Série 2 (université de Djelfa)

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Série de TD N° 2
Mouvement rectiligne
EXERCICE 01:
On donne ci-dessous le tableau des valeurs de x(t).
1. Tracez le diagramme des espaces. Echelle (x : 1cm  1m) (t : 1cm  1s).
2. Déterminez la vitesse moyenne pour les intervalles de temps [2s , 10s] et [5s , 7s].
3. Comparez ces valeurs à la vitesse instantanée à t = 6s. Conclusion.
t(s)
x(m)
1
1,5
2
2,8
3
3,6
5
5
6
5,5
7
6
8
6,5
10
7,2
EXERCICE 02:
Vitesse
(km/h)
Une voiture A se trouvant à l'arrêt devant un feux
rouge démarre après le passage au vert du feux, une
autre voiture B arrive avec une vitesse constante tel
que les deux voitures se trouvent au même point
devant le feux rouge à t = 0 temps du passage du
feux du rouge au vert. Le diagramme des vitesses est
donné par la courbe ci-contre.
1. Combien de temps faut-il à la voiture A pour
avoir la même vitesse que la voiture B?
2. A cet instant, quelle est la distance séparant les
deux voitures?
3. A quel instant la voiture A rattrape-t-elle la
voiture B? Quelle est alors la distance parcourue
par les deux voitures?
voiture A
60
40
voiture B
20
0.005
0.010
Temps
(h)
x (m)
EXERCICE 03:
Le schéma ci-contre donne la position d'un mobile
en fonction du temps
1. Quels sont les intervalles de temps où le
mobile se déplace dans le sens positif?
(respectivement négatif ?)
2. Dans quels intervalles le mobile subit-il une
accélération?
3. Donnez la courbe v(t) du mobile.
7
5,
5
0
1
2
2,2
5
t (s)
3
3,25
-2
-3
EXERCICE 04:
Le diagramme des vitesses d’un mobile, animé d’un mouvement
rectiligne, est donné par le diagramme ci-contre. Sachant qu’à
t = 0 s ; v(0) = 0 m/s et x(0) = 0 m.
1.
Dans l’intervalle de temps [0 , 10]secondes, tracez le
diagramme des accélérations du mobile.
2.
Tracez le diagramme des espaces du mobile pour t[0 , 7]s
. Quelle est la position du mobile à t = 10 s ? Evaluez la distance
parcourue par le mobile entre les instants t = 0 s et t = 10 s.
3.
Décrivez le mouvement du mobile dans l’intervalle de
temps [0 , 10]s.
4.
Sur la trajectoire, représentez les vecteurs position, vitesse
et accélération à l’instant t = 8 s ; Pour cela on donne les
échelles de représentation suivantes : (position : 1 cm  1 m)
(vitesse : 1 cm  0,5 m/s) (accélération 1cm  0,5 m/s2).
v(m/s)
3
t(s)
3
6
7
-3
1
10
Série de TD N° 2
EXERCICE 05:
Un piéton se déplace avec une vitesse uniforme de 6m/s pour rattraper un bus à l'arrêt, mais quand il
arrive à une distance de 25 m du bus, ce dernier commence à se déplacer avec une accélération
constante a = 1m/s² . Quelle est la distance minimum entre le piéton et le bus dans l'intervalle de temps
t >0s?
Le piéton pourrait-il rattraper le bus.
EXERCICE 06:
Deux voitures A et B se déplacent sur une ligne droite et dans la même direction avec des vitesses
constantes respectives VA et VB. Quand la voiture A arrive à une distance d derrière B elle commence
à freiner avec une accélération constante a.
Démontrez que pour qu’il y ait collision entre A et B, il est nécessaire que : V A  VB 
2a.d
EXERCICE 07:
Une fusée de recherche pour les hautes altitudes est lancée à la verticale. Pendant que le combustible
brûle, la fusée garde une accélération constante de 392 m/s2 vers le haut. lorsque tous le combustible
est épuisé, la fusée est soumise à une accélération de 9,8 m/s2 dirigée vers le bas. Le combustible brûle
en 10 s.
1. Donnez les vecteurs vitesse et accélération au cours des différentes phases du mouvement.
2. Tracez les courbes d’accélérations et de vitesse en fonction du temps.
3. Quand la fusée atteint-elle son altitude maximum ? Quelle est cette altitude.
4. Comparez les temps de montée et de descente de la fusée.
EXERCICE 08:
Un train se déplace sur une trajectoire rectiligne il commence son mouvement avec une accélération
constante a1 en démarrant à partir d’une vitesse initiale nulle, pour atteindre une vitesse de V = 270
Km/h puis il continu son mouvement avec cette vitesse pendant un temps t2. Enfin, il freine son
mouvement avec une accélération constante a3 = – a1 pour s’arrêter après avoir parcouru une distance
totale X = 3 km (durant les trois phases du mouvement).
1. Quel doit être l’accélération du train pour que les trois étapes aient la même durée (t1 = t2 = t3) ?
2. Quel est la distance parcourue à chaque étape.
3. Ecrivez les équations horaires du mouvement pour les trois phases du mouvement en considérant
l’origine des temps et des espaces le point de départ du train.
EXERCICE 09:
Un cycliste roulant à vitesse constante V > 0 sur une route en ligne droite observe, à un instant donné,
une voiture distante de d qui démarre devant lui avec une accélération constante a > 0.
1. Ecrire l’équation horaire du cycliste et de la voiture; donner la nature de chacun des
mouvements (on prend comme origine des temps t = 0 l’instant où la voiture démarre, et
comme origine des espaces la position du cycliste à cet instant).
2. Si a et V sont fixées, montrez que le cycliste rattrape la voiture seulement si :
V2
d
2.a
3. Déterminer le temps t1 de la course poursuite (le temps où le cycliste rattrape la voiture) en
fonction de a, V, et d.
4. Tracer les diagrammes des espaces du cycliste et de la voiture (sur le même graphe). Discuter
graphiquement les divers scénarios de la course poursuite.
5. A.N. Calculer les temps de croisement pour d = 10m, a = 2m/s2 , V = 36 km/h.
2
Série de TD N° 2
EXERCICE 10:
Un mobile A est astreint à se déplacer sur une droite dirigée avec une vitesse VA = +5 m/s . Un autre
mobile B se trouvant avant A et séparé de celui-ci par une distance de 5 m se déplace d’abord dans le
sens de A, parcours une distance de 20 m , puis revient en arrière.
Si nous considérons que le mouvement du mobile B est uniformément accéléré ( a = Cte < 0 ) et sa
vitesse initiale (V0 > 0), alors :
1. Ecrivez les équations horaires des deux mobiles.
2. Trouvez la valeur de V0 pour que A et B ne puissent se croiser qu’une seule fois dans le domaine
t  [0 , +∞ [.
3. Pour cette valeur de V0 , à quelle instant les deux mobiles ont-ils la même position ? quelle est la
distance parcourue par le mobile A à cet instant ?
EXERCICE 11:
La relation entre l’accélération et la position d’un mobile se déplaçant sur une droite est donnée par
l’équation différentielle suivante :
a(t) = – 2.x(t)
2
x en mètre et a en m/s .
1. Montrez que l’équation horaire du type x(t) = x0.sin(t+) est une solution de l’équation
différentielle précédente, en déduire la pulsation , la période T, et la fréquence .
2. On donne à t = 0s ; x(0) = 0 m ; V(0) = /10. En déduire x0 et .
3. Pour 0 ≤ t ≤ T : Trouvez les domaines où le mouvement est accéléré, et les domaines où le
mouvement est freiné.
EXERCICE 12 :
La vitesse d’un point matériel se déplaçant sur une droite dirigée est donnée par l’équation suivante :
V(t) = 5π cos π(t + ½)
V est calculée en (m/s) et t en secondes (s).
1. Trouvez l’équation du mouvement x(t) du point matériel sachant qu’à t = 0s ; x(0) = 5m.
2. Donnez l’amplitude du mouvement (x0), la période (T), la fréquence (υ), et la phase initiale () du
mouvement.
3. Calculez l’accélération a(t) du mobile à un instant t donné.
4. Pour 0 ≤ t ≤ T
 A quels moments la vitesse est nulle ?
 A quels moments l’accélération est nulle ?
 Dans quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ou décéléré ?
EXERCICE 13:
Si le mouvement de l’aiguille d’une machine à coudre est pratiquement sinusoïdale, d’amplitude
0,4cm et de fréquence 500 vibrations par minute, quel seront les vecteurs positions, vitesse et
accélération un trentième de seconde après que l’aiguille soit passée par le centre de la trajectoire :
1. Vers le haut ?
2. Vers le bas ?
EXERCICE 14 :
Un mobile animé d’une vitesse initiale 0 = V0 x constante, pénètre dans un milieu résistant dans
lequel il est soumis à une accélération  = ─ k.V2 x ; k est une constante et V est la vitesse
instantanée.
1. En prenant pour origine des temps et des espaces le moment où le mobile pénètre dans le milieu,
vérifier que la loi donnant V(t) est:
V t  
V0
.
1  k .V0 .t
2. En déduire l’équation horaire du mouvement.
3
Série de TD N° 2
3. Montrer qu’après un parcours x, la vitesse est
V  V0 .e  k . x .
EXERCICE 15:
Une particule se déplace sur un axe orienté suivant la loi : x(t) = t3 – 3.t2 – 9.t + 5.
1. Pendant quels intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x positifs ? Pendant quels
intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x négatifs ?
2. Pendants quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ? Pendants quels intervalles de
temps le mouvement est-il retardé ?
3. Représentez la position x , la vitesse V, et l’accélération a en fonction du temps ?
Mouvement plan
EXERCICE 16:
Une balle de tennis percute un mur perpendiculairement à sa surface et se réfléchit dans le sens opposé
avec la même vitesse, tel que t est le temps du choc.
1. Donnez l'expression de l'accélération moyenne entre les deux états
AN : v = 20 m/s ; t = 0,01s
2. Même question avec un angle d'incidence i = 60° ; 30° et 90° (l’angle de réflexion r = i)
3. Comparez.
Remarque : on ne prend pas en considération l’interaction gravitationnelle.
EXERCICE 17:
Calculez la vitesse angulaire et linéaire, et l'accélération normale du mouvement de la lune autour de la
terre - qui est considéré comme circulaire uniforme -, sachant que la période de rotation est de 29 jours
et sa distance du centre de la terre est R= 384000 km.
 Même question pour le système terre-soleil R =1,49 1011 m T = 365,25 jours .
 Même question pour la rotation du soleil autour du centre de masse de la voie lactée
R=2,4 1020 m
T=6,3 1015 sec .
EXERCICE 18:
Une manivelle OM, articulée en M à une tige rigide MB, tourne
avec une vitesse angulaire constante autours d’un axe fixe
passant par O (figure ci-contre).
La tige MB set reliée par une articulation en B à un patin
astreint à se déplacer la direction (X’OX). Les tiges OM et MB
peuvent se croiser et le patin peut passer derrière l’articulation
O.
On donne OM = MB = L0 = 1 m. A l’instant initial, le patin se
trouve en O et se dirige vers les X positifs avec une vitesse
v(0) = v0 = 2 m/s.
1.
Déterminez l’équation horaire du patin B. Précisez son
amplitude A, sa phase initiale 0, et sa pulsation .
2.
Dans quels intervalles de temps de [/6 , 5/6]s , le
mouvement du patin est-il accéléré ou décéléré ?
+
M

X
’
B
Patin
O
4
X
Série de TD N° 2
EXERCICE 19:
Dans le plan (XOY)
Un point A se déplace sur l’axe (OY) suivant l’équation horaire
Un point B se déplace sur l’axe (OX) suivant l’équation horaire
a et  sont des constantes positives.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y = a sin(t)
x = a cos(t)
Calculez les composantes et le module du vecteur AB .
Vérifiez que le point M de coordonnées ( ½ a cos(t) , ½ a sin(t) ) est le milieu du segment [AB].
Quelle est la trajectoire décrite par le point M.
Déterminez le vecteur vitesse  et son module dans le système de coordonnées cartésiennes.

Déterminez le vecteur accélération a et son module dans le système de coordonnées cartésiennes.

Donnez l’expression du vecteur vitesse  et du vecteur accélération a dans le système de
coordonnées polaires
er , e  .

7. En déduire l’expression du vecteur unitaire e tangent à cette courbe.
Calculez, en fonction du temps, l’abscisse curviligne du point M.
EXERCICE 20:
Les coordonnées cartésiennes d’une particule sont données en fonction du temps par :
x = 75.t
; y = –5 t2 + 200
Trouvez l’équation de la trajectoire et tracez-la dans le plan (xoy).
Trouvez les expression de la vitesse et de l’accélération et leurs valeurs à t = 1s.
Quand la vitesse est-elle minimum, quelle est la position du mobile à cet instant ?
Trouvez les coordonnées du mobile quand la vitesse est de 90 m/s.
Calculez l’accélération normale et tangentielle à t = 3s. Dessinez le vecteur accélération à cet instant.
EXERCICE 21 :
Le mouvement curviligne d’un mobile est décrit par les équations paramétriques suivantes :
r t   2t  10
et
 t  

2
t
t en secondes ; r en mètre et ;  en radians
1. Représentez la trajectoire du mouvement, dans le repère (OXY). Echelle : 1cm → 2m.
2. Trouvez Tmax le temps total du mouvement.
3. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse en fonction de t.
4. Représentez le vecteur accélération à l’instant t = 3 s. Echelle : 1cm → 2 m/s2
5. Calculez la composante tangentielle aT et la composante normale aN du vecteur accélération à
= 3 s.
6. En déduire le rayon de courbure  à t = 3 s.
t
Y
EXERCICE 22:
Le mouvement décrit par la trajectoire de la figure 1. est
appelé cardioïde il est donnée par l’équation suivante :
A
r    R  R.cos 
Où R est une constante positive.
Dans ce problème, nous poserons
Où  est une constante positive.
 t   .t
B
O
X
Figure 1.
1. Donnez les équations horaires du mouvement en coordonnées polaires r(t) et (t).
2. Donnez les coordonnées polaires  et r des point O , A et B représentés sur la trajectoire, et
calculez leurs temps 0 ≤ t ≤ T ( T = 2/).
5
Série de TD N° 2
3. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse (coordonnées
polaires) en fonction de t.
 
V t   2 R. sin  t 
2 
4. En déduire que le module de la vitesse est donné par :
5.
6.
7.
8.
( On utilise 1 – cos() = 2.sin2(/2) )
Calculez les composantes radiale ar(t) et transversale a(t) du vecteur accélération (coordonnées
polaires) en fonction de t.
Calculez la composante tangentielle aT du vecteur accélération en fonction de t.
Calculez les valeurs de V , a , aT , aN ( accélération normale ), pour t = / et pour t = 2/
En déduire le rayon de courbure  à t = /.
EXERCICE 23:
Un mobile M est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et  (t) dont les variations en fonction du
temps sont données par les graphes ci-dessous :
 (rad)
r(m)
5
4
/2
/4
2
0
2
4
t(s)
6
2
0
4
6
t(s)
1. Trouvez les équations paramétriques r(t) et (t) du mouvement.
2. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse en fonction de t.
3. Calculez les composantes radiale ar(t) et transversale a(t) du vecteur accélération à l’instant
t
= 4s.
4. Calculez la composante tangentielle aT et la composante normale aN du vecteur accélération à t
= 4 s.
5. En déduire le rayon de courbure  à t = 4 s.
EXERCICE 24:
Un mobile M est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et  (t) dont les variations en fonction du
temps sont données par les graphes ci-dessous :
1. Tracez la trajectoire du mobile.
2. Quelles sont les différentes phases du mouvement entre t = 0s et t = 6s ? Et quelle est la nature
de chacune d’elles ?
 (rad)
r(m)
5
4
3
2
1
/2
/4
0
2
4
6
t(s)
0
2
4
6
t(s)
3. Tracez les diagrammes des composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse du
mobile en fonction du temps.
4. Représentez, sur la trajectoire, les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 1s et t = 4s.
6
Série de TD N° 2
EXERCICE 25:
Donnez l'expression de la position la vitesse et l'accélération dans le système de coordonnées
cartésiennes d'un mobile qui décrit un mouvement circulaire quelconque = (t)
Que deviennent ces expressions quand =  .t où  = constante (mouvement circulaire uniforme).
EXERCICE 26:
Le mouvement d’un point M dans le plan (XOY) est défini par :
x(t) = a cos(ω t) et y(t) = b sin(ω t) ( b > a > 0 ).
1. Trouvez l’équation de la trajectoire et représentez-la dans un repère orthonormé.
2. Déterminez les accélérations tangentielle aT et normale aN et le rayon de courbure (t) de la
trajectoire.
EXERCICE 27:
Un mobile M, assimilé à un point matériel, se déplace dans le plan (OXY). Les composantes de la
vitesse Vx(t) et Vy(t) sont représentées sur les figures ci-dessous avec les conditions initiales x(0) =
Vx(m/s)
Vy(m/s)
3
3
2
2
1
1
0
10
t(s)
20
0
10
20
t(s)
y(0) = 0 m.
1. Dessiner la trajectoire suivie par le mobile entre t = 0s et t = 20s . Echelle : 1cm → 2,5m.
2. Quelle est la distance parcourue par le mobile entre t = 10s et t = 20s.
3. Représentez les graphes des composantes de l’accélération ax(t) et ay(t) en précisant l’échelle
utilisée.
4. Sur la trajectoire, représentez les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 5s et t = 20s.
Echelle : 1cm → 1m/s et 1cm → 0,1m/s2.
EXERCICE 28:
Nous lançons une masse ponctuelle m d’une hauteur h avec une
vitesse initiale V0 horizontale, comme le montre la figure ci-contre.
La masse m ne subit que l’attraction terrestre ( accélération de
pesanteur notée g ) et nous négligeons les frottements avec l’air.
1. Ecrire les équations horaires du mouvement suivant les axes OX et
OY (de la figure).
2. Donner l’équation de la trajectoire.
O

V
g. cos  
Y

Nous notons l’angle entre l’axe OY et le vecteur vitesse 
(  = angle( ,y ) )
3. Montrer que le rayon de courbure de la trajectoire en tout point est
donnée par :
2
0
3
0


X
7
Série de TD N° 2
EXERCICE 29 :
I. Soit un mobile se déplaçant sur un axe OX suivant la loi horaire :
xA(t) = R cos(.t +φ ) ; R = 0,5 m
le mouvement est sinusoïdal d’amplitude R, de pulsation ω et de phase  = .t +φ.
on suppose qu’à t = 0s , xA = R et qu’à t = π/2 s , la vitesse vA = –π/2 m/s.
1. Calculez la phase à l’origine des temps φ et la pulsation . En déduire la période T et la fréquence
ν. Expliquez brièvement à quoi correspond T et ν.
2. Etablir une relation entre xA(t) et l’accélération aA(t).
3. Représentez qualitativement sur une période T les graphes xA(t) , vA(t) et aA(t).
II. Soit un deuxième mobile M, astreint à se déplacer sur une trajectoire
circulaire de centre O et de rayon R (voir figure ci-contre). Sa vitesse
angulaire est d/dt = . On suppose qu’à t = 0 s ,  = 0 rad.
1. Ecrire dans le repère (XOY) les coordonnées xM(t) et yM(t). Précisez
la nature du mouvement.
2. Comment à partir du mouvement de M, peut-on définir le
mouvement de A ?
3. Représentez à t = 0,75 s les vecteurs position, vitesse et accélération.
Y
+
M
yM

O
xM
X
EXERCICE 30 :
Le mouvement curviligne d’un mobile est décrit par les équations paramétriques suivantes :
r t  
t
2
et
 t  

4
t2
t en secondes ; r en mètre et ;  en radians
1. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse.
2. Déterminez l’expression du module de la vitesse V = │ │à un instant t quelconque.
3. Calculez aT , le module de la composante tangentielle du vecteur accélération à t = 1s.
4. Déterminez les composantes radiale ar(t) et transversale a(t) du vecteur accélération en
fonction de t, puis calculez ces valeurs à t = 1s.
5. En déduire le rayon de courbure  à t = 1s.
EXERCICE 31 :
La position d’un mobile dans le plan est donnée par les coordonnées cartésiennes :
x(t) = (1+2t) cos(2t)
y(t) = (1+2t) sin(2t)
x et y sont calculés en mètre (m) et t en secondes (s)
1. Trouvez les composantes des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes.
2. Trouvez les expressions des vecteurs vitesse et accélération du mobile en coordonnées polaire
(r, θ).
3. Déterminez l’accélération tangentielle (aT) et normale (aN), ainsi que rayon de courbure (R) à
t =1s.
EXERCICE 32:
Un point est animé d’un mouvement circulaire retardé (aT < 0) tel qu’à tout instant les normes des
composantes tangentielle et normale sont égales ( │aT│= │aN│). Sa vitesse initiale étant V0.
1. Calculez l’expression du module de la vitesse V(t)en fonction du temps.
2. En déduire l’expression de l’abscisse curviligne s(t) et le module du vecteur accélération a(t).
8
Série de TD N° 2
Mouvement dans l’espace
EXERCICE 33:
Les coordonnées cartésiennes d’une particule sont données en fonction du temps par :
x=t
; y = ( t + 1 )2 ; z = 0,1.sin[(/2).t]
Décrivez la trajectoire du mouvement.
Trouvez les expressions des vecteurs position, vitesse et accélération et leurs valeurs à t = 0s, 1s, et 2s.
EXERCICE 34:
Les coordonnée sphériques d’un mobile se déplaçant sur une sphère de rayon R, centrée en O, sont
  t   .t

 t   12..t
données par les lois horaires suivantes
On donne R = 5 cm et  = /3 rad/s.
1.
Décrivez la trajectoire du mobile.
2.
Quelle est la position du mobile en coordonnées cartésiennes à t = 1s ?
3.
Quel est le temps nécessaire au mobile pour qu’il puisse arriver au point le plus bas de la
sphère
(z = – R) ?
Calculez la vitesse du mobile à t = 2s.
EXERCICE 35:
L'équation du mouvement en spirale ( hélicoïdal ) est donné par (x = a cos ; y = a sin ; z = b.) et
= .t. Représentez le mouvement dans un repère orthonormé.
Calculez la vitesse et l'accélération dans le système de coordonnés cylindriques. quel est la nature du
mouvement quand b = 0; ou quand a = 0.
Mouvement relatif
EXERCICE 36:
Un conducteur de voiture se déplace avec une vitesse v = 80 km/h sous la pluie et observe la trajectoire
des gouttes sur la vitre latérale, cette trajectoire est une droite qui fait un angle 30° avec la normale; A
l'arrêt la trajectoire des gouttes est parallèle à la normale.
1. Démontrer que la vitesse des goutte est constante dans le repère fixe?
2. Quelle est la vitesse de la pluie par rapport au conducteur ?
EXERCICE 37:
Deux hommes veulent traverser une rivière de 1km de large, dont la vitesse du courant d'eau est
2 km/h. Le premier homme rame dans une direction perpendiculaire au bord de rivière atteint le point
B, l’autre homme rame de façon à atteindre le point C à l'opposé de A.
si les deux hommes ont une vitesse constante par rapport à l'eau v = 4 km/h
1. Décrivez les deux mouvement AB et AC des deux hommes.
2. Quel est l’homme qui arrive en premier?
3. Pour quelle vitesse de courant les deux hommes ne peuvent-ils pas atteindre la rive opposée?
EXERCICE 38:
Un avion se déplace de G vers A qui se trouve au nord de G puis retourne à G avec une vitesse v par
rapport à l’air. La vitesse des vents est notée v' ≤ v, et la distance GA = L.
 Donnez l’expression du temps nécessaire pour effectuer le trajet aller-retour ta en absence de vents.
 Si les vents sont dans la direction est-ouest, prouvez que le temps tb de l'aller-retour est :
tb 
ta

1  v 2 v 2

 Si les vents sont dans la direction nord-sud, prouvez que le temps tc de l'aller-retour est :
9
Série de TD N° 2
tc 
ta
1  v 2 v 2


 Prouvez que pour v' fixe on a tc plus grand que tb.
 Si v' = v, pourrait-on faire les deux voyages?
EXERCICE 39:
Deux voitures roulant sur deux routes perpendiculaires se déplacent respectivement vers le nord et vers
l’est. Leurs vitesses respectives par rapport au sol sont 60 km/h et 80 km/h.
1. Calculez leurs vitesses relatives l’une par rapport à l’autre en précisant leurs directions.
2. Reprendre le même exercice en supposant que la seconde voiture se déplace vers l’ouest.
EXERCICE 40:
Dans un repère fixe (OXY), les composantes des vecteurs vitesses ( en m/s) de deux mobiles A et B
sont données, respectivement, par les expressions suivantes :
 VAx  t
VA 
VAy  t
 VBx  t
VB 
VBy  t
1. Déterminez les équations horaires du mouvement, sachant qu’à l’instant initial ( t = 0s), les deux
corps occupaient les positions suivantes (en mètre) :

1
OM A t  0 
1

 2
OM B t  0 
0
2. Montrez que les deux mouvements sont rectilignes uniformément accélérés.
3. Montrez que les deux mouvements sont perpendiculaires.
4. On considère le repère (AX’Y’) lié au mobile A et dont les axes sont parallèles aux axes OX et
OY, comme l’indique la figure ci-dessous. Déterminez les expressions des composantes du vecteur
vitesse V’B(t) du corps B dans le nouveau repère.
EXERCICE 41:
Pendant qu'un train se déplace avec une vitesse de 72 km/h un lampadaire se détache de l'arrière d'un
wagon d'une hauteur de 3 m du sol, et tombe avec une accélération de 10 m/s2 dirigée vers le bas.
1. Quelle est la distance parcourue par le train pendant la chute du lampadaire.
2. Où le lampadaire toucherait-il le sol par rapport a la terre?
3. Quelle est sa trajectoire par rapport a la terre et au train.
EXERCICE 42:
Une voiture officielle porte un drapeau sur son aile droite, quelle est la direction du drapeau quand la
voiture est à l'arrêt ;
 En absence de vent
 Avec des vent nord-sud d'une vitesse de 30 km/h
reprendre les même cas, quand la voiture se déplace de l'ouest vers l'est avec une vitesse
v = 60 km/h
EXERCICE 43:
Un parachutiste saute d’un hélicoptère volant horizontalement. Sa vitesse Vp par rapport au sol est
constante. A l’instant t0 pris comme origine des temps, un véhicule se trouve juste en dessous de lui ;
le parachutiste est alors à une altitude h0.
Déterminez le vecteur vitesse, le vecteur accélération ainsi que l’équation de la trajectoire du
parachutiste par rapport au véhicule dans les cas suivants :
Le véhicule se déplace suivant une droite, à vitesse constante Vm.
Le véhicule se déplace suivant une droite, à accélération constante a.
A.N : Vp = 3,6 km/h, Vm = 36 km/h, a = 2 m/s2, h0 = 100 m.
10
Série de TD N° 2
EXERCICE 44:
Un cylindre de rayon R roule sans glisser sur un plan horizontal comme le montre la figure ci-dessous.
Le repère (OXY) est le repère lié au sol (considéré comme fixe), le repère (O’X’Y’) est le repère lié au
cylindre (mobile) d’origine O’ (axe du cylindre) et dont les axes X’ et Y’ sont parallèles
respectivement aux axes X et Y.
Y’
Y
M
X’
 R
y
O
O’
x
X
1. Trouvez les coordonnées x’ et y’ dans le repère (O’X’Y’) d’un point matériel M situé sur la
périphérie du cylindre en fonction de l’angle de rotation (t) et de R . On donne à t = 0 (0) = 0
(extrémité inférieure du cylindre).
2. Exprimez la relation entre les coordonnées (x,y) du repère fixe et les coordonnées (x’,y’) du repère
mobile, en fonction de R et de .
3. En déduire les coordonnées x et y dans le repère (OXY) du point matériel M.
4. Calculez dans le repère (OXY),en fonction de (t) et de  (t) les composantes Vx et Vy de la vitesse
du point M.
5. Que deviennent ces composantes aux points où M touche le plan horizontal.
Remarque :
 (t) = d / dt
EXERCICE 45:
Une voiture décapotable est garée en bas d’un immeuble, moteur tournant. Le conducteur levant la tête
en l’air, voit un pot de fleur se décrocher sans vitesse initiale du balcon au quatrième étage à une
hauteur de 20 m juste au dessus de lui, alors il démarre instantanément avec une accélération de 2 m/s2.
1. Où se trouve le conducteur quand le pot de fleur touche le sol ?
2. Trouvez l’accélération du pot de fleur dans le repère du conducteur.
3. Décrivez le mouvement du pot de fleur par rapport au conducteur.
EXERCICE 44:
1.
Deux trains se déplacent sur le même rail dans des sens opposés et avec des vitesses
respectives de 130 km/h et de 100km/h par rapport au sol. A une distance de 3 km, les deux
conducteurs se rendent compte de l’erreur et commencent à freiner avec la même accélération 1m/s² ,
les deux trains vont ils se percuter ?
2.
Un autre conducteur de train ayant une vitesse V1 observe, devant lui, un train qui de déplace
avec une vitesse V2 dans le même sens. Alors, à t = 0 s , il commence à freiner avec une accélération
constante a , et la distance entre les deux trains à cet instant est notée d . quelle doit être la condition
pour éviter la collision.
EXERCICE 44:
Un radar situé en un point A observe la trajectoire d’un projectile et nous donne les conditions
suivantes :
Quand le projectile est arrivé à sa plus grande altitude ( point B )il possédait une vitesse horizontale
notée V orientée vers le radar, la distance AB est notée L, et l’angle que fait l’axe (AB) avec
l’horizontale est noté .
11
Série de TD N° 2
Trouvez la distance D = AC entre le radar et le point de chute C du projectile en fonction de V , L et .
(on considère que le radar se trouve dans le plan du mouvement et que la topographie du lieu est
parfaitement plane)
Le projectile passe-il au dessus du radar ou tombe-t-il avant de l’avoir atteint ?
EXERCICE 44:
Galilée avait affirmé que la portée des projectiles était la même si on diminuait ou si on augmentait
l’angle de projection par rapport à 45° de la même valeur. Démontrez cette propriété.
EXERCICE 44:
On donne l’expression du vecteur position d’un point matériel par :







OM t   r t   4.e  .t e x  2 1  e 2 .t e y
Trouvez l’équation de la trajectoire du mobile.
Trouvez les expression des vecteurs vitesses  et accélération  ainsi que les modules V(t) et a(t).
Donnez les expressions des équations horaires du mouvement en coordonnées polaires r(t) et (t).
En déduire les composantes des vecteurs unitaires (r,) dans la base (x,y) .
Calculez les composantes radiales et transversales des vecteurs vitesse et accélération (Vr , V) et
(ar , a).
6. Calculez les accélérations normale aN et tangentielle aT en fonction de t.
7. En déduire le rayon de courbure (t) de la trajectoire.
1.
2.
3.
4.
5.

  

Mêmes questions pour : OM t   r t   t e x  t  2.t e y
2
2
12
Série de TD N° 2
EXERCICE 26:
Le mouvement d’un point M dans l’espace est défini par :
x(t) = b cos(t²) , y(t) = b sin(t²) , z(t) = t².
1. Calculez les vecteurs vitesse  et accélération  en fonction de t.
2. Déterminez les accélérations tangentielle aT et normale aN en fonction de t.
3. En déduire le rayon de courbure (t) de la trajectoire.
EXERCICE 01:
Une mouche M se déplace avec une vitesse V0 constante sur l’aiguille des secondes d’une horloge
murale. Initialement la mouche se trouvait au centre O de l’horloge, après une (01) minute la mouche
arrive au bout de l’aiguille dont la longueur est de 20 cm.
1. Donnez les coordonnées polaires r(t) et (t) du mouvement de la mouche.
2. Calculez l’expression du vecteur vitesse (t) en coordonnées polaires.
3. Calculez l’expression du vecteur accélérations (t)en coordonnées polaires.
4. Représentez le vecteur vitesse et accélération à t = 30 s.
5. Calculez l’accélération tangentielle aT à t = 30 s.
6. Calculez l’accélération normale aN à t = 30 s.
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