SESSION DE PERFECTIONNEMENT Mars 2004 Préparé par Daniel Taillon enseignant, Centre Clément Probabilités II MAT-5103 TABLE DES MATIÈRES A) Probabilité d’un événement ..................................................................................... 3 Arbre de probabilités Exemple 1 ................................................................................................................... 3 Exemple 2 ................................................................................................................... 6 Exercice 1 ................................................................................................................... 8 Exercice 2 ................................................................................................................... 9 B) Chances de réalisation ............................................................................................ 10 Définition .................................................................................................................. 10 Exemple .................................................................................................................... 10 Exercices 3 et 4 ......................................................................................................... 12 C) Espérance mathématique....................................................................................... 13 Définition .................................................................................................................. 13 Exemple .................................................................................................................... 14 Exercices 5 et 6 ......................................................................................................... 15 Exercices 7, 8 et 9 ..................................................................................................... 16 D) Probabilités conditionnelles ................................................................................... 17 Définition .................................................................................................................. 17 Tableau à double entrée Exemple .................................................................................................................... 18 Exercices 10 et 11 ..................................................................................................... 19 Arbre de probabilités Exemple .................................................................................................................... 20 Exercice 12 ............................................................................................................... 21 E) Probabilités géométriques...................................................................................... 22 Exemple 1 ................................................................................................................. 22 Exemple 2 ................................................................................................................. 23 Exercice 13 ............................................................................................................... 24 Exercice 14 ............................................................................................................... 25 2 Probabilités II MAT-5103 A) Probabilité d’un événement Arbre de probabilités Exemple 1 : Dans un jeu de cartes, on ne garde que les cartes de couleur rouge. Parmi celles-ci on effectue deux tirages successifs avec remise. Soit les événements suivants ; F : obtenir une figure, N : obtenir une carte numérotée, incluant l’as L’arbre de probabilités suivant traduit cette situation : 6 (F), 26 P(F,F) = 6 6 9 x = 26 26 169 20 (N), 26 P(F,N) = 6 20 30 x = 26 26 169 6 (F), 26 P(N,F) = 30 20 6 x = 169 26 26 20 (N), 26 P(N,N) = 20 20 100 x = 26 26 169 6 (F) 26 20 (N) 26 L’arbre de probabilités simplifie le diagramme en arbre et tient compte de deux facteurs : 1) si les évènements sont équiprobables ou non 2) si, d’une étape à l’autre, les événements sont indépendants ou non Il faut indiquer sur les branches, à chaque étape, les choix ainsi que la probabilité de l’événement. Référence : Les probabilités, module 5, GRAFICOR, page 1.15 3 Probabilités II MAT-5103 Déterminer parmi ces énoncés, ceux qui sont vrais ou faux. 69 169 a) la probabilité de tirer au moins une figure est de b) la probabilité de tirer une figure est égale à la probabilité de tirer une carte numérotée. c) la probabilité de tirer au moins une carte numérotée est de d) la probabilité de tirer deux figures est égale à la probabilité de tirer deux cartes numérotées. 130 . 169 4 Probabilités II MAT-5103 Solution : a) P(au moins une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F) = 9 30 30 69 + + = 169 169 169 169 Ou P(au moins une figure) = 1 - P(aucune figure) = 1 - P(N,N) = 1 - 100 69 = 169 169 Donc c’est Vrai. 30 30 60 + = 169 169 169 30 30 60 P(une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) = + = 169 169 169 Donc c’est Vrai. b) P(une figure) = P(F,N) + P(N,F) = c) P(au moins une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N) 30 30 100 160 P(au moins une carte numérotée) = + + = 169 169 169 169 Donc c’est Faux. d) P(F,F) = 9 169 Donc c’est Faux. et P(N,N) = 100 169 5 Probabilités II MAT-5103 Arbre de probabilités Exemple 2 : Dans un jeu de cartes, on ne garde que les cartes de couleur rouge. Parmi celles-ci, on effectue deux tirages successifs sans remise. Soit les événements suivants ; F : obtenir une figure, N : obtenir une carte numérotée, incluant l’as L’arbre de probabilités suivant traduit cette situation : (F), P(F,F) = 6 x 26 = P(F,N) = 6 x 26 = 20 x 26 = 20 x 26 = 6 (F) 26 (N), (F), 20 (N) 26 (N), P(N,F) = P(N,N) = 65 65 65 65 Compléter l’arbre de probabilités et déterminer parmi ces énoncés, ceux qui sont vrais ou faux. 24 . 65 a) la probabilité de tirer au moins une carte numérotée est de b) la probabilité de tirer au plus une figure est égale à la probabilité de tirer au plus une carte numérotée. c) la probabilité de tirer au moins une figure est de d) la probabilité de tirer aucune figure est égale à la probabilité tirer aucune carte numérotée. 27 . 65 6 Probabilités II MAT-5103 Solution : 6 (F) 26 20 (N) 26 a) b) 5 (F), 25 P(F,F) = 3 6 x 5 = 26 65 25 20 (N), 25 P(F,N) = 12 6 20 x = 26 25 65 6 (F), 25 P(N,F) = 6 12 20 x = 26 25 65 19 (N), 25 P(N,N) = 19 38 20 x = 26 25 65 P(au moins une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N) 62 12 12 38 P(au moins une carte numérotée) = + + = 65 65 65 65 Ou P(au moins une carte numérotée) = 1- P(aucune carte numérotée) 62 3 P(au moins une carte numérotée) = 1 - P(F,F) = 1 = 65 65 Donc c’est Faux. 62 12 12 38 + + = 65 65 65 65 P(au plus une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F) 12 12 3 27 P(au plus une carte numérotée) = + + = 65 65 65 65 Donc c’est Faux. P(au plus une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N) = c) P(au moins une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F) 12 12 3 27 P(au moins une figure) = + + = 65 65 65 65 Donc c’est Vrai. d) P(aucune figure) = P(N,N) = 38 65 P(aucune carte numérotée) = P(F,F) = 3 65 Donc c’est Faux. 7 Probabilités II MAT-5103 1. Un cabinet d’avocats est composé de 28 juristes, dont 16 femmes et 12 hommes. On choisit au hasard deux membres du cabinet pour travailler à une cause. On veut étudier les probabilités de former des équipes de même sexe ou de sexe différent. a) Construire l’arbre de probabilités correspondant à cette situation. b) Calculer la probabilité que les deux juristes choisis soient des femmes. Une solution complète est exigée. c) Calculer la probabilité qu’au moins un des juristes soit un homme. Une solution complète est exigée. 8 Probabilités II MAT-5103 2. Un vase contient 12 boules blanches et 6 boules noires. On effectue deux tirages successifs avec remise. a) Construire l’arbre de probabilités correspondant à cette situation. b) Calculer la probabilité qu’une des boules soit blanche. Une solution complète est exigée. c) Calculer la probabilité qu’au plus une des boules soit noire. Une solution complète est exigée. 9 Probabilités II MAT-5103 B) Chances de réalisation d’un événement Les chances de réalisation d’un événement sont définies comme suit : «Chances pour» = Nombre de cas favorables Nombre de cas défavorabl es «Chances contre» = Nombre de cas défavorabl es Nombre de cas favorables Le nombre de cas favorables + le nombre de cas défavorables = le nombre de cas possibles Référence : Scénarios 514, tome 1, HRW, page 193 Exemple : Pour financer les activité d’un organisme de secours les employés ont vendu 1 000 billets. Une compagnie a acheté 200 billets, Réjean a acheté 20 billets, Évelyne 10 billets et Myrtale 25 billets. Un billet sera tiré au hasard. Un ordinateur sera remis au gagnant. Pour chacun des énoncés suivants, déterminer s’il est vrai ou faux. a) Les «chances pour» que Myrtale gagne sont de 1 contre 40. b) La probabilité qu’Évelyne gagne est de 1 sur 100. c) Les «chances contre» que la compagnie gagne sont de 4 contre 1. d) Les «chances pour» que Réjean gagne sont de 49 contre 1. 10 Probabilités II MAT-5103 Solution : 1 Nombre de cas favorables = 40 Nombre de cas défavorabl es a) Réelle : Réponse : b) 25 1 Nombre de cas favorables 25 = = = 39 (1000 - 25) 975 Nombre de cas défavorabl es Faux P(Évelyne gagne) = 1 100 Réelle : P(Évelyne gagne) = Réponse : Vrai 10 1 = 1000 100 4 Nombre de cas défavorabl es = 1 Nombre de cas favorables c) Réelle : Réponse : (1000 - 200) 800 4 Nombre de cas défavorabl es = = = 200 200 1 Nombre de cas favorables Vrai 49 Nombre de cas favorables = 1 Nombre de cas défavorabl es d) Réelle : Réponse : 20 1 Nombre de cas favorables 20 = = = 49 (1000 - 20) 980 Nombre de cas défavorabl es Faux 11 Probabilités II MAT-5103 3. Les «chances pour» la réalisation d’un événement A sont de 7 contre 3. Déterminer si ces affirmations sont vraies ou fausses. a) Les chances contre la réalisation de l’événement A sont de 3 contre 10. Une solution complète est exigée. b) La probabilité de réalisation de l’événement A est de 3 sur 10. Une solution complète est exigée. c) Les chances contre la réalisation de l’événement A sont de 3 contre 7. Une solution complète est exigée. d) La probabilité de réalisation de l’événement A est de 7 sur 10. Une solution complète est exigée. 4. Déterminer l’événement dont la probabilité est la plus élevée. Une solution complète est exigée. a) L’événement E dont les « chances pour » sont de 1 : 4 b) L’événement F dont la probabilité est de 25%. c) L’événement G dont les « chances contre » sont de 5 1 Événement : Détails de la solution : 12 Probabilités II MAT-5103 C) Espérance mathématique L’espérance mathématique est aussi appelée espérance de gain. L’espérance de gain se définit comme la somme des produits des résultats quantitatifs d’une expérience aléatoire par leur probabilité respective. Pour une expérience à n résultats, si pi représente la probabilité et ri, le résultat alors : Espérance de gain = p1 x r1 + p2 x r2 +………………………….+ pn x rn Ou E(x) = ∑ pixi Pour un jeu comportant une possibilité de gain et une possibilité de perte, l’espérance mathématique se traduit comme suit : Espérance mathématique = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) (perte) Le gain net est le gain diminué de la mise si on ne remet pas la mise. La perte, bien sûr, est représentée par un nombre négatif. Référence : Regards 514, tome 2, CEC, pages 36 et 37 Selon la valeur de l’espérance mathématique, on peut qualifier un jeu : Espérance > 0 Espérance < 0 Espérance = 0 Jeu favorable au joueur (gain moyen) Jeu défavorable au joueur (perte moyenne) Jeu équitable (ni favorable, ni défavorable au joueur) L’espérance de gain ne signifie jamais une perte ou un gain moyen assuré, mais plutôt la valeur moyenne que l’on compte obtenir en répétant l’expérience plusieurs fois. Référence : Notes complémentaires, MEQ, page 46 13 Probabilités II MAT-5103 Exemple : Un jeu consiste à tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. La mise est de 6$. Si le joueur tire un deux rouge il gagne 52$, un quatre ou un six, il gagne 13$ et un huit 6,50$. Pour toute autre carte il perd sa mise. Le tableau suivant correspond à cette situation : xi pi Il tire un «deux rouge». Il gagne 52$ (52$-6$) 46$. 2 52 Il tire un «quatre ou un six». Il gagne 13$ (13$-6$) 7$. 8 52 Il tire un «huit». Il gagne 6,50$ (6,50$-6$) 0,50$. 4 52 Il tire une «autre carte». Il perd sa mise -6$ 38 52 Déterminer l’espérance mathématique de ce jeu. Solution : E(x) = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) (perte) 2 8 4 38 x 46$ + X 7$ + X 0,50$ + X (-6$) 52 52 52 52 78 E(x) = = -1,5$ 52 E(x) = Ce jeu est défavorable au joueur. 14 Probabilités II MAT-5103 5. Un centre d’hébergement organise une loterie pour sa campagne de financement, 6 000 billets ont été vendus. Il y a un prix de 30 000$, 6 prix de 1 000$ et 15 prix de 100$. Le prix du billet est de 10$. a) Déterminer l’espérance mathématique de ce jeu. Une solution complète est exigée. b) Est-il favorable ou défavorable au joueur? Justifier votre réponse. 6. Pendant une soirée charitable, un joueur a la possibilité de participer à deux jeux : -le premier consiste à piger une boule dans une boîte contenant 15 boules dont 5 vertes, 6 rouges et les autres jaunes. La mise est de 12$ et quand le joueur gagne , il récupère la mise. S’il tire une verte, il gagne 10$, s’il tire une rouge il perd la mise et s’il pige une jaune, il gagne 5$. -le deuxième consiste à lancer un dé. La mise est de 10$ et quand le joueur gagne , il récupère la mise. S’il obtient un chiffre inférieur à 3 il gagne 8$, s’il obtient le chiffre 3 il gagne 12$ et s’il obtient un chiffre supérieur à 3 il perd la mise. À quel jeu est-il préférable de participer? Justifier la réponse. 15 Probabilités II MAT-5103 7. Un jeu consiste à tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. Le tableau suivant présente l’issue du jeu. On tire un as On tire un roi. rouge. On gagne 24$ et on On gagne 12$ et on récupère la mise. récupère la mise. On tire une dame ou un valet. On gagne 7$ et on récupère la mise. On tire une autre carte. On perd la mise. Quelle doit être la mise pour que le jeu soit équitable? Une solution complète est exigée. 8 On lance deux dés. Le tableau suivant présente l’issue du jeu. La somme des deux dés est de 2. On gagne 20$ et on récupère la mise. La somme des deux dés est de 3. On gagne 5$ et on récupère la mise. Toute autre somme. On perd la mise. Quelle doit être la mise pour que le jeu rapporte en moyenne 1$ à l’organisateur? ( Le joueur perd en moyenne 1$, espérance de –1$) Une solution complète est exigée. 9. Une urne contient 2 boules blanches, 5 boules noires et un certain nombre de boules jaunes. Le jeu consiste à tirer au hasard une boule, la mise est de 5$. Si on pige une boule blanche on gagne 20$, une boule noire 9$ et on perd la mise si on tire une boule jaune. Si on gagne, on récupère la mise. Si le jeu est équitable, combien de boules jaunes y a-t-il dans l’urne? Une solution complète est exigée. 16 Probabilités II MAT-5103 D) Probabilités conditionnelles Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise étant donné qu’un autre s’est déjà produit. La probabilité qu’un événement A se réalise étant donné qu’un événement B s’est déjà produit se note P(A│B) ou PB(A). Probabilité de A étant donné B = P(A B) P(B) Référence : Regards 514, tome 2, CEC, pages 27 et 30 Note : Deux approches sont privilégiées pour calculer des probabilités conditionnelles : le tableau à double entrée et l’arbre des probabilités plutôt que l’utilisation de la formule. Référence : Notes complémentaires, MEQ, pages 45 et 48 Le tableau à double entrée est utilisé dans les cas où on étudie les membres d’une population ou d’un échantillon selon deux facteurs, caractères ou variables définies. Par exemple, le groupe d’âge : enfants, adolescents ou adultes et le sexe des participants à un voyage. Voir l’exemple de la page suivante. L’arbre de probabilités est utile dans les cas où une série d’expériences aléatoires est réalisée. Voir l’exemple de la page 19. 17 Probabilités II MAT-5103 Probabilités conditionnelles et tableau à double entrée Exemple : Le tableau ci-dessus indique la distribution des 50 participants à un voyage organisé en Italie, selon le sexe et le pays d’origine. On choisit au hasard un participant. Pays Sexe Masculin Féminin Total Origine Anglaise Origine belge Origine canadienne Total 11 9 20 11 6 17 8 5 13 30 20 50 Soit les événements suivants : A :«Le participant est d’origine anglaise.» B :«Le participant est d’origine belge.» C :«Le participant est d’origine canadienne.» M :«Le participant est un homme.» F :«Le participant est une femme.» a) Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine anglaise sachant que c’est une femme. b) Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine belge. c) Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine canadienne sachant que c’est un homme. d) Déterminons la probabilité que le participant soit un homme. e) Déterminons la probabilité que le participant soit une femme sachant qu’elle est d’origine canadienne. Référence : Essentiel mathématique 514, LIDEC, page 119 Solution : 9 17 a) P(A│F) = = 0,45 b) P(B) = = 0,34 20 50 5 30 d) P(M) = = 0,60 e) P(F│C) = = 0,38 13 50 c) P(C│M) = 8 = 0,27 30 18 Probabilités II MAT-5103 10. Lors d’une représentation d’une pièce de théâtre, il y a 230 spectateurs dont 140 de sexe féminin, parmi ceux-ci, 10 sont des enfants, 20 des adolescentes et les autres sont des adultes. Parmi les personnes de sexe masculin, 75 sont des adultes, 5 des enfants et les autres sont des adolescents. a) Compléter le tableau correspondant à cette situation. Enfants Adolescents Adultes Total Sexe masculin 5 Sexe féminin 10 20 Total 140 230 75 b) Déterminer la probabilité qu’un des spectateurs soit un adulte s’il est de sexe féminin. c) Déterminer la probabilité qu’un des spectateurs soit un adolescent s’il est de sexe masculin. 11. Lors d’un sondage effectué auprès de 1 000 personnes d’un immeuble concernant l’utilisation de la cafétéria, 65 personnes se sont déclarées très satisfaites, de ce nombre il y avait 30 femmes. De plus, 550 des participants à l’enquête étaient des hommes, parmi ceux-ci, 120 étaient satisfaits. Il y avait aussi 145 femmes satisfaites. a) Compléter le tableau correspondant à cette situation. Très satisfait Homme Femme Total 30 65 Satisfait 120 145 Insatisfait Total 550 1 000 b) Calculer la probabilité qu’une des personnes soit insatisfaite sachant qu’elle est une femme. c) Calculer la probabilité qu’un des participants soit un homme sachant qu’il est satisfait. d) Calculer la probabilité qu’une des personnes soit très satisfait sachant qu’elle est une femme. 19 Probabilités II MAT-5103 Probabilités conditionnelles et arbre de probabilités. Exemple : Une boîte contient 12 prénoms dont 8 de filles et 4 de garçons. On effectue deux tirages sans remise. Soit les événements suivants : F :tirer le prénom d’une fille G :tirer le prénom d’un garçon Voici l’arbre des probabilités représentant cette situation : P(F│F) = 7 11 8 F 12 P(G│F) = 4 11 P(F│G) = 8 11 P(G│G) = 3 11 4 G 12 a) Déterminer la probabilité que le 2e prénom pigé soit celui d’un garçon étant donné que le 1er est celui d’une fille. b) Déterminer la probabilité que le 2e prénom tiré soit celui d’une fille étant donné que le 1er est celui d’un garçon. 20 Probabilités II MAT-5103 Solution : a) La probabilité que le 2e prénom pigé soit celui d’un garçon étant donné que le 1er est celui d’une fille. 4 P(G│F) = 11 b) La probabilité que le 2e prénom tiré soit celui d’une fille étant donné que le 1er est celui d’un garçon. 8 P(F│G) = 11 12. Une urne contient 8 boules vertes et 7 boules jaunes. On tire deux boules une à la suite de l’autre, sans remise. a) Construire l’arbre de probabilités représentant cette situation. b) Déterminer la probabilité que la deuxième boule soit jaune étant donné que la première est verte. c) Déterminer la probabilité que la deuxième boule soit jaune étant donné que la première est jaune. 21 Probabilités II MAT-5103 Probabilités géométriques : Une probabilité établie à partir de notions et de mesures géométriques est appelée une probabilité géométrique. Une probabilité géométrique peut correspondre à un rapport d’aires ou à un rapport de longueurs de segments ou de lignes quelconques. Exemple 1 : D A B C On choisit au hasard un point situé dans le rectangle ABCD. Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité que le point soit dans une des bandes noires ? a) b) nombre de bandes noires nombre de bandes blanches nombre de bandes noires nombre total de bandes c) Aire totale des bandes noires Aire totale des bandes blanches d) Aire totale des bandes noires Aire du rectangle ABCD Solution : d) 22 Probabilités II MAT-5103 Probabilités géométriques : Exemple 2 : Un jeu consiste à faire tourner une roue de fortune qui est subdivisée en 6 arcs. Les angles au centre associés aux deux secteurs noirs sont x et y. Pointeur x y Quelles sont les « chances contre » que le pointeur indique un des secteurs noirs lorsque la roue s’arrête ? Une solution complète est exigée. Solution : Cas favorables : x + y Cas défavorables : 360 - x - y 360 - x - y « chances contre » = x y 23 Probabilités II MAT-5103 13. Un jeu de hasard consiste à faire tourner une flèche fixée au centre d’une roue subdivisée en 8 secteurs isométriques. Gain de 2$ Gain de 2$ Gain de 8$ Gain de 2$ Si la flèche s’immobilise sur un secteur blanc, le participant gagne le prix indiqué à l’intérieur du secteur et il récupères sa mise. Cependant, si la flèche s’immobilise sur un secteur ombré, le participant perd sa mise. Quelle doit être la mise pour que le jeu rapporte en moyenne 1$ aux organisateurs à chaque fois? (le jeu est donc défavorable au joueur) Une solution complète est exigée. 24 Probabilités II MAT-5103 14. On choisit un point, au hasard, dans ces deux rectangles de 120 cm par 40 cm. Situation A Les trois cercles sont congrus Situation B 60cm Pour quelle situation la probabilité que le point soit situé dans une région ombrée est la plus grande? Une solution complète est exigée. 25