ACB  AC’C
ABC  AC’C
Comme angle commun
Comme angles droits
Par le cas de similitude AA
2. Alors,
a2 = c2 x c
Comme côtés homologues de triangles
semblables
3. Si,
CBA  CBC’
ACB  BC’C
ABC  BC’C
Comme angle commun
Comme angles droits
Par le cas de similitude AA
4. Alors,
b2 = c1 x c
Comme côtés homologues de triangles
semblables
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

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