CC
Chapitre 5
1
I.
123-
4II.
LES OSCILLATIONS
MECANIQUES LIBRES
Exercice
15’
4 Points
Un pendule élastique est constitué d’un ressort de raideur k= 20N.m-1 et d'un solide de masse m qui peut
osciller sur un banc à coussin d'air horizontal. A l'instant t = 0, le solide est écarté de sa position d'équilibre
de
x0 = + 2,83cm et lâché avec une vitesse initiale v0 négative.
Dans un premier temps, on néglige les frottements du chariot
sur le banc.
(S)
(R)
Faire l'inventaire des forces exercées sur le chariot et les
G
représenter.
x'
Etablir l'équation différentielle du mouvement.
O
Vérifier que x (t) = Xm sin (ω₀t + ) est solution de cette
équation différentielle avec ω₀ une constante que l’on exprimera en fonction des grandeurs physiques du
système.
Etablir une relation entre x, v, Xm et ω₀.
Grâce à des capteurs appropriés, on enregistre l'évolution temporelle de l'élongation x du centre d'inertie du
chariot. Sur le graphe1, on trace la courbe de la variation de l'énergie potentielle élastique Ep du système
{chariot, ressort} en fonction du temps.
Ep en 10-3J
16
x
-Graphe1-
14
12
10
8
6
4
2
t en s
1- Montrer que Ep s’écrit sous
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,471
la forme : Ep (t) =
+
(
+
− .
2- En exploitant le graphe1, déterminer la période propre des oscillatiosT0, l’amplitude XM et la masse m du
chariot.
3- Déterminer la phase initiale et l’expression de l’élongation x (t).
1
CC
Chapitre 5
LES OSCILLATIONS
MECANIQUES LIBRES
4- Déterminer v0.
5- Représenter sur le graphe1 Ec (t).
III. A l’aide d’un dispositif approprié, on soumet le chariot à des frottements visqueux. Le graphe2 représente
l’enregistrement de la variation, en fonction du temps, de l’élongation x de son centre d’inertie G pour trois
coefficients de frottement h1, h2 et h3 correspondant respectivement à x1 (t), x 2 (t) et x3 (t).
x en mm
-Graphe2-
- 25,04mm
1- Parmi les enregistrements indiquer celui qui correspond à la valeur du coefficient de frottement le plus
faible et donner le nom de son régime.
2- Nommer les autres régimes en comparant leur coefficient de frottement.
3- Pour la courbe x1= f(t)
a- déterminer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants t0 = 0s et t’= 3T avec
T la pseudo période des oscillations.
b- A quoi est due cette variation ?
c- Calculer l’énergie cinétique du solide à t= 0,2s
2
CC
Chapitre 5
2
LES OSCILLATIONS
MECANIQUES LIBRES
Exercice
20’
5 Points
Un pendule élastique est constitué d’un ressort ( R) de raideur K , dont l’une des extrémités et fixée à un
support fixe . A l’autre extrémité est attaché un solide ( C )supposé ponctuel masse m . Le solide (C) peut
glisser sans frottement sur un plan horizontal ; sa position est repérée sur un axe x’ox confondu avec l’axe du
ressort. A l’équilibre (C) se trouve au point o : origine des espaces .On écarte le solide (C) vers un point
d’abscisse xo et lui communique une vitesse v0 à l’origine des temps ( t = 0 ) . Le corps (C) effectue donc des
oscillations. Un enregistrement a permis de tracer la
x(cm)
courbe représentant la variation de l’élongation x au
m
cours du temps .(Voir figure 3).
I1- En appliquant la R FD, Etablir l’équation différentielle
du mouvement.
2- Vérifier que la solution de cette équation est une
fonction sinusoïdale et déterminer sa pulsation propre.
3- En exploitant la courbe de la figure 3 ; déterminer :
a- la pulsation propre 0 de l’oscillateur ; l’abscisse
initiale x0 ; l’amplitude Xm et la phase initiale .
b- En déduire l’équation horaire du mouvement.
c- Déterminer la valeur de la vitesse v0 .
22
t(s)
0
-3
-3
π/10
Fig 1
Fig3
II-
12345-
Un dispositif approprié a permis de tracer la courbe de la variation de l’énergie potentielle élastique du
solide (C) au cours du temps ( figure 4 ) .
Déterminer l’expression de l’énergie potentielle élastique Epe en fonction du temps et vérifier qu’elle
s’écrit sous la forme d’une somme d’un terme constant et d’une fonction sinusoïdale.
En déduire la valeur de la période T, de l’énergie potentielle élastique.
Montrer que le système (C ), ressort est conservatif.
Déterminer la raideur K du ressort et déduire la masse m.
Représenter sur la figure 4 la courbe de la variation de l’énergie cinétique en fonction du temps ; en
indiquant les valeurs initiales de EC et Ep
3
CC
Chapitre 5
LES OSCILLATIONS
MECANIQUES LIBRES
Epe (10-2J)
7,2
t(s)
0
Fig4
3
1234-
Exercice
15’
4 Points
On considère un pendule élastique formé par un solide ponctuel (S) de masse m et un ressort (R) à spires non
jointives et de raideur K. Le pendule peut se déplacer sur un plan horizontal
(S)
(R)
parfaitement lisse.
Etablir l’équation différentielle relative à x.
Vérifier que x(t) =
(
+ ) est solution de cette équation
O
différentielle.
Ecrire l’expression de = f(t) et déduire une relation entre ( et
) et ( et ).
Un dispositif approprié permet de tracer x(t) et v(t) (voir figure ci-dessous)
a)
b)
56-
Montrer que la courbe
représente x(t)
Déterminer les expressions de
,
,
,
et
…………………………..
Montrer que l’énergie mécanique du pendule élastique se conserve au cours du temps.
Le graphe suivant représente les courbes = f( ) et
E = g( ) où et E représentent respectivement l’énergie cinétique et l’énergie mécanique du pendule
élastique.
a) Identifier chacune des deux courbes en justifiant la réponse.
b) En exploitant le graphe, déterminer la raideur K du ressort et la masse m du solide.
4
x
CC
Chapitre 5
LES OSCILLATIONS
MECANIQUES LIBRES
c) Déterminer l’énergie potentielle du pendule élastique lorsque la vitesse du mobile est
point atteint cette vitesse ?
= .
.
x en cm et v en m.
E(
)
(a)
0
4
( b)
Echelle
0
Pour x :
→
Pour v :
→ .
0.16
.
5
. En quel
