Série 2 (université de Djelfa)

Série de TD N° 2
1
Mouvement rectiligne
EXERCICE 01:
On donne ci-dessous le tableau des valeurs de x(t).
1. Tracez le diagramme des espaces. Echelle (x : 1cm  1m) (t : 1cm  1s).
2. Déterminez la vitesse moyenne pour les intervalles de temps [2s , 10s] et [5s , 7s].
3. Comparez ces valeurs à la vitesse instantanée à t = 6s. Conclusion.
t(s)
1
2
3
5
6
7
8
10
x(m)
1,5
2,8
3,6
5
5,5
6
6,5
7,2
EXERCICE 02:
EXERCICE 03:
EXERCICE 04:
Une voiture A se trouvant à l'arrêt devant un feux
rouge démarre après le passage au vert du feux, une
autre voiture B arrive avec une vitesse constante tel
que les deux voitures se trouvent au même point
devant le feux rouge à t = 0 temps du passage du
feux du rouge au vert. Le diagramme des vitesses est
donné par la courbe ci-contre.
1. Combien de temps faut-il à la voiture A pour
avoir la même vitesse que la voiture B?
2. A cet instant, quelle est la distance séparant les
deux voitures?
3. A quel instant la voiture A rattrape-t-elle la
voiture B? Quelle est alors la distance parcourue
par les deux voitures?
voiture A
voiture B
Temps
(h)
0.010
0.005
Vitesse
(km/h)
20
40
60
Le schéma ci-contre donne la position d'un mobile
en fonction du temps
1. Quels sont les intervalles de temps où le
mobile se déplace dans le sens positif?
(respectivement négatif ?)
2. Dans quels intervalles le mobile subit-il une
accélération?
3. Donnez la courbe v(t) du mobile.
x (m)
t (s)
0
5,
5
7
-3
-2
1
2
3
3,25
2,2
5
Le diagramme des vitesses d’un mobile, animé d’un mouvement
rectiligne, est donné par le diagramme ci-contre. Sachant qu’à
t = 0 s ; v(0) = 0 m/s et x(0) = 0 m.
1. Dans l’intervalle de temps [0 , 10]secondes, tracez le
diagramme des accélérations du mobile.
2. Tracez le diagramme des espaces du mobile pour t[0 , 7]s
. Quelle est la position du mobile à t = 10 s ? Evaluez la distance
parcourue par le mobile entre les instants t = 0 s et t = 10 s.
3. Décrivez le mouvement du mobile dans l’intervalle de
temps [0 , 10]s.
4. Sur la trajectoire, représentez les vecteurs position, vitesse
et accélération à l’instant t = 8 s ; Pour cela on donne les
échelles de représentation suivantes : (position : 1 cm  1 m)
(vitesse : 1 cm  0,5 m/s) (accélération 1cm  0,5 m/s2).
3
-3
6
3
7
10
t(s)
v(m/s)

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EXERCICE 05:
Un piéton se déplace avec une vitesse uniforme de 6m/s pour rattraper un bus à l'arrêt, mais quand il
arrive à une distance de 25 m du bus, ce dernier commence à se déplacer avec une accélération
constante a = 1m/s² . Quelle est la distance minimum entre le piéton et le bus dans l'intervalle de temps
t >0s?
Le piéton pourrait-il rattraper le bus.
EXERCICE 06:
Deux voitures A et B se déplacent sur une ligne droite et dans la même direction avec des vitesses
constantes respectives VA et VB. Quand la voiture A arrive à une distance d derrière B elle commence
à freiner avec une accélération constante a.
Démontrez que pour qu’il y ait collision entre A et B, il est nécessaire que :
daVV BA .2
EXERCICE 07:
Une fusée de recherche pour les hautes altitudes est lancée à la verticale. Pendant que le combustible
brûle, la fusée garde une accélération constante de 392 m/s2 vers le haut. lorsque tous le combustible
est épuisé, la fusée est soumise à une accélération de 9,8 m/s2 dirigée vers le bas. Le combustible brûle
en 10 s.
1. Donnez les vecteurs vitesse et accélération au cours des différentes phases du mouvement.
2. Tracez les courbes d’accélérations et de vitesse en fonction du temps.
3. Quand la fusée atteint-elle son altitude maximum ? Quelle est cette altitude.
4. Comparez les temps de montée et de descente de la fusée.
EXERCICE 08:
Un train se déplace sur une trajectoire rectiligne il commence son mouvement avec une accélération
constante a1 en démarrant à partir d’une vitesse initiale nulle, pour atteindre une vitesse de V = 270
Km/h puis il continu son mouvement avec cette vitesse pendant un temps t2. Enfin, il freine son
mouvement avec une accélération constante a3 = – a1 pour s’arrêter après avoir parcouru une distance
totale X = 3 km (durant les trois phases du mouvement).
1. Quel doit être l’accélération du train pour que les trois étapes aient la même durée (t1 = t2 = t3) ?
2. Quel est la distance parcourue à chaque étape.
3. Ecrivez les équations horaires du mouvement pour les trois phases du mouvement en considérant
l’origine des temps et des espaces le point de départ du train.
EXERCICE 09:
Un cycliste roulant à vitesse constante V > 0 sur une route en ligne droite observe, à un instant donné,
une voiture distante de d qui démarre devant lui avec une accélération constante a > 0.
1. Ecrire l’équation horaire du cycliste et de la voiture; donner la nature de chacun des
mouvements (on prend comme origine des temps t = 0 l’instant où la voiture démarre, et
comme origine des espaces la position du cycliste à cet instant).
2. Si a et V sont fixées, montrez que le cycliste rattrape la voiture seulement si :
a
V
d.2
2
3. Déterminer le temps t1 de la course poursuite (le temps où le cycliste rattrape la voiture) en
fonction de a, V, et d.
4. Tracer les diagrammes des espaces du cycliste et de la voiture (sur le même graphe). Discuter
graphiquement les divers scénarios de la course poursuite.
5. A.N. Calculer les temps de croisement pour d = 10m, a = 2m/s2 , V = 36 km/h.

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EXERCICE 10:
Un mobile A est astreint à se déplacer sur une droite dirigée avec une vitesse VA = +5 m/s . Un autre
mobile B se trouvant avant A et séparé de celui-ci par une distance de 5 m se déplace d’abord dans le
sens de A, parcours une distance de 20 m , puis revient en arrière.
Si nous considérons que le mouvement du mobile B est uniformément accéléré ( a = Cte < 0 ) et sa
vitesse initiale (V0 > 0), alors :
1. Ecrivez les équations horaires des deux mobiles.
2. Trouvez la valeur de V0 pour que A et B ne puissent se croiser qu’une seule fois dans le domaine
t  [0 , +∞ [.
3. Pour cette valeur de V0 , à quelle instant les deux mobiles ont-ils la même position ? quelle est la
distance parcourue par le mobile A à cet instant ?
EXERCICE 11:
La relation entre l’accélération et la position d’un mobile se déplaçant sur une droite est donnée par
l’équation différentielle suivante : a(t) = – 2.x(t)
x en mètre et a en m/s2.
1. Montrez que l’équation horaire du type x(t) = x0.sin(t+) est une solution de l’équation
différentielle précédente, en déduire la pulsation , la période T, et la fréquence .
2. On donne à t = 0s ; x(0) = 0 m ; V(0) = /10. En déduire x0 et .
3. Pour 0 ≤ t ≤ T : Trouvez les domaines où le mouvement est accéléré, et les domaines où le
mouvement est freiné.
EXERCICE 12 :
La vitesse d’un point matériel se déplaçant sur une droite dirigée est donnée par l’équation suivante :
V(t) = 5π cos π(t + ½)
V est calculée en (m/s) et t en secondes (s).
1. Trouvez l’équation du mouvement x(t) du point matériel sachant qu’à t = 0s ; x(0) = 5m.
2. Donnez l’amplitude du mouvement (x0), la période (T), la fréquence (υ), et la phase initiale () du
mouvement.
3. Calculez l’accélération a(t) du mobile à un instant t donné.
4. Pour 0 ≤ t ≤ T
 A quels moments la vitesse est nulle ?
 A quels moments l’accélération est nulle ?
 Dans quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ou décéléré ?
EXERCICE 13:
Si le mouvement de l’aiguille d’une machine à coudre est pratiquement sinusoïdale, d’amplitude
0,4cm et de fréquence 500 vibrations par minute, quel seront les vecteurs positions, vitesse et
accélération un trentième de seconde après que l’aiguille soit passée par le centre de la trajectoire :
1. Vers le haut ?
2. Vers le bas ?
EXERCICE 14 :
Un mobile animé d’une vitesse initiale
0 = V0 x constante, pénètre dans un milieu résistant dans
lequel il est soumis à une accélération = ─ k.V2
x ; k est une constante et V est la vitesse
instantanée.
1. En prenant pour origine des temps et des espaces le moment où le mobile pénètre dans le milieu,
vérifier que la loi donnant V(t) est:
tVk
V
tV ..1 0
0
.
2. En déduire l’équation horaire du mouvement.

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3. Montrer qu’après un parcours x, la vitesse est
xk
eVV .
0.
.
EXERCICE 15:
Une particule se déplace sur un axe orienté suivant la loi : x(t) = t3 – 3.t2 – 9.t + 5.
1. Pendant quels intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x positifs ? Pendant quels
intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x négatifs ?
2. Pendants quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ? Pendants quels intervalles de
temps le mouvement est-il retardé ?
3. Représentez la position x , la vitesse V, et l’accélération a en fonction du temps ?
Mouvement plan
EXERCICE 16:
Une balle de tennis percute un mur perpendiculairement à sa surface et se réfléchit dans le sens opposé
avec la même vitesse, tel que t est le temps du choc.
1. Donnez l'expression de l'accélération moyenne entre les deux états
AN : v = 20 m/s ; t = 0,01s
2. Même question avec un angle d'incidence i = 60° ; 30° et 90° (l’angle de réflexion r = i)
3. Comparez.
Remarque : on ne prend pas en considération l’interaction gravitationnelle.
EXERCICE 17:
Calculez la vitesse angulaire et linéaire, et l'accélération normale du mouvement de la lune autour de la
terre - qui est considéré comme circulaire uniforme -, sachant que la période de rotation est de 29 jours
et sa distance du centre de la terre est R= 384000 km.
 Même question pour le système terre-soleil R =1,49 1011 m T = 365,25 jours .
 Même question pour la rotation du soleil autour du centre de masse de la voie lactée
R=2,4 1020 m T=6,3 1015 sec .
O
X
’
X
M
B
Patin
+
EXERCICE 18:
Une manivelle OM, articulée en M à une tige rigide MB, tourne
avec une vitesse angulaire constante autours d’un axe fixe
passant par O (figure ci-contre).
La tige MB set reliée par une articulation en B à un patin
astreint à se déplacer la direction (X’OX). Les tiges OM et MB
peuvent se croiser et le patin peut passer derrière l’articulation
O.
On donne OM = MB = L0 = 1 m. A l’instant initial, le patin se
trouve en O et se dirige vers les X positifs avec une vitesse
v(0) = v0 = 2 m/s.
1. Déterminez l’équation horaire du patin B. Précisez son
amplitude A, sa phase initiale 0, et sa pulsation .
2. Dans quels intervalles de temps de [/6 , 5/6]s , le
mouvement du patin est-il accéléré ou décéléré ?

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EXERCICE 19:
Dans le plan (XOY)
Un point A se déplace sur l’axe (OY) suivant l’équation horaire y = a sin(t)
Un point B se déplace sur l’axe (OX) suivant l’équation horaire x = a cos(t)
a et  sont des constantes positives.
1. Calculez les composantes et le module du vecteur
AB
.
2. Vérifiez que le point M de coordonnées ( ½ a cos(t) , ½ a sin(t) ) est le milieu du segment [AB].
3. Quelle est la trajectoire décrite par le point M.
4. Déterminez le vecteur vitesse et son module dans le système de coordonnées cartésiennes.
5. Déterminez le vecteur accélération
a
et son module dans le système de coordonnées cartésiennes.
6. Donnez l’expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération
a
dans le système de
coordonnées polaires
eer
 ,
.
7. En déduire l’expression du vecteur unitaire
e
tangent à cette courbe.
Calculez, en fonction du temps, l’abscisse curviligne du point M.
EXERCICE 20:
Les coordonnées cartésiennes d’une particule sont données en fonction du temps par :
x = 75.t ; y = –5 t2 + 200
Trouvez l’équation de la trajectoire et tracez-la dans le plan (xoy).
Trouvez les expression de la vitesse et de l’accélération et leurs valeurs à t = 1s.
Quand la vitesse est-elle minimum, quelle est la position du mobile à cet instant ?
Trouvez les coordonnées du mobile quand la vitesse est de 90 m/s.
Calculez l’accélération normale et tangentielle à t = 3s. Dessinez le vecteur accélération à cet instant.
EXERCICE 21 :
Le mouvement curviligne d’un mobile est décrit par les équations paramétriques suivantes :
102 ttr
et
tt 2
t en secondes ; r en mètre et ; en radians
1. Représentez la trajectoire du mouvement, dans le repère (OXY). Echelle : 1cm → 2m.
2. Trouvez Tmax le temps total du mouvement.
3. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V (t) du vecteur vitesse en fonction de t.
4. Représentez le vecteur accélération à l’instant t = 3 s. Echelle : 1cm → 2 m/s2
5. Calculez la composante tangentielle aT et la composante normale aN du vecteur accélération à t
= 3 s.
6. En déduire le rayon de courbure à t = 3 s.
EXERCICE 22:
Le mouvement décrit par la trajectoire de la figure 1. est
appelé cardioïde il est donnée par l’équation suivante :
cos.RRr 
Où R est une constante positive.
Dans ce problème, nous poserons
tt .
Où est une constante positive.
1. Donnez les équations horaires du mouvement en coordonnées polaires r(t) et (t).
2. Donnez les coordonnées polaires et r des point O , A et B représentés sur la trajectoire, et
calculez leurs temps 0 ≤ t ≤ T ( T = 2 / ).
X
Y
B
A
O
Figure 1.