Le pendule élastique

Le pendule élastique.
Introduction.
On étudiera ici un autre système mécanique, le pendule élastique, ayant un mouvement
oscillatoire.
Après avoir dégager expérimentalement les caractéristiques de ce mouvement ; on se
proposera de retrouver ces caractéristiques en appliquant la 2ème loi de Newton et en réalisant
l’étude analytique du mouvement du pendule élastique.
I. Etude expérimentale du pendule élastique (voir Travaux Pratiques).
1. Résultats.
Ecarter de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, un pendule élastique (vertical ou
horizontal) décrit des oscillations mécaniques libres non amorties (si les frottements sont
suffisamment faibles et si l’on observe les oscillations sur une durée relativement courte).
Il oscille de part et d’autre de sa position d’équilibre, avec une amplitude Xm.
Sa position peut être repérée à tout instant t par l’abscisse x du centre d’inertie du pendule
repérée par rapport à sa position d’équilibre O.
Position
d’équilibre
O●
x
● G
On observe alors un régime périodique.
Il y a isochronisme des oscillations du pendule élastique, quelque soit l’amplitude des
oscillations (sans dépasser la limite d’élasticité).
La période des oscillations est indépendante de l’amplitude.
On établie expérimentalement et par analyse dimensionnelle que la période propre du pendule
élastique (vertical ou horizontal) à pour expression :
1
T0 = 2 
m
k
Où m est la masse du pendule élastique et k la raideur du ressort.
2. Visualisation du graphe x (t).
2.a. Dispositif expérimental.
Un pendule élastique horizontal est constitué par un chariot glissant sur un rail horizontal et
relié à un ressort de masse négligeable.
L’abscisse du chariot est déterminée à tout instant t grâce à un capteur photoélectrique.
2.b. Observation du graphe obtenu.
On obtient un graphe ayant l’allure suivante :
On constate que la fonction x (t) est une fonction sinusoïdale du temps d’amplitude Xm et de
période T0.
2
II. Influence de l’amortissement.
1. Dispositif expérimental.
On reprend le dispositif utilisé précédemment en rajoutant une « ailette » en dessous du
chariot qui permet d’accroître le frottement de l’air (amortissement faible) ou le frottement
d’un fluide visqueux (amortissement fort) dans lequel plonge l’ailette.
2. Cas d’un amortissement faible.
Si l’action des forces de frottement est modérée, l’amortissement est faible, l’amplitude des
oscillations observées décroît progressivement dans le temps : on observe des oscillations
mécaniques libres amorties, c'est-à-dire un régime pseudo périodique.
Si l’amortissement est faible, la pseudo période T des oscillations amorties est pratiquement
m
égale à la période propre T0 = 2 
du pendule élastique.
k
3. Cas d’un amortissement fort.
Plus les frottements sont importants, plus les oscillations sont amorties.
Lors que les frottements deviennent suffisamment importants, on observe plus d’oscillations
mais un régime apériodique
3
La « limite » entre le régime pseudo périodique et le régime apériodique correspond au
régime critique (courbe en bleu).
Le régime critique est le régime pour lequel le pendule revient le plus rapidement et se
stabilise à sa position d’équilibre.
III. Etude analytique du mouvement d’un pendule élastique horizontal.
1. Introduction.
On se propose ici de retrouver mathématiquement, en utilisant la 2ème loi de Newton, les
caractéristiques du mouvement du pendule élastique mises en évidence expérimentalement.
2. Expression vectorielle de la force de rappel exercée par un ressort.
2.a. Caractéristiques de la force de rappel.
Lorsque l’on déforme un ressort à spires non jointives (les spires du ressort ne sont pas

« collées » les unes aux autres), le ressort exerce alors à son extrémité une force F ayant les
caractéristiques suivantes :
-
Point d’application : l’extrémité du ressort.
Direction : l’axe du ressort.

Sens : la force F a toujours tendance à ramener le ressort dans sa position « non
déformé », encore appelée position naturelle ou position à vide du ressort.
4
●
Position « à vide »
L0
Position compressée
●

F
L
Position étirée

F
●
L

F est une force de rappel, elle a toujours tendance à « rappeler » (ramener) le ressort vers sa
position à vide.
-
Intensité

Lorsque le ressort est étirée, la norme de F a pour expression :
F = k ΔL
où k est la raideur du ressort et ΔL sont allongement ; on peut écrire : ΔL = L – L0, L étant la
longueur du ressort étiré et L0 sa longueur à vide.
On a donc : F = k (L – L0)
Si le ressort est comprimé, on a toujours F = k ΔL , mais ΔL représente la compression du
ressort, soit : ΔL = L0 – L ; on a alors :
F = k (L0 - L)
Finalement que le ressort soit étiré ou compressé, on peut écrire :
F = k L  L0

2.b. Expression vectorielle de F .
On considère un axe Ox parallèle à l’axe du ressort et ayant pour origine la position de
l’extrémité du ressort lorsqu’il est à vide.
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
Oi
●
Position « à vide »
L0
x
Position compressée
●

F
L
x
Position étirée

F
●
L
On a alors L  L0 = x et donc :
F=k x

Si le ressort est compressé, la projection Fx de F sur l’axe Ox est positive, on peut écrire :
Fx = F = k x
Or, x étant alors négatif : x = - x et :
Fx = - k x

Si le ressort est étiré, la projection Fx de F sur l’axe Ox est négative, on peut écrire :
Fx = - F = - k x
Or, x étant alors positif :
Fx = - k x
Que le ressort soit comprimé ou étiré la relation Fx = - k x
est toujours valable.
(Remarque : cette relation reste également valable que l’axe Ox soit orienté vers la gauche ou
vers la droite).

Enfin, soit i le vecteur directeur de l’axe Ox, on peut écrire :


F = Fx i
On en déduit l’expression vectorielle générale de la force de rappel exercée par un ressort à
spires non jointives :


F=-kx i
3. Application de la 2ème loi de Newton.
3.a. Position du problème.
On considère un pendule élastique horizontal constitué par un solide S de centre d’inertie G et
de masse m pouvant glisser sur un plan horizontal.
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Cet objet est fixé à un ressort de masse négligeable et de raideur k ; l’autre extrémité du
ressort étant fixe.
a
●G
●
O
Lorsque le ressort est « à vide » le centre d’inertie G est à la vertical du point O.
Le ressort est abandonné sans vitesse après que le solide S ait été déplacé d’une distance a en
étirant le ressort (voir figure).
On se propose d’établir l’équation horaire du mouvement du point G.
3.b. Cadre de l’étude.
On étudie le système {solide S} dans le référentiel terrestre considéré galiléen.
Bilan des forces :

- P le poids du solide.

- R N la réaction normale du support horizontal sur le solide.

- F la force de rappel exercée par le ressort.

- FF la force de frottement exercée par le support sur le solide.
Sens du mouvement
●
O

i

F

RN
●G

FF

P
Repère d’espace :
Axe Ox horizontal, où O est la projection verticale de la position de G lorsque le ressort est à

vide. ( i est le vecteur directeur de l’axe Ox).
Origine des dates : instant où le solide est lâché sans vitesse initiale, le ressort ayant été étiré
d’une longueur a.
3.c. La 2ème loi de Newton.
La 2ème loi de Newton appliqué au solide S permet d’écrire :
 



m aG = P + R N + F + FF
 
Soit en posant a = aG
 



m a = P + R N + F + FF
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3.d. L’accélération du centre d’inertie.
On projette la relation vectorielle précédente sur l’axe Ox ; on obtient :
m ax = Px + RNx + Fx + FFx
Or : Px = RNx = 0 (les 2 vecteurs étant verticaux) et Fx = - kx ; on a donc :
m ax = - kx + FFx
Soit :
x +
ax +
F
k
x - Fx = 0
m
m
F
k
x - Fx = 0
m
m
; or ax = x , on a donc :
Equation 1
Cette relation constitue l’équation différentielle d’évolution temporelle du pendule élastique
horizontal.
4. Cas du pendule idéal.
4.a. Définition.
Un pendule élastique idéal est la modélisation d’un pendule élastique réel pour lequel on
néglige les forces de frottements.
4.b. Equation différentielle du mouvement.
Pour un pendule élastique horizontal idéal, l’équation 1 devient (FFx = 0) :
x +
k
x=0
m
Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre.
4.c. Solution de l’équation différentielle : équation horaire du mouvement.
On se propose de vérifier que la solution de l’équation différentielle du mouvement est une
fonction de la forme :
2
t + φ)
T0
x (t) est une fonction sinusoïdale du temps de période T0 , d’amplitude Xm et de phase à
l’origine φ.
x (t) = Xm cos (
On a alors :
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x = - Xm sin (
2
2
2
2
t + φ) x
=Xm sin (
t + φ)
T0
T0
T0
T0
0n en déduit:
x = -
x = -
2
2
2
Xm cos (
t + φ) x
T0
T0
T0
4 2
T02
Xm cos (
2
t + φ)
T0
En introduisant les expressions de x (t) et x (t) dans l’équation différentielle du mouvement,
on obtient :
-
4 2
T02
Xm cos (
k
2
2
t + φ) +
Xm cos (
t + φ) = 0
m
T0
T0
k
2
4 2
Xm cos (
t + φ) (+
) =0
2
m
T0
T0
Xm étant non nul et la fonction cos (
2
t + φ) ne pouvant être constamment nulle, on a
T0
nécessairement :
-
4 2
T02
+
k
=0
m
T02 = 4 2
T0 = 2π
; soit :
4 2
T02
=
k
m
m
k
m
k
On retrouve l’expression de la période propre d’un pendule élastique établie
expérimentalement.
4.d. Exemple de détermination des valeurs de Xm et φ.
Les valeurs des constantes Xm et φ sont déterminées grâce aux conditions initiales du
mouvement.
A t = 0, le centre d’inertie du solide a été éloigné d’une distance a par rapport à l’origine O
dans le sens positif de l’axe Ox, on a donc :
x (0) = a
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Or mathématiquement : x (0) = Xm cos (
2
x 0 + φ) = Xm cos φ
T0
On a donc :
Xm cos φ = a
relation 1
Par ailleurs le solide est lâché sans vitesse initiale, on a donc : vx (0) = x (0) = 0.
Or, mathématiquement :
2
2
2
Xm sin (
x 0 + φ) = Xm sin φ
T0
T0
T0
On a donc :
x (0) = -
2
Xm sin φ = 0
relation 2
T0
On déduit de la relation 2:
-
sin φ = 0
soit : φ = 0
ou φ = π
Si φ = 0 , la relation 1 donne :
Xm cos 0 = a
Soit: Xm = a
Si φ = π , la relation 1 donne :
Xm cos π = a
Soit: Xm = - a
L’amplitude étant une grandeur toujours positive, on retient la solution:
Xm = a et φ = 0
On a donc finalement :
x (t) = a cos
2
t
T0
avec
T0 = 2π
m
k
L’équation horaire du mouvement du centre d’inertie du solide S est alors parfaitement
déterminée.
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