formationprob5103

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SESSION DE PERFECTIONNEMENT
Mars 2004
Préparé par Daniel Taillon enseignant, Centre Clément
Probabilités II MAT-5103
TABLE DES MATIÈRES
A)
Probabilité d’un événement ..................................................................................... 3
Arbre de probabilités
Exemple 1 ................................................................................................................... 3
Exemple 2 ................................................................................................................... 6
Exercice 1 ................................................................................................................... 8
Exercice 2 ................................................................................................................... 9
B)
Chances de réalisation ............................................................................................ 10
Définition .................................................................................................................. 10
Exemple .................................................................................................................... 10
Exercices 3 et 4 ......................................................................................................... 12
C)
Espérance mathématique....................................................................................... 13
Définition .................................................................................................................. 13
Exemple .................................................................................................................... 14
Exercices 5 et 6 ......................................................................................................... 15
Exercices 7, 8 et 9 ..................................................................................................... 16
D)
Probabilités conditionnelles ................................................................................... 17
Définition .................................................................................................................. 17
Tableau à double entrée
Exemple .................................................................................................................... 18
Exercices 10 et 11 ..................................................................................................... 19
Arbre de probabilités
Exemple .................................................................................................................... 20
Exercice 12 ............................................................................................................... 21
E)
Probabilités géométriques...................................................................................... 22
Exemple 1 ................................................................................................................. 22
Exemple 2 ................................................................................................................. 23
Exercice 13 ............................................................................................................... 24
Exercice 14 ............................................................................................................... 25
2
Probabilités II MAT-5103
A)
Probabilité d’un événement
Arbre de probabilités
Exemple 1 :
Dans un jeu de cartes, on ne garde que les cartes de couleur rouge. Parmi celles-ci on effectue
deux tirages successifs avec remise.
Soit les événements suivants ;
F : obtenir une figure,
N : obtenir une carte numérotée, incluant l’as
L’arbre de probabilités suivant traduit cette situation :
6
(F),
26
P(F,F) =
6
6
9
x
=
26 26
169
20
(N),
26
P(F,N) =
6 20
30
x
=
26 26
169
6
(F),
26
P(N,F) =
30
20 6
x
=
169
26 26
20
(N),
26
P(N,N) =
20 20
100
x
=
26 26
169
6
(F)
26
20
(N)
26
L’arbre de probabilités simplifie le diagramme en arbre et tient compte de deux
facteurs :
1)
si les évènements sont équiprobables ou non
2)
si, d’une étape à l’autre, les événements sont indépendants ou non
Il faut indiquer sur les branches, à chaque étape, les choix ainsi que la probabilité de
l’événement.
Référence :
 Les probabilités, module 5, GRAFICOR, page 1.15
3
Probabilités II MAT-5103
Déterminer parmi ces énoncés, ceux qui sont vrais ou faux.
69
169
a)
la probabilité de tirer au moins une figure est de
b)
la probabilité de tirer une figure est égale à la probabilité de tirer une carte
numérotée.
c)
la probabilité de tirer au moins une carte numérotée est de
d)
la probabilité de tirer deux figures est égale à la probabilité de tirer deux cartes
numérotées.
130
.
169
4
Probabilités II MAT-5103
Solution :
a)
P(au moins une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F) =
9
30
30
69
+
+
=
169 169 169 169
Ou
P(au moins une figure) = 1 - P(aucune figure) = 1 - P(N,N) = 1 -
100
69
=
169 169
Donc c’est Vrai.
30
30
60
+
=
169 169
169
30
30
60
P(une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) =
+
=
169 169 169
Donc c’est Vrai.
b)
P(une figure) = P(F,N) + P(N,F) =
c)
P(au moins une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N)
30
30
100 160
P(au moins une carte numérotée) =
+
+
=
169 169 169 169
Donc c’est Faux.
d)
P(F,F) =
9
169
Donc c’est Faux.
et
P(N,N) =
100
169
5
Probabilités II MAT-5103
Arbre de probabilités
Exemple 2 :
Dans un jeu de cartes, on ne garde que les cartes de couleur rouge. Parmi celles-ci, on
effectue deux tirages successifs sans remise.
Soit les événements suivants ;
F : obtenir une figure,
N : obtenir une carte numérotée, incluant l’as
L’arbre de probabilités suivant traduit cette situation :
(F),
P(F,F) =
6
x
26
=
P(F,N) =
6
x
26
=
20
x
26
=
20
x
26
=
6
(F)
26
(N),
(F),
20
(N)
26
(N),
P(N,F) =
P(N,N) =
65
65
65
65
Compléter l’arbre de probabilités et déterminer parmi ces énoncés, ceux qui sont vrais ou
faux.
24
.
65
a)
la probabilité de tirer au moins une carte numérotée est de
b)
la probabilité de tirer au plus une figure est égale à la probabilité de tirer au plus
une carte numérotée.
c)
la probabilité de tirer au moins une figure est de
d)
la probabilité de tirer aucune figure est égale à la probabilité tirer aucune carte
numérotée.
27
.
65
6
Probabilités II MAT-5103
Solution :
6
(F)
26
20
(N)
26
a)
b)
5
(F),
25
P(F,F) =
3
6
x 5 =
26
65
25
20
(N),
25
P(F,N) =
12
6
20
x
=
26
25
65
6
(F),
25
P(N,F) =
6
12
20
x
=
26
25
65
19
(N),
25
P(N,N) =
19
38
20
x
=
26
25
65
P(au moins une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N)
62
12
12
38
P(au moins une carte numérotée) =
+
+
=
65
65
65
65
Ou
P(au moins une carte numérotée) = 1- P(aucune carte numérotée)
62
3
P(au moins une carte numérotée) = 1 - P(F,F) = 1 =
65
65
Donc c’est Faux.
62
12
12
38
+
+
=
65
65
65
65
P(au plus une carte numérotée) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F)
12
12
3
27
P(au plus une carte numérotée) =
+
+
=
65
65
65
65
Donc c’est Faux.
P(au plus une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(N,N) =
c)
P(au moins une figure) = P(F,N) + P(N,F) + P(F,F)
12
12
3
27
P(au moins une figure) =
+
+
=
65
65
65
65
Donc c’est Vrai.
d)
P(aucune figure) = P(N,N) =
38
65
P(aucune carte numérotée) = P(F,F) =
3
65
Donc c’est Faux.
7
Probabilités II MAT-5103
1.
Un cabinet d’avocats est composé de 28 juristes, dont 16 femmes et 12 hommes.
On choisit au hasard deux membres du cabinet pour travailler à une cause. On
veut étudier les probabilités de former des équipes de même sexe ou de sexe
différent.
a)
Construire l’arbre de probabilités correspondant à cette situation.
b)
Calculer la probabilité que les deux juristes choisis soient des femmes.
Une solution complète est exigée.
c)
Calculer la probabilité qu’au moins un des juristes soit un homme.
Une solution complète est exigée.
8
Probabilités II MAT-5103
2.
Un vase contient 12 boules blanches et 6 boules noires. On effectue deux tirages
successifs avec remise.
a)
Construire l’arbre de probabilités correspondant à cette situation.
b)
Calculer la probabilité qu’une des boules soit blanche.
Une solution complète est exigée.
c)
Calculer la probabilité qu’au plus une des boules soit noire.
Une solution complète est exigée.
9
Probabilités II MAT-5103
B)
Chances de réalisation d’un événement
Les chances de réalisation d’un événement sont définies comme suit :
«Chances pour»
=
Nombre de cas favorables
Nombre de cas défavorabl es
«Chances contre»
=
Nombre de cas défavorabl es
Nombre de cas favorables
Le nombre de cas favorables + le nombre de cas défavorables = le nombre de cas possibles
Référence :
 Scénarios 514, tome 1, HRW, page 193
Exemple :
Pour financer les activité d’un organisme de secours les employés ont vendu 1 000 billets.
Une compagnie a acheté 200 billets, Réjean a acheté 20 billets, Évelyne 10 billets et
Myrtale 25 billets.
Un billet sera tiré au hasard. Un ordinateur sera remis au gagnant.
Pour chacun des énoncés suivants, déterminer s’il est vrai ou faux.
a)
Les «chances pour» que Myrtale gagne sont de 1 contre 40.
b)
La probabilité qu’Évelyne gagne est de 1 sur 100.
c)
Les «chances contre» que la compagnie gagne sont de 4 contre 1.
d)
Les «chances pour» que Réjean gagne sont de 49 contre 1.
10
Probabilités II MAT-5103
Solution :
1
Nombre de cas favorables
=
40
Nombre de cas défavorabl es
a)
Réelle :
Réponse :
b)
25
1
Nombre de cas favorables
25
=
=
=
39
(1000 - 25) 975
Nombre de cas défavorabl es
Faux
P(Évelyne gagne) =
1
100
Réelle :
P(Évelyne gagne) =
Réponse :
Vrai
10
1
=
1000 100
4
Nombre de cas défavorabl es
=
1
Nombre de cas favorables
c)
Réelle :
Réponse :
(1000 - 200)
800
4
Nombre de cas défavorabl es
=
=
=
200
200
1
Nombre de cas favorables
Vrai
49
Nombre de cas favorables
=
1
Nombre de cas défavorabl es
d)
Réelle :
Réponse :
20
1
Nombre de cas favorables
20
=
=
=
49
(1000 - 20)
980
Nombre de cas défavorabl es
Faux
11
Probabilités II MAT-5103
3.
Les «chances pour» la réalisation d’un événement A sont de 7 contre 3.
Déterminer si ces affirmations sont vraies ou fausses.
a)
Les chances contre la réalisation de l’événement A sont de 3 contre 10.
Une solution complète est exigée.
b)
La probabilité de réalisation de l’événement A est de 3 sur 10.
Une solution complète est exigée.
c)
Les chances contre la réalisation de l’événement A sont de 3 contre 7.
Une solution complète est exigée.
d)
La probabilité de réalisation de l’événement A est de 7 sur 10.
Une solution complète est exigée.
4.
Déterminer l’événement dont la probabilité est la plus élevée.
Une solution complète est exigée.
a)
L’événement E dont les « chances pour » sont de 1 : 4
b)
L’événement F dont la probabilité est de 25%.
c)
L’événement G dont les « chances contre » sont de
5
1
Événement :
Détails de la solution :
12
Probabilités II MAT-5103
C)
Espérance mathématique
L’espérance mathématique est aussi appelée espérance de gain.
L’espérance de gain se définit comme la somme des produits des résultats quantitatifs
d’une expérience aléatoire par leur probabilité respective.
Pour une expérience à n résultats, si pi représente la probabilité et ri, le résultat alors :
Espérance de gain = p1 x r1 + p2 x r2 +………………………….+ pn x rn
Ou
E(x) = ∑ pixi
Pour un jeu comportant une possibilité de gain et une possibilité de perte, l’espérance
mathématique se traduit comme suit :
Espérance mathématique = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) (perte)
Le gain net est le gain diminué de la mise si on ne remet pas la mise. La perte, bien sûr,
est représentée par un nombre négatif.
Référence :
 Regards 514, tome 2, CEC, pages 36 et 37
Selon la valeur de l’espérance mathématique, on peut qualifier un jeu :
Espérance > 0
Espérance < 0
Espérance = 0
Jeu favorable au joueur (gain moyen)
Jeu défavorable au joueur (perte moyenne)
Jeu équitable (ni favorable, ni défavorable au joueur)
L’espérance de gain ne signifie jamais une perte ou un gain moyen assuré, mais plutôt la
valeur moyenne que l’on compte obtenir en répétant l’expérience plusieurs fois.
Référence :
 Notes complémentaires, MEQ, page 46
13
Probabilités II MAT-5103
Exemple :
Un jeu consiste à tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. La mise est de 6$. Si le joueur tire
un deux rouge il gagne 52$, un quatre ou un six, il gagne 13$ et un huit 6,50$. Pour toute
autre carte il perd sa mise.
Le tableau suivant correspond à cette situation :
xi
pi
Il tire un
«deux rouge».
Il gagne 52$
(52$-6$)
46$.
2
52
Il tire un
«quatre ou un six».
Il gagne 13$
(13$-6$)
7$.
8
52
Il tire un «huit».
Il gagne 6,50$
(6,50$-6$)
0,50$.
4
52
Il tire une
«autre carte».
Il perd sa mise
-6$
38
52
Déterminer l’espérance mathématique de ce jeu.
Solution :
E(x) = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) (perte)
2
8
4
38
x 46$ +
X 7$ +
X 0,50$ +
X (-6$)
52
52
52
52
 78
E(x) =
= -1,5$
52
E(x) =
Ce jeu est défavorable au joueur.
14
Probabilités II MAT-5103
5.
Un centre d’hébergement organise une loterie pour sa campagne de financement,
6 000 billets ont été vendus. Il y a un prix de 30 000$, 6 prix de 1 000$ et 15 prix
de 100$. Le prix du billet est de 10$.
a)
Déterminer l’espérance mathématique de ce jeu.
Une solution complète est exigée.
b)
Est-il favorable ou défavorable au joueur?
Justifier votre réponse.
6.
Pendant une soirée charitable, un joueur a la possibilité de participer à deux jeux :
-le premier consiste à piger une boule dans une boîte contenant 15 boules dont 5
vertes, 6 rouges et les autres jaunes. La mise est de 12$ et quand le joueur gagne ,
il récupère la mise. S’il tire une verte, il gagne 10$, s’il tire une rouge il perd la
mise et s’il pige une jaune, il gagne 5$.
-le deuxième consiste à lancer un dé. La mise est de 10$ et quand le joueur gagne ,
il récupère la mise. S’il obtient un chiffre inférieur à 3 il gagne 8$, s’il obtient le
chiffre 3 il gagne 12$ et s’il obtient un chiffre supérieur à 3 il perd la mise.
À quel jeu est-il préférable de participer?
Justifier la réponse.
15
Probabilités II MAT-5103
7.
Un jeu consiste à tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. Le tableau suivant présente
l’issue du jeu.
On tire un as
On tire un roi.
rouge.
On gagne 24$ et on On gagne 12$ et on
récupère la mise.
récupère la mise.
On tire une dame ou
un valet.
On gagne 7$ et on
récupère la mise.
On tire une autre
carte.
On perd la mise.
Quelle doit être la mise pour que le jeu soit équitable?
Une solution complète est exigée.
8
On lance deux dés. Le tableau suivant présente l’issue du jeu.
La somme des deux dés
est de 2.
On gagne 20$ et on
récupère la mise.
La somme des deux dés
est de 3.
On gagne 5$ et on
récupère la mise.
Toute autre somme.
On perd la mise.
Quelle doit être la mise pour que le jeu rapporte en moyenne 1$ à l’organisateur?
( Le joueur perd en moyenne 1$, espérance de –1$)
Une solution complète est exigée.
9.
Une urne contient 2 boules blanches, 5 boules noires et un certain nombre de boules jaunes.
Le jeu consiste à tirer au hasard une boule, la mise est de 5$. Si on pige une boule blanche
on gagne 20$, une boule noire 9$ et on perd la mise si on tire une boule jaune. Si on gagne,
on récupère la mise.
Si le jeu est équitable, combien de boules jaunes y a-t-il dans l’urne?
Une solution complète est exigée.
16
Probabilités II MAT-5103
D)
Probabilités conditionnelles
Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise étant donné
qu’un autre s’est déjà produit. La probabilité qu’un événement A se réalise étant donné
qu’un événement B s’est déjà produit se note P(A│B) ou PB(A).
Probabilité de A étant donné B =
P(A  B)
P(B)
Référence :
 Regards 514, tome 2, CEC, pages 27 et 30
Note : Deux approches sont privilégiées pour calculer des probabilités
conditionnelles : le tableau à double entrée et l’arbre des probabilités plutôt
que l’utilisation de la formule.
Référence :
 Notes complémentaires, MEQ, pages 45 et 48
Le tableau à double entrée est utilisé dans les cas où on étudie les membres d’une
population ou d’un échantillon selon deux facteurs, caractères ou variables définies.
Par exemple, le groupe d’âge : enfants, adolescents ou adultes et le sexe des participants à
un voyage. Voir l’exemple de la page suivante.
L’arbre de probabilités est utile dans les cas où une série d’expériences aléatoires est
réalisée.
Voir l’exemple de la page 19.
17
Probabilités II MAT-5103
Probabilités conditionnelles et tableau à double entrée
Exemple :
Le tableau ci-dessus indique la distribution des 50 participants à un voyage organisé en
Italie, selon le sexe et le pays d’origine. On choisit au hasard un participant.
Pays
Sexe
Masculin
Féminin
Total
Origine
Anglaise
Origine
belge
Origine
canadienne
Total
11
9
20
11
6
17
8
5
13
30
20
50
Soit les événements suivants :
A :«Le participant est d’origine anglaise.»
B :«Le participant est d’origine belge.»
C :«Le participant est d’origine canadienne.»
M :«Le participant est un homme.»
F :«Le participant est une femme.»
a)
Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine anglaise sachant que c’est une
femme.
b)
Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine belge.
c)
Déterminons la probabilité que le participant soit d’origine canadienne sachant que c’est un
homme.
d)
Déterminons la probabilité que le participant soit un homme.
e)
Déterminons la probabilité que le participant soit une femme sachant qu’elle est d’origine
canadienne.
Référence :
 Essentiel mathématique 514, LIDEC, page 119
Solution :
9
17
a) P(A│F) =
= 0,45
b) P(B) =
= 0,34
20
50
5
30
d) P(M) =
= 0,60
e) P(F│C) =
= 0,38
13
50
c) P(C│M) =
8
= 0,27
30
18
Probabilités II MAT-5103
10.
Lors d’une représentation d’une pièce de théâtre, il y a 230 spectateurs dont 140 de sexe
féminin, parmi ceux-ci, 10 sont des enfants, 20 des adolescentes et les autres sont des
adultes. Parmi les personnes de sexe masculin, 75 sont des adultes, 5 des enfants et les autres
sont des adolescents.
a)
Compléter le tableau correspondant à cette situation.
Enfants
Adolescents
Adultes
Total
Sexe masculin
5
Sexe féminin
10
20
Total
140
230
75
b)
Déterminer la probabilité qu’un des spectateurs soit un adulte s’il est de sexe féminin.
c)
Déterminer la probabilité qu’un des spectateurs soit un adolescent s’il est de sexe masculin.
11.
Lors d’un sondage effectué auprès de 1 000 personnes d’un immeuble concernant
l’utilisation de la cafétéria, 65 personnes se sont déclarées très satisfaites, de ce
nombre il y avait 30 femmes. De plus, 550 des participants à l’enquête étaient des
hommes, parmi ceux-ci, 120 étaient satisfaits. Il y avait aussi 145 femmes
satisfaites.
a)
Compléter le tableau correspondant à cette situation.
Très satisfait
Homme
Femme
Total
30
65
Satisfait
120
145
Insatisfait
Total
550
1 000
b)
Calculer la probabilité qu’une des personnes soit insatisfaite sachant qu’elle est
une femme.
c)
Calculer la probabilité qu’un des participants soit un homme sachant qu’il est
satisfait.
d)
Calculer la probabilité qu’une des personnes soit très satisfait sachant qu’elle est
une femme.
19
Probabilités II MAT-5103
Probabilités conditionnelles et arbre de probabilités.
Exemple :
Une boîte contient 12 prénoms dont 8 de filles et 4 de garçons. On effectue deux tirages
sans remise.
Soit les événements suivants :
F :tirer le prénom d’une fille
G :tirer le prénom d’un garçon
Voici l’arbre des probabilités représentant cette situation :
P(F│F) =
7
11
8
F
12
P(G│F) =
4
11
P(F│G) =
8
11
P(G│G) =
3
11
4
G
12
a)
Déterminer la probabilité que le 2e prénom pigé soit celui d’un garçon étant donné
que le 1er est celui d’une fille.
b)
Déterminer la probabilité que le 2e prénom tiré soit celui d’une fille étant donné
que le 1er est celui d’un garçon.
20
Probabilités II MAT-5103
Solution :
a)
La probabilité que le 2e prénom pigé soit celui d’un garçon étant donné que le 1er
est celui d’une fille.
4
P(G│F) =
11
b)
La probabilité que le 2e prénom tiré soit celui d’une fille étant donné que le 1er est celui d’un
garçon.
8
P(F│G) =
11
12.
Une urne contient 8 boules vertes et 7 boules jaunes. On tire deux boules une à la suite de
l’autre, sans remise.
a)
Construire l’arbre de probabilités représentant cette situation.
b)
Déterminer la probabilité que la deuxième boule soit jaune étant donné que la première est
verte.
c)
Déterminer la probabilité que la deuxième boule soit jaune étant donné que la première est
jaune.
21
Probabilités II MAT-5103
Probabilités géométriques :
Une probabilité établie à partir de notions et de mesures géométriques est appelée une
probabilité géométrique.
Une probabilité géométrique peut correspondre à un rapport d’aires ou à un rapport
de longueurs de segments ou de lignes quelconques.
Exemple 1 :
D
A
B
C
On choisit au hasard un point situé dans le rectangle ABCD.
Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité que le point soit dans une
des bandes noires ?
a)
b)
nombre de bandes noires
nombre de bandes blanches
nombre de bandes noires
nombre total de bandes
c)
Aire totale des bandes noires
Aire totale des bandes blanches
d)
Aire totale des bandes noires
Aire du rectangle ABCD
Solution :
d)
22
Probabilités II MAT-5103
Probabilités géométriques :
Exemple 2 :
Un jeu consiste à faire tourner une roue de fortune qui est subdivisée en 6 arcs. Les
angles au centre associés aux deux secteurs noirs sont x et y.
Pointeur
x
y
Quelles sont les « chances contre » que le pointeur indique un des secteurs noirs lorsque
la roue s’arrête ?
Une solution complète est exigée.
Solution :
Cas favorables : x + y
Cas défavorables : 360 - x  - y
360 - x - y
« chances contre » =
x  y
23
Probabilités II MAT-5103
13.
Un jeu de hasard consiste à faire tourner une flèche fixée au centre d’une roue
subdivisée en 8 secteurs isométriques.
Gain de 2$
Gain de 2$
Gain de 8$
Gain de 2$
Si la flèche s’immobilise sur un secteur blanc, le participant gagne le prix indiqué
à l’intérieur du secteur et il récupères sa mise. Cependant, si la flèche
s’immobilise sur un secteur ombré, le participant perd sa mise.
Quelle doit être la mise pour que le jeu rapporte en moyenne 1$ aux organisateurs
à chaque fois? (le jeu est donc défavorable au joueur)
Une solution complète est exigée.
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Probabilités II MAT-5103
14.
On choisit un point, au hasard, dans ces deux rectangles de 120 cm par 40 cm.
Situation A
Les trois cercles sont congrus
Situation B
60cm
Pour quelle situation la probabilité que le point soit situé dans une région ombrée
est la plus grande?
Une solution complète est exigée.
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